Pour les autres questions, on peut utiliser : Une stratégie de calcul

Sommaire

Éditorial ... page 2 ⁴

e et 3e de l'EA Seconde Pro BEPA Bac Pro Seconde GT Bac Techno Filière S BTSA Enseignants

Du calcul mental, encore et encore ! ... page 3

Quand on demande à nos élèves d'écrire des énoncés .. ^{page 7} Du collège à la seconde professionnelle. Quelles

évolutions ?... ^{page 15}

Probabilités en classe de seconde ... page 19

La calculatrice pour conjecturer et vérifier les résultats

d’une étude de fonction ... ^{page 24} Épreuve orale de mathématiques du baccalauréat

technologique STAV... ^{page 38} Petit tour de France des mathématiciens ... page 40

Bon à savoir : des mathématiques autour de vous…... ^{page 43} Zéro : un rien qui s'est propagé à travers le monde, qui

a tant dérangé et qui fut révolutionnaire... ^{page 44} Barres de défilement et curseurs... page 49 Dates des examens 2010... ^{page 55} C2i2e : Certificat Informatique et Internet niveau 2,

Enseignant ... ^{page 56} Réponses des exercices de la 17^e édition du Rallye

Mathématique Transalpin publiés dans le bulletin 18... ^{page 60} Membres du groupe ayant participé à ce bulletin PY-MATH n°19

AHARIZ Fouad LEGTA de SAINT-LÔ THÈRE

BOUVIER Thierry LEGTA de PAU MONTARDON

CHAPUT Brigitte ENFA de TOULOUSE AUZEVILLE

FERRER Christelle LEGTA de NÎMES RODILHAN

GARDIENNET Alain LEGTA de PLOMBIÈRES-LES-DIJON

JUGAN Delphine LEGTA de SAINT-HERBLAIN

MASOUNAVE Alice LEGTA de PAU MONTARDON

MÉTAILLER Anne LEGTAF de VIC-EN-BIGORRE

PICARD Jérôme LEGTA de CHATEAU-GONTIER

ROLLAND Jeanne LEGTA de MORLAIX

ROUGER Valérie LEGTA de RETHEL

SICRE Nathalie LPA de SAINT-AFFRIQUE

SIROT Éric LEGTA de BRESSUIRE

TEXIER Jacques LEGTA de VENOURS

TRONCHE Geneviève LEGTA de BRIVE OBJAT

WAGNER Sylvain LEGTA de MIRECOURT

avec la collaboration de

ORTOLÉ Philippe LYCÉE de CAYENNE

RIOU Alexis LEGTA de QUIMPER

ÉDITORIAL : PY-MATH, PASSÉ ET AVENIR

Vous avez entre les mains ou à portée de souris le bulletin 19 de PY-MATH. Que de chemin parcouru depuis le numéro 1 datant de janvier 1998 ! L’objectif affiché dans le premier édito était alors de réfléchir à l’enseignement des mathématiques en baccalauréats professionnel et technologique. En effet, à cette époque, ces baccalauréats se substituent progressivement à la filière BTA.

Rapidement, des besoins autres se font sentir : des sujets pouvant être traités en seconde ou en filière BEPA vont apparaître également, puis plus tard en Quatrième et Troisième de l'Enseignement Agricole.

La disparition du GRES (Groupe de Réflexion sur l’Enseignement de la Statistique) après la parution de 10 bulletins, conduira PY-MATH a donner une large place à la statistique et aux probabilités dans ses pages.

Ultime évolution annoncée dans un précédent éditorial, les articles de tous les bulletins sont désormais accessibles par Internet sur le site r2math (http://www.enfa.fr/r2math) via un moteur de recherche. À l’ère du tout informatique, ce nécessaire complément en ligne ne nous empêche pas d’affirmer notre attachement à la version papier du bulletin.

Depuis 1998, les réformes se sont succédé et leur rythme semble même s’accélérer depuis quelques années : réforme du baccalauréat technologique STAV, mise en place de la filière professionnelle en 3 ans, réforme du BTSA, en attendant celle de la seconde, de la filière S.

PY-MATH accompagne ces réformes de référentiels en proposant des activités tenant compte de l’évolution des programmes. Aussi, si vous avez des activités qui ont bien marché dans des classes où le programme a changé : faites-nous partager votre expérience (par courriel : Conf PY-MATH@educagri.fr). Soyez simplement patient, les articles mûrissent parfois, comme nous vous l’avons déjà expliqué.

