ecritblanc 20141117 corr

(1)

Corrig´ e de l’´ ecrit blanc du 17 novembre 2014 Premier probl` eme

Partie 1

1. Puisque T_n suit une loi binomiale de param`etre (n, λ/n), on a pour tout k ≤ n, P(Tn= k) =n

k

λ n

k 1 −λ

n

n−k

L’espérance de Tnest égale à n∗λ/n, c’est-à-dire à λ est sa variance est égale à n(λ/n)(1−λ/n) = λ(1 − λ/n)

2. On remarque que pour k = 0, on a pour tout entier naturel n n!

(n − k)! n^k = 1

Donc la limite de cette expression lorsque n tend vers +∞ est ´egale `a 1.

De mˆeme pour k = 1, pour tout entier naturel n non nul : n!

(n − k)! n^k = 1 − 1 n

et la limite de cette expression lorsque n tend vers +∞ est ´egale `a 1.

Soit maintenant k un entier naturel fixé supérieur ou égal à 2. On considère un entier n supérieur

`

a k. On a

n!

(n − k)! n^k = n(n − 1) · · · (n − k + 1) n^k

=

k−1

Y

j=1

1 − j

n

L’entier k ´etant fix´e, chacun des termes de ce produit (qui ne comporte qu’un nombre fini de termes) tend vers 1.

On en d´eduit donc que, pour tout entier k fix´e, limn

n!

(n − k)! n^k = 1.

Intéressons-nous à la deuxième expression. Fixons à nouveau un entier naturel k.Pour tout entier n strictement supérieur à λ, on a

ln

1 −λ

n

n−k

= (n − k) ln

1 −λ

n

Lorsque n tend vers 0, λ/n tend vers 0. On peut donc utiliser l’´equivalent suivant lorsque x tend vers 0 de ln(1 + x) :

ln(1 + x) ∼

0 x On obtient

ln

1 −λ

n

n→∞∼

−λ n L’entier k ´etant fix´e, il vient

n→∞lim

(n − k) ln

1 −λ

n

= −λ donc

limn

1 −λ

n

n−k

= e^−λ.

(2)

3. Soit k un entier naturel. Pour tout n suffisamment grand : P(Tn= k) = λ^k

k!

n!

(n − k)!n^k

1 −λ

n

n−k

donc, en utilisant les résultats de la question précédente, la limite de P(Tn= k) lorsque n tend vers +∞ existe

limn P(T_n= k) = λ^k k!e^−λ.

4. On remarque les pk sont des réels positifs, et que leur somme est égale à 1 (en utilisant le développement en série entière de la fonction exponentielle.) On peut donc définir une probabilité µ sur N en posant pour tout k, µ{k} = pk, et nous pouvons bien considérer une variable aléatoire T donc la loi est donnée par P(T = k) = pk.

5. On calcule les esp´erances demand´ees :

E(T ) = X

k

≥ 0kP(T = k)

= X

k≥0

kλ^k k!e^−λ

= X

k≥1

kλ^k k!e^−λ

= X

k≥1

λ^k (k − 1)!e^−λ

= X

j≥0

λ^j+1

j! e^−λ en posant j = k − 1

= λe^λe^−λ= λ On constate que E(T ) = limnE(Tn).

Puis

E(T (T − 1)) = X

k≥0

k(k − 1)P(T = k)

= X

k≥0

k(k − 1)λ^k k!e^−λ

= X

k≥2

kλ^k k!e^−λ

= X

k≥2

λ^k (k − 2)!e^−λ

= X

j≥0

λ^j+2

j! e^−λ en posant j = k − 2

= λ²e^λe^−λ = λ² On en d´eduit alors E(T²) = λ²+ λ.

Puisque var (Tn) = λ(1 − λ/n), on a E((Tn)²) = λ(1 − λ/n) + λ² et E((Tn(Tn− 1))) = λ(1 − λ/n) + λ²− λ.

Donc, lorsque n tend vers l’infini, on a lim_nE(T_n(T_n−1)) = E(T (T −1)) et lim_nE(T_n²) = E(T²).

