Premi`erepartie COMPOSITIONDEMATH´EMATIQUES–(XEULC) 1 / 4

(1)

X/ENS Maths PC 2015 — Énoncé 1 / 4

ECOLE POLYTECHNIQUE – ´ ´ ECOLES NORMALES SUP´ ERIEURES ECOLE SUP´ ´ ERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2015 FILI` ERE PC

COMPOSITION DE MATH´ EMATIQUES – (XEULC)

(Dur´ee : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autoris´ee pour cette ´epreuve.

Toute affirmation doit ˆ etre clairement et compl` etement justifi´ ee.

⋆ ⋆ ⋆

Dans ce probl`eme, n est un entier strictement positif. L’espace vectoriel r´eel R

ⁿ

est muni du produit scalaire canonique h· , ·i et de la norme euclidienne associ´ee k · k ; on l’identifie ` a l’espace M

n,1

( R ) des vecteurs colonnes ` a n coordonn´ees. Ainsi, pour deux vecteurs x et y de R

ⁿ

, h x, y i =

^t

xy.

M

n

( R ) est l’alg`ebre des matrices n × n ` a coefficients r´eels et S

n

( R ) est le sous-ensemble de M

n

(R) composé des matrices réelles symétriques. On notera

^t

M la matrice transpos´ee de M et I

_n

la matrice identit´e. Par abus de notation, on identifiera h x, y i au vecteur ` a une ligne et une colonne

^t

x y.

Les coordonnées d’un n-uplet m de réels (considéré comme vecteur ligne) seront notées m

₁

, . . . , m

_n

.

Si m est un n-uplet de r´eels, m

^↓

est le n-uplet obtenu ` a partir de m par permutation de ses coordonn´ees de sorte que m

^↓₁

> m

^↓₂

> · · · > m

^↓_n

. Autrement dit, il s’agit du n-uplet obtenu en ordonnant dans l’ordre d´ecroissant les coordonn´ees de m. Par exemple, si m = (3, 2, − 1, 6, 2,9), m

^↓

= (9, 6, 3,2, 2, − 1).

L’ensemble des valeurs propres d’une matrice M de M

n

( R ) sera appel´e, comme ` a l’habitude, spectre de M. On notera s

^↓

l’application de S

n

( R ) dans R

ⁿ

qui ` a une matrice M symétrique associe le n-uplet (appelé spectre ordonn´ e) de réels dont les cordonnées sont les éléments ordonnés dans l’ordre décroissant du spectre de M (répétés autant de fois que leur ordre de multiplicité).

Ainsi, par exemple, si le spectre de la matrice M ∈ S

4

( R ) vaut {− 1, 3, 3, 7 } , on a s

^↓

(M) = (7, 3, 3, − 1).

Pour M ∈ M

n

( R ), on pose

k M k = sup

kxk=1

k M x k . On admet qu’il s’agit d’une norme sur M

n

( R ).

Premi` ere partie

1a. Rappeler pourquoi S

n

( R ) est un espace vectoriel r´eel et quelle est sa dimension. Pourquoi l’application s

^↓

est-elle bien d´efinie sur S

n

( R ) ?

1b. L’application s

^↓

est-elle lin´eaire ? Justifier votre r´eponse.

1c. Si M ∈ S

n

( R ), exprimer s

^↓

( − M) en fonction des coordonn´ees (m

₁

, . . . , m

_n

) de s

^↓

(M).

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(2)

X/ENS Maths PC 2015 — Énoncé 2 / 4

1d. Soit M = λ h

h µ

une matrice de S

2

( R ). Calculer s

^↓

(M).

2a. Soit M ∈ S

n

( R ), on note m = s

^↓

(M) son spectre ordonn´e. Montrer qu’il existe une base orthonorm´ee (v

₁

, . . . , v

_n

) de R

ⁿ

telle que

M =

n

X

i=1

m

_i

v

_i^t

v

_i

.

Une telle d´ecomposition de M sera appel´ee dans la suite r´ esolution spectrale de M.

2b. Calculer

sup

kxk=1

h x, M x i

en fonction des coordonnées de m. Cette borne supérieure est-elle atteinte ? (On pourra décomposer x et M x sur la base orthonormée (v

₁

, . . . , v

n

) de la question 2a).

2c. Les notations sont celles de la question 2a. Soit j un entier, 1 6 j 6 n. On note V

j

le sous-espace vectoriel de R

ⁿ

engendr´e par (v

₁

, . . . , v

_j

), et W

j

celui engendr´e par (v

j

, v

_j+1

, . . . , v

_n

).

Montrer les ´egalit´es

x∈Vj

inf

,kxk=1

h x, M x i = sup

x∈Wj,kxk=1

h x, M x i = m

_j

. 3a. Soient U et V deux sous-espaces vectoriels de R

ⁿ

tels que

dim U + dim V > n.

Montrer que U ∩ V ne se r´eduit pas ` a { 0 } .

3b. Soit M ∈ S

n

(R), on note m = s

^↓

(M). Soient j un entier, 1 6 j 6 n, et V un sous-espace vectoriel de R

ⁿ

de dimension j . Montrer que

x∈V,

inf

kxk=1

h x, M x i 6 m

_j

. (On pourra utiliser les questions 2c et 3a, en choisissant U = W

j

.) 3c. En reprenant les notations de la question 3b, en d´eduire que

sup

V⊂Rⁿ,dimV=j

x∈V,

inf

kxk=1

h x, M x i = m

_j

. Cette borne sup´erieure est-elle atteinte ?