Pour terminer cet éditorial, PY-MATH a le plaisir de vous transmettre un faire-part de renaissance, celle du GAP (Groupe d’Animation et de Professionnalisation) qui a (trop) brièvement existé au début des années 2000 en Mathématiques et ESC. Voici comment Pierre VAUDEZ le décrivait dans un précédent bulletin : en inter-régions, cette brigade légère officielle de formation continue nous propose des actions décentralisées, de courte durée et répondant en temps réel à nos interrogations et à nos préoccupations pédagogiques.

Souhaitons que ces journées soient riches de la participation en grand nombre des enseignants de mathématiques. Se rencontrer, échanger, voilà un beau programme ; à chacun de nous de le rendre vivant et efficace.

Cette dernière phrase date de 2002, mais elle demeure toujours d’actualité, à chacun d’entre nous de la rendre réelle.

Sylvain WAGNER

DU CALCUL MENTAL, ENCORE ET ENCORE !

La nécessité d’entraîner les élèves au calcul mental est mentionnée dans la plupart des programmes.

Au collège :

« Poursuivre l'apprentissage du calcul sous toutes ses formes : mental, posé, instrumenté... » En seconde :

« Le calcul est un outil essentiel pour la pratique des mathématiques dans la résolution de problème. Il est important en classe de seconde de poursuivre l’entraînement des élèves dans ce domaine par la pratique régulière du calcul mental... »

En seconde professionnelle :

« ... veiller à entretenir le calcul mental... » En filière STAV :

« Effectuer de manière autonome des calculs numériques et algébriques... » En filière S :

« ... acquérir la maîtrise de techniques de calcul... » (document d'accompagnement)

Nous avons bien souvent un a priori sur le calcul mental en tant que simple Calcul Mental Automatique (CMA) alors que, dans la plupart des cas, il s'agit d'une véritable Activité Mentale (AM). Et vous, qu’en pensez-vous ?

Pour le savoir, testez-vous !

Parmi ces dix calculs, à faire de tête sans papier, ni crayon, lesquels vous apparaissent comme du calcul mental automatique, comme une activité mentale ou aucun des deux ?

CMA AM Aucun

des deux 1. Calculer : 37+73.

2. Calculer : 99×27.

3. Calculer : 0,248×0,5.

4. Convertir une vitesse de 10 m/s, en km/h.

5. Calculer : 1−¹₃.

6. Donner la valeur de x telle que : x+7=4.

7. Quel est le périmètre de ce rectangle ? ^{30 cm}

70 cm

CMA AM Aucun des deux

8. Le triangle ci-contre est-il un triangle rectangle ?

9. Que vaut arg(1+i) ?

10. Donner la forme algébrique de 1 i.

Pour nous, seule la question 1. relève du calcul mental automatique et toutes les autres nous apparaissent comme une activité mentale. Encore que le premier calcul puisse être effectué de la façon suivante : (30+70)+(7+3), ce qui en fait alors une activité mentale.

Il est intéressant de noter que, dans la plupart des cas, la réponse donnée par les élèves de collège est 100, ceux qui donnent la bonne réponse ont réalisé que le résultat est supérieur à 100 et ont donc, de façon intuitive, fait la décomposition précédente.

Pour les autres questions, on peut utiliser : Une stratégie de calcul

- Question 2 : (100−1)×27=100×27−27 (décomposition de 99 en 100−1 suivie d'un développement).

- Question 3 : Multiplier par 0,5 revient à diviser par 2.

- Question 4 : Transformer d’abord en m/h, puis en km/h sachant qu’une heure est égale à 3600 s et 1 km à 1000 m.

Une visualisation à l’aide d’un graphique

- Question 5 : Visualisation du partage en 3 parts d’un camembert ou autre fromage.

- Question 9 : Représentation géométrique d’un nombre complexe et des angles remarquables.

La notion de complément

- Question 6 : Quel nombre ajouté à 7 donne 4 ?

Les connaissances et une application directe du cours

- Question 7 : (30+70)×2=100×2=200 formule du périmètre du rectangle et calcul.

- Question 8 : 49+16=65 donc le triangle n’est pas rectangle (théorème de Pythagore).

- Question 10 : 1

i = −i

i×(−i)=−i multiplication par le conjugué

À travers ces exemples, il apparaît que dans la grande majorité des cas, voire dans tous les cas, les élèves pratiquent une véritable activité mentale. Aussi, sommes-nous convaincus de l’intérêt de mettre en place de telles séances dans nos classes, même jusqu’en terminale.

Certains d’entre nous pratiquent régulièrement ce genre d’activité avec leurs élèves et ce, dans différentes classes. Ils procèdent ainsi et n’y voient que des points positifs.

Organisation des séances :

- Ces séances sont courtes (10 à 15 minutes).