(3)

Partie 2

1. La densité de la loi normale centrée réduite est la fonction f :7→ e^−x²^/2/√

2π, d´efinie sur R tout entier.

2. Soit λ un r´eel. On a :

E(e^−λX) =

Z +∞

−∞

e^−λxe^−x²^/2 dx

√2π

=

Z +∞

−∞

e^−(x²^+2λx)/2 dx

√2π

On reconnaˆıt dans l’exposant de l’exponentielle le d´ebut d’un carr´e : (x²+ 2λx) = (x + λ)²− λ². On peut donc effectuer le changement de variable t = x + λ et on obtient :

E(e^−λX) = Z +∞

−∞

e^λ²^/2e^−t²^/2 dt

√

2π = e^λ²^/2

3. On utilise le résultat de la question précédent avec λ = −1 : E(Y ) = E(e^−X) = e^1/2, puis avec λ = −2 : E(Y²) = E(e^−2X) = e².

On a donc var Y = E(Y²) − (E(Y ))² = e²− e¹.

4. La variable aléatoire Y est à valeurs dans R^+∗. Sa fonction de répartition est donc nulle sur R⁻. Explicitons-la sur R^+∗.

La fonction x 7→ e^−x est strictement d´ecroissante sur R. On a donc, pour tout y ∈ R^+∗, P(Y ≤ y) = P(X ≥ − ln y) =

Z +∞

− ln y

e^−t² dt

√2π

Notons F une primitive de la fonction t 7→ e^−t²/√

2π On peut donc ´ecrire, pour tout r´eel y strictement positif :

P(Y ≤ y) = lim

+∞F − F (− ln(y))

On vérifie aisément la continuité de la fonction de répartition de Y (y compris en 0), et la dérivabilité de cette fonction sur R^∗. On obtient la densité de Y en la dérivant : Y est de densité y 7→ −F⁰(− ln Y )⁻¹_y 1_]0,+∞[(y) ou encore y 7→ e^{−(ln y)}²^/2/(y√

2π)1_]0,+∞[(y).

5. Soit α un r´eel positif. On a E(e^−αX²) =

Z +∞

−∞

e^−αx²e^−x²^/2 dx

√ 2π =

Z +∞

−∞

e⁻^(2α+1)x2² dx

√ 2π On effectue alors le changement de variable t =√

2α + 1x : E(e^−αX²) =

Z +∞

−∞

e^−t²^/2 dt p2π(2α + 1)

6. Déterminons la fonction de répartition de Z : Z est une variable aléatoire positive et, pour tout réel positif z, on a (avec les mêmes notations que dans la question 4) :

P(Z ≤ z) = P(X ∈ [−√ z, +√

z]) = F (√

z) − F (−√ z)

Cette fonction de répartition est continue sur R et dérivable sur R^∗. On en déduit que Z admet pour densité sur R^+∗ z 7→ ₂^√¹_z(F⁰(√

z) + F⁰(−√

z)), c’est-`a-dire z 7→ ^√²

2π 1 2√

ze^−z/21_R+∗.

(4)

7. On remarque que E(Z) = E(X²). Or X est une variable al´eatoire d’esp´erance nulle et de variance 1, donc E(X²) = 1.

On calcule E(Z²) par une intégration par parties (notons que les convergences des différents termes en l’infini sont assurées) :

E(Z²) = E(X⁴) =

Z +∞

−∞

x³

xe^−x²^/2

dx

√2π

= h

−x³e^−x²^/2 i+∞

−∞+ Z +∞

−∞

3x²e^−x² dx

√ 2π

= 0 + 3 Z +∞

−∞

x²e^−x² dx

√

2π = 3E(X²) = 3 La variable al´eatoire Z est donc de variance 2.