4. Soient m et ℓ deux n-uplets de r´eels. On note

ℓ 4 m si et seulement si, pour tout entier j, 1 6 j 6 n, ℓ

_j

6 m

_j

. 4a. Soient L, M ∈ S

n

( R ) telles que (0, . . . , 0) 4 s

^↓

(M − L). Montrer que s

^↓

(L) 4 s

^↓

(M ).

4b. Montrer que pour toute matrice M ∈ S

n

( R ), (0, . . . , 0) 4 s

^↓

k M k I

_n

− M . 4c. Soit L, M ∈ S

n

(R), on note m = s

^↓

(M) et ℓ = s

^↓

(L). Montrer que

16j6n

max | ℓ

_j

− m

_j

| 6 k L − M k .

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(3)

X/ENS Maths PC 2015 — Énoncé 3 / 4

4d. Conclure que la fonction s

^↓

: S

n

(R) → R

ⁿ

est continue.

5. On note S

n^†

( R ) l’ensemble des matrices sym´etriques n × n dont toutes les valeurs propres sont simples.

5a. Soit M ∈ S

n^†

( R ). D´eterminer un r´eel r > 0 tel que la boule ouverte de S

n

( R ) centr´ee en M et de rayon r soit incluse dans S

n^†

( R ). En d´eduire que S

n^†

( R ) est un ouvert de S

n

( R ).

5b. Montrer que la premi`ere composante s

^↓₁

de s

^↓

est de classe C

¹

sur S

2^†

( R ), mais pas sur S

2

( R ). (On pourra utiliser la question 1d.)

Deuxi` eme partie

Dans toute cette partie, on considère deux matrices symétriques réelles A, B ∈ S

n

( R ) et leur somme C = A + B. On note a = s

^↓

(A), b = s

^↓

(B) et c = s

^↓

(C).

6a. Montrer que

n

X

i=1

c

_i

=

n

X

i=1

a

_i

+

n

X

i=1

b

_i

.

6b. Montrer que a

₁

+ b

₁

> c

₁

. 6c. Montrer que a

n

+ b

n

6 c

n

.

7a. Soient U , V et W trois sous-espaces vectoriels de R

ⁿ

tels que dim U + dim V + dim W > 2n.

Montrer que U ∩ V ∩ W ne se r´eduit pas ` a { 0 } .

7b. En utilisant des r´esolutions spectrales de A, B et C , montrer que si les entiers strictement positifs j et k v´erifient j + k 6 n + 1, on a

c

_j+k−1

6 a

_j

+ b

_k

. En d´eduire pour tout entier j, 1 6 j 6 n,

a

_j

+ b

_n

6 c

_j

. 8. On note a

_ii

pour 1 6 i 6 n les ´el´ements diagonaux de A.

8a. D´emontrer que a

₁₁

6 a

₁

.

8b. Soient j et k des entiers positifs tels que 1 6 j < k et s

₁

> s

₂

> · · · > s

_k

des r´eels. On d´efinit D

j,k

= { (t

₁

, . . . , t

_k

) ∈ [0,1]

^k

| t

₁

+ · · · + t

_k

= j } et f la fonction de D

j,k

dans R d´efinie par

f (t

1

, . . . , t

_k

) =

k

X

i=1

s

_i

t

_i

.

D´emontrer que pour tout (t

₁

, . . . , t

_k

) ∈ D

j,k

,

j

X

i=1

s

_i

− f (t

₁

, . . . , t

_k

) >

j

X

i=1

(s

i

− s

_j

)(1 − t

_i

).

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(4)

X/ENS Maths PC 2015 — Énoncé 4 / 4

En d´eduire que

sup

Dj,k

f =

j

X

i=1

s

_i

.

8c. Montrer que, plus g´en´eralement qu’en 8a, on a pour tout entier 1 6 j 6 n

j

X

i=1

a

_ii

6

j

X

i=1

a

_i

.

8d. En d´eduire que pour tout entier 1 6 j 6 n

j

X

i=1

a

i

= sup

(x1,...,xj)∈Rj j

X

i=1

h x

i

, Ax

i

i ,

o` u R

j

est l’ensemble des familles orthonormales de cardinal j dans R

ⁿ

. 8e. En conclure que l’on a pour tout entier 1 6 j 6 n

j

X

i=1

c

_i

6

j

X

i=1

a

_i

+

j

X

i=1

b

_i

.

Troisi` eme partie

Dans toute cette partie, on ´etudie le cas n = 2. Pour deux r´eels u et v tels que u > v, on note :

S(u, v) = { M ∈ S

2

( R ) | s

^↓

(M) = (u, v) } . On fixe a

₁

> a

₂

et b

₁

> b

₂

, quatre r´eels v´erifiant la relation

a

₁

− a

₂

> b

₁

− b

₂

. On cherche ` a identifier l’ensemble

Σ = { s

^↓

(A + B) | A ∈ S(a

₁

, a

₂

), B ∈ S(b

₁

, b

₂

) } ,

autrement dit, l’ensemble des spectres possibles de somme de deux matrices symétriques réelles de spectres respectifs donnés.

9. Montrer que Σ est inclus dans un segment de droite L de longueur √

2(b

₁

− b

₂

), et dont on précisera les extrémités. On pourra étudier d’abord le cas o` u A et B sont diagonales.

10a. Montrer que Σ =

s

^↓

(A + B) | A =

a

₁

0 0 a

₂

, B ∈ S(b

1

, b

₂