- Elles peuvent être menées sous forme d’une interrogation orale ou à l’aide d’un support visuel (diaporama, transparent).

- Les questions sont données une à une ; l’élève ne peut donc pas revenir sur les questions précédentes.

- Les élèves répondent sur papier ou, pour les nostalgiques, sur une ardoise.

- Pour l’efficacité de la séance, il nous paraît essentiel de corriger à l’issue de l’interrogation.

Intérêts de ces séances :

- Elles apparaissent ludiques aux élèves et sont accessibles à tous.

- Elles peuvent être menées tout au long de l’année et sur toutes les parties du programme.

- Elles peuvent être utilisées dans différentes situations : correction de devoirs (les perles !), interrogations de cours...

- On évalue d’autres compétences.

- Elles sont une autre méthode d’apprentissage et d’évaluation.

- Elles permettent de développer des automatismes, des réflexes et la rapidité de l’élève.

- Elles peuvent avoir un caractère pluridisciplinaire (avec la physique, l’économie...) - Dans certaines classes, le fait de mener régulièrement ces séances est un repère et un

moment de travail privilégié.

Liste non exhaustive, de questions posées lors de telles séances :

5 et 5 3. - Donner la fraction irréductible égale à 28

48.

- Quelle est la fraction coloriée dans le dessin ci-contre ? - Écrire avec le même dénominateur 8

5 et 7 4. - Calculer 3 + 2 × 5 ou encore 14−(6+8).

- Donner la valeur de x qui rend l’égalité vraie : 2x+7=10.

- À l’aide des 4 opérations et de parenthèses, écrire une seule ligne de calculs permettant d’obtenir le résultat suivant avec les nombres donnés.

- Que vaut 5² ? 2³ ?

- Écrire littéralement le nombre 10⁻².

- Donner l’écriture scientifique du nombre 25000.

- Calculer l’image de −1 par la fonction f, définie par f(x)= 5 x²−x.

Sur le principe du jeu Mathador, à l’aide d’un tableur, les nombres ainsi que le résultat peuvent être donnés au hasard.

- Quelques questions où le vidéoprojecteur s’impose… :

Combien l'équation f(x) = 0 a-t-elle de solutions ?

Quelles fonctions sont représentées par les droites d1 et d2 ?

Quel est le plus grand de ces 4 nombres ?

a) b) c) d)

31 × 10^{− 2} 3,1 × 10^{− 3} 0,31 × 10⁶ 31 000

ABCD est un tétraèdre régulier (ses quatre faces sont des triangles équilatéraux)

I est le milieu de [AB], J celui de [AC] et K celui de [AD]

B

C D A

I J

K

Le triangle ICD est équilatéral.

Le triangle IJK est équilatéral.

Quelle est la mesure de l'angle ? EFDB est un carré. Quelle est la longueur des côtés de carré ABCD ?

Et enfin, quelques questions pour nos élèves de première et terminale : - Quelle est la dérivée de la fonction f : x →3

x ? - Donner une primitive de la fonction f : x → 4x.

- Que vaut |3+i| ?

Les idées ne manquent pas… Nous vous souhaitons, ainsi qu’à vos élèves, de bonnes séances d’activités mentales !

QUAND ON DEMANDE À NOS ÉLÈVES D’ÉCRIRE DES ÉNONCÉS...

Pour nous, enseignants de mathématiques, écrire des énoncés est une activité quotidienne : créer des exercices, s’inspirer d’énoncés existants, imaginer des devoirs, des sujets de CCF et d’examens... nous nous retrouvons tous dans ces travaux. Nous avons l’habitude de produire des énoncés en respectant les acquis des élèves, en anticipant leurs difficultés, en connaissant précisément le but poursuivi : découverte d’une notion, mise en application d’un concept, évaluation d’acquis plus ou moins complexes, cela fait partie de notre métier !

Mais devant nos énoncés, que demande-t-on à nos élèves ? La plupart du temps, ils ont des tâches de simples exécutants : lire l’énoncé et répondre aux questions posées. Ne peut-on penser qu’on peut les aider dans leur métier d’élève en les mettant dans la position de concepteur d’énoncés ? À la veille d’une évaluation, quoi de mieux pour s’y préparer que de se demander : « Qu’attend-on de moi ? Que peut-on me demander ? Après la leçon étudiée, quels types de questions peut-on me poser ? Comment seront-elles formulées ? » D’ailleurs, testez ces questions auprès de vos élèves et vous serez surpris du résultat, tant leurs réponses sont éloignées des attendus implicites de l’enseignant !