Deuxi` eme probl` eme

Partie A

1. Pour tous r´eels θ et φ, on a cos²(θ) = 1 + cos(2θ)

2 , sin²(θ) = 1 − cos(2θ)

2 cos(θ) cos(φ) = cos(θ + φ) + cos(θ − φ) 2

sin(θ) sin(φ) = cos(θ − φ) − cos(θ + φ)

2 cos θ sin φ = sin(φ + θ) + sin(φ − θ) 2

2. our tout entier n, on a Z π

−pi

cos(nx) dx = 2π1_n=0 et Z π

−pi

sin(nx) dx = 0 Puis, pour tous entiers naturels k et n, on a

Z π

−π

cos(nx) cos(kx) dx = 1 2

Z π

−π

[cos((k + n)x + cos((k − n)x)] dx Donc cette int´egrale est nulle si k est diff´erent de n et vaut π sinon.

De mˆeme,

Z π

−π

sin(nx) sin(kx) dx = 1 2

Z π

−π

[cos((k − n)x − cos((k + n)x)] dx donc cette int´egrale est nulle si k est diff´erent de n et vaut π sinon.

Finalement, Z π

−π

cos(nx) sin(kx) dx = 1 2

Z π

−π

[sin((k + n)x + sin((k − n)x)] dx et cette int´egrale est nulle pour tout couple (k, n).

Soit maintenant k un entier naturel et P le polynôme trigonométrique associé à (α_n)_n≤N et (βn)n≤N. On a :

Z π

−π

P (x) cos(kx) dx = 1 2α₀

Z π

−π

cos(kx) dx +

N

X

n=1

α_n Z π

−π

cos(nx) cos(kx) dx +

N

X

n=1

βn

Z π

−π

sin(nx) cos(kx) dx

(5)

Si k est supérieur ou égal à N + 1, chacune de ces intégrales est nulle ; si k est inférieur ou égal à N , chacune des intégrales de la deuxième somme est nulle, ainsi que toutes celles de la première somme sauf celle de rang k qui vaut π

Z _π

−π

P (x) cos(kx) dx = πα_k ou πα₀

2 si k = 0 De mˆeme,

Z π

−π

P (x) sin(kx) dx = 1 2α0

Z π

−π

sin(kx) dx +

N

X

n=1

αn

Z π

−π

cos(nx) cos(kx) dx +

+

N

X

n=1

β_n Z π

−π

sin(nx) cos(kx) dx

Si k est nul ou supérieur ou égal à N + 1, chacune de ces intégrales est nulle ; si k est compris entre 1 et N , chacune des intégrales de la première somme est nulle, ainsi que toutes celles de la deuxième somme sauf celle de rang k qui vaut π. On a dans ce cas

Z π

−π

P (x) sin(kx) dx = πβ_k 3. On remarque que, pour tout r´eel x,

|P (x)|² = |α₀|² 4 +α₀

2

N

X

n=1

(α_ncos(nx) + β_nsin(nx)) +α₀ 2

N

X

k=1

(α_kcos(nx) + β_ksin(nx))

+

N

X

k,n=1

α_kα_ncos(kx) cos(nx) + α_kβ_ncos(kx) sin(nx)+

+βkαnsin(kx) cos(nx) + βkβnsin(kx) sin(nx)

Lorsque l’on int`egre cette expression entre −π et π, ne subsistent que les termes diagonaux en α_kα_k et en β_kβ_k. On obtient donc

Z π

−π

|P (x)|² dx = π |α₀|²

2 +

N

X

k=1

(|αk|²+ |βk|²)

! .

4. (a) D’après le cours, la série de Fourier converge normalement verse f dès que f est une fonction continue sur R et C¹ par morceaux.

