I Pour bien commencer
I.1 Limite en 0 d’une fonction
SoitI un intervalle contenant 0,I∗=I\ {0}et
f :I∗−→R x 7−→f(x)
D é f i n i t i o n: On dit quef admet une limite finieLlorsquextend vers 0 si, et seulement si, pour tout choix d’un intervalle ouvert centré surL, on peut trouver une valeurxint ∈Itelle que
x∈Iet x∈]−xint;xint[ implique quef(x) est dans l’intervalle choisi.
On note lim
x→0f(x) =L
Exemple 1 Calculer la limite en 0 de
f:R∗−→R x 7−→2x+x2
x . (Choisir plusieurs intervalles et finalement]2−ǫ; 2 +ǫ[)
Remarque 1 :
•En classe de première, pour les fonctions usuelles définies en 0, le calcul de la limite en 0 revient au calcul de l’image de 0 :
t:R−→R x 7−→ x−1
x2+ 1
•Perspectives :
⊲ Une fonction peut avoir une limite infinie en 0 :
g:R∗−→R x 7−→ 1
x2
⊲ Une fonction peut ne pas avoir de limite en 0 :
w:R∗−→R x 7−→ |x| x Exemple 2 Calculer lim
x→03x3−5x2+ 7
I.2 Taux de variation d’une fonction en a
Dans ce paragraphe, on considère un intervalleI,aun nombre réel deI et f :I−→R
x 7−→f(x)
1 2 3 4
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
Cf
b b
A M
∆a
a a+h
hun réel non nul tel quea+h∈I.
On considère les pointsA(a;f(a)) etM(a+h;f(a+h)).
⊲Pourquoi notera+hl’abscisse deM?
⊲Quel est le coefficient directeur de la droite ∆a= (AM) ?
⊲ Dans le contexte précédent, quelle est la conséquence graphique de l’existence d’un nombre finie L obtenue en calculant lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h ?
Le quotient f(a+h)−f(a)
h s’appelle le taux de variation en ade la fonctionf.
II Nombre dérivé
II.1 Définition
D é f i n i t i o n: SoitI un intervalle contenant un nombre réela, etf une fonction f :I−→R
x 7−→f(x)
. On dit quef estdérivableenasi, et seulement si, le taux d’accroissement enadef admet une limite finieL:
hlim→0
f(a+h)−f(a)
h =L
Ce nombreL est appelénombre dérivé de la fonction f en aet se notef′(a).
Exemple 3 Soit
f:R−→R
x 7−→f(x) =x2−4x+ 1 . Déterminerf′(3).
II.2 Équation de la tangente à la courbe d’une fonction en A
Soit un intervalleI contenantaet
f :I−→R x 7−→f(x) f est dérivable enI.
La droite qui passe parA(a;f(a)) et decoefficient directeurf′(a) est latangenteàCf au pointA.
Son équation réduite est : y=f′(a)(x−a) +f(a) (démo)
Remarque 2 « Localement », la tangente à une courbe en un point, ne coupe la courbe qu’en 1 seul point.
EXERCICE 1 : nos7, 10, 11 page 116
EXERCICE 2 :
~i
~j
f : [−5; 1[∪]1; 7]−→R x 7−→f(x)
Construire une courbe possible pourf avec :
⊲ f(−3) = 3 etf′(−3) =−1
⊲ f(−1) = 2 etf′(−1) = 0
⊲ f(0) = 3 etf′(0) = 1
⊲ f(2) = 2 etf′(2) =−2
⊲ f(5) = 1 etf′(5) = 0,5
EXERCICE 3 :
f :R−→R
x 7−→f(x) =x2−4x+ 1 Déterminer l’équation de la tangente àCf au point d’abscissse 3.
III Fonction dérivée
III.1 Idée
À ce stade de la leçon, il n’est possible de calculer un nombre dérivé qu’un par un calcul de limite ou par une lecture graphique. Il serait plus aisé de disposer d’un mécanisme de calcul des nombres dérivés.
Or, qui dit mécanisme, dit fonction. On va donc accompagner, lorsque c’est possible, toute fonction d’une autre fonction qui permettra le calcul des nombres dérivés.
III.2 Définition
D é f i n i t i o n: On dit qu’une fonctionf est dérivable sur un intervalleI, si elle est dérivable en tout réel ade cet intervalle (c.a.d si le nombre dérivéf′(a) existe).
La fonction de I dansR qui à tout réelxdeI associe le nombre dérivé de f enxest alors appeléela fonction dérivée(oudérivée) def surI.
On la note
f′:I−→R x 7−→f′(x) .
III.3 dérivées des fonctions usuelles
EXERCICE 4 Soit
f :R−→R x 7−→x2 Déterminer la fonction dérivée de la fonction carré.
Tableau des dérivées des fonctions usuelles
Fonction Dérivée Ensemble de dérivation
x7−→k,k∈R x7−→0 R
x7−→x x7−→1 R
x7−→x2 x7−→2x R
x7−→x3 x7−→3x2 R
x7−→xn ,n∈N∗ x7−→nxn−1 R x7−→ 1
x x7−→ − 1
x2 ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ x7−→ 1
xn ,n∈N∗ x7−→ − n
xn+1 ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ x7−→√
x x7−→ 1
2√
x ]0; +∞[
x7−→sinx x7−→cosx R
x7−→cosx x7−→ −sinx R
Ensemble de dérivation def : ensemble des réels en lesquelsf est dérivable.