Nous vous proposons ci-dessous le témoignage de quatre collègues qui ont expérimenté avec leurs élèves l’écriture d’énoncés et mesuré l’intérêt de ce type d’activité. Soulignons, avant l’exposé de ces quatre activités, qu’elles sont tout à fait dans les cadres fixés par les référentiels qui incitent à développer chez nos élèves leurs capacités d’initiative, de rédaction et de communication par l’écrit !

Activité 1 : Devoir à la maison de probabilités en Terminale STAV Partie A : QCM

Dans un premier temps, on propose aux élèves un travail sur le QCM extrait du sujet du baccalauréat technologique STAV 2008 France dont voici le texte.

Le tableau suivant donne, pour un lycée, la répartition des effectifs suivant deux critères : le sexe et l'appartenance à la section sportive du lycée :

Élèves membres de la section sportive

Élèves non membres

de la section sportive Total

Filles 100 300 400

Garçons 200 400 600

Total 300 700 1 000

On choisit un élève au hasard dans ce lycée et on note F, G et S les évènements suivants : F : "l'élève est une fille"

G : "l’élève est un garçon"

S : "l'élève est membre de la section sportive"

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’enlève, ni n'ajoute de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée au QCM sera zéro.

Cocher pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n’est demandée.

1) La probabilité d'obtenir une fille membre de la section sportive est : ¹₃ ¹₄ ¹

10 2) On interroge une fille.

La probabilité qu’elle soit non membre de la section sportive est égale à :

0,75 ³

7 0,3

3) P_S(G) est égale à :

¹₃ ²₃ ¹₅ 4) P(S ∪ F) est égale à :

0,7 0,6 0,1

Partie B : TRAVAIL DEMANDÉ AUX ÉLÈVES

Construisez un énoncé de votre choix accompagné d’une proposition de correction détaillée basée sur l’énoncé ci-dessus ou sur tout énoncé de votre choix (QCM ou non). Cet énoncé devra comporter au minimum trois questions de difficultés différentes. Vous pourrez vous aider des exercices faits précédemment.

Conseil : Testez votre énoncé auprès de vos camarades…

COMMENTAIRES

1°) Place et justification de ce devoir :

Cet exercice permet d’effectuer une synthèse sur les notions de probabilités vues depuis le début de l’année :

1) en se confrontant pour la première fois à un QCM (dont la pertinence déclenche la polémique jusque chez les élèves !) ;

2) en complétant ce QCM par un énoncé et sa correction, tout en escomptant qu’il y aura à la fois de la rigueur mathématique et une touche de créativité personnelle.

2°) Résultats obtenus :

Voici quelques réponses proposées par les élèves Énoncé proposé par Laurène :

1) Faire un arbre.

2) Calculer P(F) et P(G).

3) Calculer la probabilité que l’élève soit une fille sachant qu’elle ne fait pas de sport.

Énoncé proposé par Benjamin :

1) Calculer la probabilité que l’élève choisi soit une fille.

2) Traduire par une phrase l’événement : P_G(S).

3) On interroge un garçon. Calculer la probabilité qu’il soit membre de la section sportive.

Une bonne partie des élèves a souhaité créer un nouvel énoncé, en voici un exemple proposé par Maxime :

Le tableau suivant donne, pour une classe verte, la répartition des effectifs suivant deux critères : la classe d’appartenance et la qualité de randonneur.

Randonneurs Non randonneurs Total

BTS GF1 14 22 36

BTS GF2 18 6 24

Total 32 28 60

On choisit un élève au hasard et on note B et R les évènements suivants : B : "l'élève est en BTS GF1" et R : "l'élève est randonneur"

1) Calculez les probabilités P

( )

2) Présenter la situation avec un arbre de probabilité en indiquant les probabilités sur chaque branche en arrondissant à 10⁻² près.

3) Calculez les probabilités PB

( )

(

)

3°) Constats :

• Le domaine des probabilités se prête particulièrement bien à la création d’énoncés, les élèves pouvant faire appel à leur imagination, souvent sans bornes...

• On peut imposer quelques contraintes supplémentaires aux élèves : rendre obligatoire la présence de probabilités conditionnelles, faire calculer la probabilité d’un événement décrit en français...

4°) Comment évaluer ?

Voici ce qui a sans doute le plus posé problème. En effet, sur ce type d’exercice, il est difficile d’imaginer une grille d’évaluation au quart de point… Alors, laissons exceptionnellement la rigueur mathématique de côté (il faut se forcer parfois) et place à des critères plus subjectifs : pertinence de l’énoncé, inventivité, qualité de la correction…

À l’arrivée, les résultats sont certes plus proches d’une répartition du type "École des Fans" (haute) que d’une répartition du type "Constante macabre" (basse)…

L’essentiel est dans ce cas ailleurs : les élèves semblent avoir apprécié d’avoir été créateurs d’énoncés et non témoins passifs. L’inventivité des sujets proposés le prouve.