(b) Si la suite (PN)N converge normalement vers f , elle converge uniformément vers f . On peut donc intervertir série et intégrale sur un intervalle borné. Il reste à utiliser le résultat de la question 3) :

1 2π

Z π

−π

|P_N|² dx = |a₀|²

4 +

N

X

k=1

|a₀|²+ |b₀|² 2 En passant `a la limite, on obtient

1 2π

Z π

−π

|f (x)|² dx = |a₀|² 4 +1

2 X

n≥1

|a_n|²+ |bn|²

On proc`ede de fa¸con similaire pour PN − f : on a, pour tout r´eel x, f (x) − P_N(x) = X

n>N

(a_ncos(nx) + b_nsin(nx))

(6)

Pour tout N fixé, la convergence de la série vers 0 est là aussi normale, et on en déduit comme ci-dessus que

1 2π

Z π

−π

|f (x) − P_N(x)|² dx = X

n>N

|a_n|²+ |b_n|² 2

NB : la formule de Parseval est vraie d`es que la fonction f est p´eriodique et continue par morceaux.

Partie B 1.

2. La fonction f est paire donc, avec les notations précédentes, tous les (bn)n≥1 sont nuls. Déter- minons a0 :

a₀ = 1 π

Z π

−π

x² dx = 2π² 3 Puis, pour tout n > 0, en int´egrant par parties :

πa_n = Z π

−π

x²cos(nx) dx

=

x²sin nx n

π

−π

− Z π

−π

2xsin nx n dx

= h

2xcos nx n²

iπ

−π− Z π

−π

2cos nx n² dx

= 4π n²(−1)ⁿ On a donc an= 4(−1)ⁿ/n² pour tout n ≥ 1.

3. La fonction f est continue sur R, C¹ par morceaux sur R donc sa s´erie de Fourier converge normalement (donc uniform´ement) vers f sur R.

Une autre preuve peut-ˆetre faite en utilisant la convergence de la s´erieP

n4/n².

4. Puisque la s´erie de Fourier de f converge normalement sur R, elle converge bien entendu en tout r´eel. En 0, on obtient

0 = f (0) = π² 3 +X

n≥1

4(−1)ⁿ

n² donc X

n≥1

(−1)ⁿ

n² = −π² 12 En π, il vient

π² = f (π) = π² 3 +X

n≥1

4

n² donc X

n≥1

1 n² = π²

6

(7)

En appliquant la formule de Parseval (ce qui est possible car f v´erifie les conditions) : 1

2π Z π

−π

x⁴ dx = |a₀|² 4 +1

2 X

n≥1

|a_n|²

On obtient alors

X

n≥1

1 n⁴ = π⁴

90

Troisi` eme probl` eme Partie I

1. ´Etude de la fonction f

(a) Il suffit d’effectuer le changement de variable t = −s pour v´erifier que f est impaire.

(b) f est une primitive d’une fonction continue, donc elle est dérivable, de dérivée x 7→ e^−x². (c) La dérivée f⁰ de f est de classe C^∞ (en tant que composée de fonction de classe C^∞. Donc

f est de classe C^∞.

Montrons par récurrence que, pour tout n ≥ 1, il existe un polynôme p_n de degré n − 1 tel que, pour tout réel x, f⁽ⁿ⁾(x) = pne^−x². On note, pour tout n ≥ 1, Hn l’hypothèse de récurrence : « il existe un polynôme pn de degré n − 1 tel que, pour tout réel x, f⁽ⁿ⁾(x) = p_ne^−x². »

Initialisation : on a, pour tout x ∈ R, f⁰(x) = e^−x² donc H₀ est v´erifi´ee, avec p₁ = 1.

Hérédité : soit n ≥ 1 un entier tel que Hn est vérifiée, et montrons que Hn+1 est vraie.

On sait, par Hn, que, pour tout r´eel x, f⁽ⁿ⁾(x) = pn(x)e^−x².

En dérivant cette égalité, il vient, pour tout réel x : f⁽ⁿ⁾(x) = (p⁰_n(x) − 2xpn(x))e^−x² Notons, pn+1 la fonction définie pour tout x ∈ R par

pn+1(x) = (p⁰_n(x) − 2xpn(x)

Cette fonction est bien entendu un polynôme. Son degré est n (et son coefficient de plus haut degré est l’opposé du double de celui de n)

(d) Il est facile de montrer que la dérivée d’une fonction paire (respectivement impaire) est impaire (respectivement paire). Soit par exemple φ une fonction paire sur R. Pour tous réels x et h, on a

φ(−x + h) − φ(−x)

h = −φ(x − h) − φ(x)

−h

En passant à la limite lorsque h tend vers 0, on obtient φ⁰(−x) = −φ⁰(x). Le cas où φ est impaire est similaire et n’est pas détaillé.