Remarque 3 :
• La fonction racine carrée est définie en 0, mais n’est pas dérivable en 0. (voir ex 35 p 118) en effet, lim
h→0
√0 +h−√ 0 h =. . .
• Il en est de même pour la fonction valeur absolue : elle n’est pas dérivable en 0.
• Particularités graphiques de fonctions non dérivables ena.
III.4 Opérations sur les dérivées
À ce stade de la leçon, on dispose des dérivées des fonctions usuelles. Une fonction quelconque est unesomme, un produit, unquotient, unecomposée(TS) de fonctions usuelles, il faut donc définir des règles de calculs de dérivées pour ces fonctions là. Par exemple, comment par exemple dériver
f :R∗−→R
x 7−→2x2+4x−1
x ?
◮ Dérivée d’une somme
Siuetv sont deux fonctions dérivables sur un intervalleI, alorsu+v est dérivable surI, et on a : (u+v)′=u′+v′
C’est à dire,∀x∈I,(u+v)′(x) =u′(x) +v′(x).
Exemple 4 Quelle est la dérivée de h: ]2; +∞[−→R
◮ Dérivée d’un produit
Siuetv sont deux fonctions dérivables sur un intervalleI, alorsuv est dérivable surI, et on a : (uv)′ =u′v+uv′
C’est à dire,∀x∈I,(uv)′(x) =u′(x)v(x) +u(x)v′(x).
Exemple 5 Quelle est la dérivée de h: ]2; +∞[−→R
x 7−→x2
√
x− 1 x3
?
Conséquence très importante: Soitkun réel quelconque,uune fonction dérivable sur un intervalleI. D’après le théorème précédent,kuest dérivable surI et (ku)′=ku′
Exemple 6 Quelle est la dérivée de
h: ]2; +∞[−→R x 7−→4x3 ?
◮ Dérivée d’un quotient
Siuetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIetvne s’annulant pas surI, alors u
v est dérivable surI, et on a :
u v
′
= u′v−uv′ v2 C’est à dire,∀x∈I,u
v ′
(x) = u′(x)v(x)−u(x)v′(x) (v(x))2 .
Exemple 7 Quelle est la dérivée de h: ]2; +∞[−→R
x 7−→ 3x2 2x−4 ?
Conséquence très importante : Soit uune fonction dérivable sur un intervalleI sur lequel elle ne s’annule pas. D’après le théorème précédent, 1
u est dérivable surI et
1
u ′
=−u′ u2
Exemple 8 Quelle est la dérivée de h:R−→R
x 7−→ 1
x2+x+ 2 ?
En résumé :
Opération Fonction Dérivée
Addition u+v u′+v′
Multiplication uv u′v+uv′
Multiplication par un scalaire ku ku′
Quotient u
v
u′v−uv′ v2
Inverse 1
u −u′
u2
III.5 Application des dérivées à l’étude des fonctions
III.5.1 Déterminer les variations d’une fonction
Depuis le chapitre 3, la détermination des variations d’une fonction f définie sur un intervalle I passait par la connaisance des fonctions associées ou par « l’inévitable » recherche du signe de f(a)−f(b) dès lors que l’on avait a < baveca, b∈I. Ce nouveau chapitre donne un nouvel outil :
Soitf une fonction dérivable sur un intevalleI :
• Si la dérivéef′ est nulle surI (f′(x) = 0,∀x∈I), alorsf est constante sur I ;
• Si f′ est strictement positive sur I, sauf peut-être en des points « isolés » où elle s’annule, alors f est strictement croissantesurI;
• Si f′ est strictement négative sur I, sauf peut-être en des points « isolés » où elles’annule, alors f est strictement décroissantesurI;
Remarque 4 La fonction cube (f(x) =x3définie sur R) offre un exemple marquant :∀x∈R, f′(x) =. . . ..
III.5.2 Exemple d’étude de variations d’une fonction f :R−→R
x 7−→x3−2x2
Je justifie la dérivabilité de f sur R, je calcule la dérivée sur R, je recherche les éventuelles valeurs qui annulent la dérivée, je détermine le signe de la dérivée surRet je rassemble tous les renseignements dans un tableau de variations
« amélioré » où figure une ligne pour le signe de la dérivée.
III.5.3 Extremum d’une fonction
Un extremumest soit un minimum, soit un maximum.
Local ou global ? Soitg définie surRparg(x) =1
3x3−169x. Compléter le tableau de variations suivant : x
Signe deg′(x) Variations deg
−∞ . . . . . . +∞
+ 0 − 0 +
ts ts
. . . . . .
. . . . . .
ts ts
Soitf une fonction dérivable sur un intervalle ouvertI, etx0∈I.
Sif′ s’annule enx0 (f′(x0) = 0) en changeant de signe alorsf admet un extremum local enx0.
Pour qu’il y ait un extremuml local enx0∈I, il faut quef′(x0) = 0 (on qualifie cette obligation de condition nécéssaire)
Remarque 5 :
En pratique, la lecture des extrema (extremums) se fait dans les tableaux de variations.
EXERCICE 5 Démontrer que
h:R−→R
x 7−→ −15x4+ 80x3+ 150x2−3511 admet un maximum.
Boîte à raccourcis :
• Les fonctions polynômes sont dérivables surR.
• Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition (c’est à dire sur tout ensemble où le dénominateur ne s’annule pas).