5°) Prolongements possibles :

• La présence de la correction permet de voir les erreurs les plus classiques faites par les élèves.

• On peut envisager un travail sur les verbes d’actions présents dans un énoncé :

"calculer", "démontrer", "en déduire"... afin que les élèves comprennent bien leurs sens et prennent l’habitude de les repérer.

• On peut mutualiser le travail effectué : faire saisir avec l’outil informatique le travail de chacun, puis le mettre en ligne sur le réseau du lycée ou via Internet pour une utilisation future (révisions, bac blanc ou fin d’année).

Activité 2 : Des questions en Aide Individualisée en Seconde GT à partir d’un tableau de variations

TRAVAIL DEMANDÉ AUX ÈLÉVES (DEUX PAR DEUX)

À partir du tableau de variations d’une fonction f définie sur l'intervalle [−−−−2;3] donné ci- dessous, préparer des questions pour son voisin, échanger ensuite, répondre aux questions proposées, échanger de nouveau et commenter ensemble.

x −2 −1 0 1 3

f(x)

−−−−3

−−−−2

−−−−1

1

COMMENTAIRES

1°) Place de cette activité dans la progression de Seconde GT : Cette activité a été proposée :

• après l’étude des généralités sur les fonctions : notions d’image, d’antécédent, de courbe représentative, de sens de variation, d’extremum ;

• avant un devoir de synthèse sur les fonctions.

2°) Questions possibles à proposer : 1) Donner des images : f(0), f(−1)...

2) Comparer : f(−1,5) et f(−1,4) ; f(−0,5) et f(0,5) ; f(2,5) et f(2,6)...

3) Décrire le sens de variation de f sur [−2;3].

4) La fonction f est-elle croissante sur [−2;0] ?

5) Tracer dans un repère orthogonal une courbe pouvant représenter f sur [−2;3].

6) Résoudre dans [−2;3] l’équation : f(x)=0.

7) Quel est le minimum de f sur [−1;1] ?

8) En quelle valeur f admet-elle un maximum sur [−2;3] ? 3°) Variantes :

• On peut proposer des réponses sous la forme : Vrai – Faux – On ne peut pas savoir.

• On peut demander un QCM.

4°) Intérêt de ce type d’ activité en séance d’Aide Individualisée :

La première fois, ce type d’activité est déstabilisant pour les élèves, notamment pour ceux qui suivent l’Aide Individualisée et qui s’étiquettent mauvais élèves, se jugeant incapables de prendre ce genre d’initiative.

En pratiquant régulièrement ce genre d’activité avec l’objectif, entre autres, de se préparer à une évaluation, les élèves se prennent au jeu, ce d’autant plus si on leur demande de créer un énoncé pour leur voisin. Dans ce cas, l’exercice gagne en efficacité et oblige l’élève à

0

s’assurer de la faisabilité des questions. C’est une activité qui favorise la rigueur dans le choix et la pertinence des données et dans la formulation des questions. Le travail 2 par 2 permet, dans l’échange, de faire sa propre autocritique.

Il peut être intéressant, car valorisant pour les élèves suivant l’Aide Individualisée, que l’enseignant s’engage à proposer un des exercices construits par les élèves dans la prochaine évaluation.

Ce type d'activité peut se pratiquer à maintes occasions lors de l’Aide Individualisée :

• préparer pour son voisin deux équations du second degré (l’élève doit anticiper la nécessité de factoriser et la faisabilité de la factorisation par des méthodes accessibles en Seconde GT) ;

• préparer pour son voisin des questions à partir d’une courbe représentative de fonction (lecture d’images, d’antécédents, résolution graphique d’équations et d’inéquations, intersection de la courbe et d’une droite à tracer, tableau de variations…).

Ce type d’activité présentera un intérêt d’autant plus grand que les objectifs auront été clairement explicités en début et en cours de leçon par l’enseignant. Une fiche d’objectifs (consulter à ce propos l’article Travail par objectifs du bulletin 7 de PY-MATH) peut être un moyen de passer un contrat clair avec les élèves. La création d’énoncés trouve alors naturellement sa place dans la phase bilan de la leçon étudiée avant l’évaluation : Quels objectifs vont être évalués ? Quels exercices réalisés en classe ou à la maison sont à relier avec ces objectifs ? En un mot, qu’est ce que mon prof. a en tête ? (Mystère…)

Activité 3 : Un exercice de géométrie vectorielle en Seconde GT Retrouver l’énoncé à partir de la réponse rédigée

À noter : Un nouveau programme est en vigueur en Seconde GT depuis la rentrée 2009. Néanmoins, nous présentons l'activité ci-dessous telle qu'elle a été réalisée en 2008 avec le programme précédent, où la partie géométrie vectorielle était un peu plus étoffée. Chacun pourra s'en inspirer et l'adapter pour un exercice d’approfondissement en Seconde GT dans l’objectif d’entraînement à la logique ou l’utiliser pour une activité en Première S.

TRAVAIL DEMANDÉ AUX ÉLÈVES

En utilisant la relation de Chasles, nous pouvons écrire :

→IA + ^→IE = ^→IB +BA^→+ ^→IC +CE ^→ (1)

Or le point I est le milieu de du segment [BC], donc :

→IB + ^→IC =0 ^→ (2)

De plus le point E est le symétrique de D par rapport à C, donc :

CE→=−CD ^→ (3)

Compte tenu de (2) et (3) , l’égalité (1) devient :

→IA + ^→IE =BA^→−CD ^→

Le quadrilatère ABCD est un carré, donc BA^→=CD, et nous obtenons finalement ^→

→IA + ^→IE =0 ce qui prouve que I est milieu du segment [AE]. ^→

Proposer un énoncé d’exercice pouvant correspondre à cette réponse rédigée.

COMMENTAIRES

1°) Justification de cette activité :

En géométrie, une des difficultés majeures des élèves est d'exposer rigoureusement une démonstration ; il n'est pas rare de voir nos élèves se contenter d'écrire en vrac sans aucun fil conducteur, les données, les outils et la conclusion. Cette activité est une aide pour faire progresser les élèves dans la rédaction d'une démonstration. Il s’agit de poursuivre l'apprentissage d'une démarche déductive et d’aller vers la maîtrise d'un vocabulaire logique adapté.

2°) Des étapes à distinguer :

L'activité a été donnée sous une forme brute. Il va de soi que retrouver l'énoncé de l'exercice à partir de la solution rédigée rend nécessaire le repérage préalable :

• des données (hypothèses) du problème,

• de la conclusion,

• des outils (définitions ou propriétés),

• des résultats intermédiaires.

Il sera utile, bien sûr, de faire réaliser aux élèves un dessin codé décrivant les données. Un schéma de démonstration peut être aussi une aide pour comprendre l'enchaînement des différentes étapes du raisonnement (consulter à ce propos l'article Boîte à outils et déductogramme du bulletin 12 de PY-MATH).

Une variante possible dans ce type d'exercice serait de donner les éléments de la démonstration dans le désordre et de demander, tout en retrouvant l'énoncé, de remettre dans l'ordre les différentes étapes. Cet exercice induit alors une réflexion très riche sur les mots de liaison : car, donc, or, en effet, de plus, par conséquent, puisque...

3°) Des prolongations :

On peut demander aux élèves une solution analytique dans un repère orthonormal.

On peut demander aux élèves d'imaginer d'autres solutions :

• l'utilisation de la réciproque du théorème de Thalès, après avoir justifié le parallélisme des droites (AD) et (BC) en est une ;

• l'utilisation des caractéristiques du parallélogramme ABEC, après avoir justifié la nature de ce quadrilatère, en est une autre.

Pour finir, on peut faire chercher aux élèves l'hypothèse superflue.

Charade

Mon deuxième est au milieu.

Mon tout est ce qui nous préoccupe en ce moment.

(Réponse : barrit, centre, barycentre)

Activité 4 : Des révisions avant le Brevet sous forme de questions-réponses en Troisième de l'Enseignement Agricole

TRAVAIL DEMANDÉ AUX ÉLÈVES

Par groupe de 6 élèves, réaliser 10 fiches de Français, 10 fiches de Mathématiques et 10 fiches d’Histoire-Géographie, avec les consignes suivantes :

• Chacune des fiches doit comporter une question ou un exercice à traiter mentalement ; la réponse attendue figurera sur la fiche.

• L’ensemble du programme de troisième doit être balayé.

Deuxième partie

Les groupes se posent les questions tour à tour sous la forme d’un tournoi.

COMMENTAIRES

1°) Place de cette activité et justification de ce travail :

Cette activité a été conduite lors de la dernière séance de révision en classe de Troisième de l'Enseignement Agricole avant le Brevet. L’envie de terminer les révisions par quelque chose de plus agréable pour clôturer l’année nous a donné l’idée de travailler les trois matières ensemble. C’est ainsi que l’idée du tournoi est née.

Plutôt que de donner directement des questions préparées à l’avance par les enseignants, nous avons laissé faire ce travail aux élèves afin de leur faire préciser leur propre synthèse du programme et de la compléter ensuite éventuellement, avec l’appui des enseignants.

2°) Résultats obtenus :

Voici quelques fiches de mathématiques rédigées par les élèves : Donner l’écriture

scientifique de 19,763.

Réponse : 1,9763×10¹

L’axe des ordonnées est : 1) vertical ou horizontal ? 2) (Ox) ou (Oy) ?

Réponse : Vertical et (Oy)

Calculer (a+b)_×c dans le cas suivant : a=6

b=2 c=8

Réponse : (6+2)_×8=8_×8=64 Par combien faut-il multiplier

un prix si on l’augmente de 30 % ?

Réponse : 1,30

Résoudre l’inéquation :

−5 x<10 Réponse : x>¹⁰

−5 soit x>−2 Donner la formule de la tangente d'un angle.

Réponse : Tangente= adjacent opposé

Calculer 8×9.

Réponse : 72

3°) Constats et prolongements possibles :

Les élèves se sont bien prêtés au jeu. Certains ont spontanément utilisé le cahier de cours pour créer les questions, ce qui leur a permis de balayer la plupart des chapitres. D’autres se sont basés sur les sujets du Brevet traités en révision ou sur leur propre mémoire ! Ce qui est certain, c’est que tous les groupes ont cité le théorème de Pythagore, le fameux théorème à connaître pour le Brevet !

Paradoxalement, il y a eu une seule question sur les fonctions affines et linéaires. Peut être est-ce un signe de la difficulté d’aborder la notion nouvelle de fonction et le vocabulaire afférent !

Les autres questions portaient essentiellement sur les exercices de la première partie du Brevet : écriture scientifique, écriture décimale, (in)équations ax=b ou x+b=c, calcul numérique, identités remarquables, arrondis. La consigne de calculer mentalement induisait de tels énoncés. Par ailleurs, le fait d’avoir à rédiger la réponse sur la fiche a poussé les élèves à réfléchir sur la faisabilité de l’exercice. Ainsi les équations du type ax+b=cx+d ont été abandonnées par la plupart des groupes car jugées difficiles à résoudre de tête.

Un échange au sein d’un groupe prêtait même à sourire :

« Mélanie : – Si on demandait la table de multiplication ? Estelle : – Tu rigoles, c’est trop facile comme question ! Mélanie : – Ah, tu crois ? Et tu sais combien font 8_×9 ?

Estelle : – Euh… 81 ?… non 72 ! Bon d’accord pour mettre la question. »

Enfin, des questions portaient sur le triangle (aires, angles, trigonométrie, droites particulières).

Un groupe a essayé d’élaborer des questions sur la statistique, mais s’est heurté à la difficulté de réaliser un énoncé adapté à la forme orale du questionnaire, les élèves se sont contentés de demander la nature qualitative ou quantitative d’un caractère. Sans fournir un tableau de données pour réaliser des calculs, le groupe n’a pas réussi à créer de questions.

Concernant la forme des questions, un groupe a eu l’idée d’en proposer certaines sous la forme de QCM.

La rédaction des questions terminée, le tournoi a débuté, les professeurs de Français et d’Histoire-Géographie suant à grosses gouttes à la lecture des questions de mathématiques et le professeur de Mathématiques s’interrogeant sur les deux principaux acteurs de la décolonisation ou les adjectifs épithètes. Bref un bon moment !

En conclusion, ce type d’activité mérite d’être renouvelé dans l’année en ciblant un chapitre précis ou bien un exercice type, et en variant les démarches de travail : réponses orales avec calcul mental ou réponses écrites moins immédiates.

Cette forme d’exercice a incité les élèves à être acteurs. Ce qui est sûr, c’est que nous conservons les fiches élaborées afin de les réutiliser l’année prochaine, soit ponctuellement pour chaque matière, soit pour des révisions en commun.

DU COLLÈGE À LA SECONDE PROFESSIONNELLE : QUELLES ÉVOLUTIONS ?

La réforme de la voie professionnelle s’est mise en place à la rentrée 2009. La formation débouchant sur l’obtention du Baccalauréat professionnel débute en classe de Seconde professionnelle avec cinq nouveaux référentiels structurés en modules.

Les mathématiques font partie du module commun d’enseignement général EG4 "CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE" d'objectif général : S'approprier des éléments d'une culture scientifique et technologique pour se situer et s'impliquer dans son environnement social et culturel.

L’objectif 1 concerne les mathématiques. Il s'agit de : S’approprier des techniques et des concepts mathématiques liés aux domaines statistique-probabilités, algèbre-analyse et géométrie pour résoudre des problèmes dans des champs d’application divers.

Nous ne doutons pas que vous avez été curieux des programmes du collège qui ont évolué ces dernières années et ont précédé cette nouvelle classe de Seconde professionnelle. Néanmoins, nous vous proposons ci-dessous un tableau qui parcourt année par année et rubrique par rubrique ces évolutions. Nous avons choisi de ne citer que quelques extraits des programmes du collège, ceux qui ont donné lieu explicitement à une suite en Seconde professionnelle, même si bien d'autres pré-requis sont présents au collège et utiles pour la suite. Les programmes complets (collège, Quatrième et Troisième de l'Enseignement Agricole, Seconde professionnelle) peuvent être retrouvés sur le site Internet AIR DE MATH à l'adresse : http://www.enfa.fr/r2math

À noter que les programmes des classes de Quatrième et Troisième de l'Enseignement Agricole sont quasiment les mêmes que ceux des classes de Quatrième et Troisième générales, à ceci près que la notion de probabilité est absente en Troisième de l'EA ! En tout état de cause, il conviendra de repérer précisément les pré-requis possédés par les élèves à l’entrée en Seconde professionnelle. En conséquence, une partie de l'horaire supplémentaire enseignant de 30 heures de mise à niveau en Seconde professionnelle peut être utilisée pour consolider des bases fragiles en Mathématiques, notamment pour certains élèves de Troisième de l'EA.

Remarquons aussi que l'usage de l'outil informatique vivement recommandé au collège devient, avec l'utilisation des calculatrices graphiques, une obligation dans la formation en Seconde professionnelle !

Même si l’on peut être tenté de comparer le programme antérieur des deux années du cycle BEPA et celui de cette classe de Seconde professionnelle, il nous faut considérer ce dernier comme un nouveau départ, celui d'une filière professionnelle à part entière avec, dans le viseur, la préparation d'un Baccalauréat professionnel. Dans un prochain numéro de la revue, nous envisageons de publier plusieurs progressions de Seconde professionnelle testées cette année et commentées. Si l’envie vous en dit, n'hésitez pas à faire partager votre expérience ! Enfin, nous n'oublions pas que la classe de Seconde générale connaît également un nouveau programme depuis la rentrée 2009, faisant suite aux nouveaux programmes du collège, avant une réforme du lycée plus globale à la rentrée 2010. Compte tenu de la parution tardive de ce programme de Seconde générale, nous vous engageons à suivre l'actualité sur le site Internet du Ministère de l'Éducation Nationale à l'adresse : http://www.eduscol.education.fr et sur le site de l'APMEP à l’adresse : http://www.apmep.asso.fr/

Seconde professionnelle 1.1- Organiser et traiter des données statistiques à une variable − Choisir un mode de représentation graphique adapté (diagrammes en secteurs, en bâtons, histogramme). − Extraire des informations d’une représentation d’une série statistique. − Déterminer des indicateurs de tendance centrale (mode, moyenne et médiane) et des indicateurs de dispersion (étendue et écart interquartiles). Pour la médiane et les quartiles, on se limite aux séries statistiques continues. La détermination de ces indicateurs s’effectue à partir de la courbe des fréquences cumulées croissantes. − Comparer deux séries statistiques à l’aide de représentations graphiques ou des indicateurs précédents. 1.2- Approcher la notion de probabilité par une démarche expérimentale − Expérimenter, puis simuler la prise d’échantillons aléatoires de taille n fixée. − Observer la stabilisation relative des fréquences quand n augmente, notion de probabilité.

Troisième Page 34 1.3. Statistique − Une série statistique étant donnée (sous forme de liste ou de tableau ou par une représentation graphique) : • déterminer une valeur médiane de cette série et en donner la signification ; • déterminer des valeurs pour les premier et troisième quartiles et en donner la signification ; • déterminer son étendue. Page 34 1.4. Notion de probabilité − Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. − Calculer des probabilités dans des contextes familiers (les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou deux épreuves).

Quatrième Page 27 1.3. Traitement des données − Calculer la moyenne pondérée d’une série de données.

Cinquième Page 20 1.4. Représentation et traitement de données − Effectifs, fréquences. − Regrouper des données en classes d’égale amplitude. − Lire et interpréter des informations à partir d’un tableau ou d’une représentation graphique… − Présenter des données sous forme d’un tableau, d’un diagramme ou d’un histogramme.

Sixième Page 14 1.2. Organisation et représentation des données − Lire, utiliser et interpréter des informations à partir d’une représentation graphique simple.