Pour tout n, on conclut donc que f⁽ⁿ⁾ est donc de la mˆeme parit´e que n.

(e) Pour x ≥ 1, on a x² ≥ x, donc e^−x² ≤ e^−x. La fonction x 7→ e^−x² est donc positive et majorée sur [1, +∞[ par une fonction intégrable sur [1, +∞[. On peut alors conclure que x 7→ e^−x² est intégrable sur [1, +∞[, donc sur [0, +∞[, c’est-à-dire que f admet une limite finie en +∞.

2. (a) La fonction exponentielle est développable en série entière, et le rayon de cette série entière est infini : pour tout x ∈ R,

e^x=X

n≥0

xⁿ n!

(8)

On en déduit que x 7→ e^−x est également développable en série entière, avec un rayon de convergence infini : pour tout x ∈ R,

e^−x=X

n≥0

(−1)ⁿ n! xⁿ

Puis que, f⁰ : x 7→ e^−x² est développable en série entière, avec à nouveau un rayon de convergence infini : pour tout x ∈ R,

e^−x² =X

n≥0

(−1)ⁿ n! x²ⁿ

(b) On sait qu’on peut intégrer terme à terme une série entière, tant que l’on reste à l’intérieur du disque de convergence. Le rayon de convergence étant ici infini, pour tout réel x, on peut intégrer terme à terme la série entière sur l’intervalle [0, x]. On obtient

f (x) =X

n≥0

(−1)ⁿ n!

Z x 0

t²ⁿ dt =X

n≥0

(−1)ⁿ

(2n + 1) n!x²ⁿ⁺¹.

(c) Lorsqu’une fonction f est dérivable en série entière, on connaˆıt une expression des coeffi- cients de la série basée sur les dérivées successives de f en 0 :

f (x) =X

n≥0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ On en d´eduit que , pour tout n ≥ 1, p2n(0) est nul et

p_2n+1(0) = (2n + 1)! (−1)ⁿ

(2n + 1) n! = (−1)ⁿ(2n)!

n!

3. (a) On étudie la fonction φ : u 7→ eû− u − 1. Cette fonction est de classe C^∞sur R et on a, pour tout u, φ⁰(u) = eû− 1. φ⁰ est donc négative sur R⁻ et positive sur R⁺, ce qui implique que φ est décroissante sur R⁻ et croissante sur R⁺. Elle atteint par conséquent son minimum en 0. Puisque φ⁰(0) =, φ est bien positive sur R.

(b) Soit n un entier naturel et u ∈] − ∞, 1]. On a 1 − u ≥ 0 et e^−u ≥ 1 − u donc e^−nu ≥ (1 − u)ⁿ. Soit maintenant n un entier naturel et u ∈] − 1, +∞[. On a e^u≥ (1 + u) et 1 + u > 0 donc e^−u≤ (1 + u)⁻¹, et pour tout n ≥ 0, e^−nu≤ (1 + u)⁻ⁿ.

(c) Soit n un entier naturel.

– En utilisant la première inégalité de la question précédente, on obtient pour tout x ∈ [0, 1], x²≤ 1 donc e^−nx² ≥ (1 − x²)ⁿ. En intégrant sur [0, 1], il vient :

Z 1 0

(1 − x²)ⁿdx ≤ Z 1

0

e^−x² dx ≤ Z +∞

0

e^−x² dx

– Et en utilisant la deuxième inégalité : pour tout x > 0, x² > −1, donc e^−nx² ≤ (1+x²)⁻ⁿ. En intégrant cette inégalité sur R⁺, il vient :

Z +∞

0

e^−nx² dx ≤ Z +∞

0

dx (1 + x²)ⁿ (d) On effectue le changement de variable x = sin θ. On obtient :

Z ₁

0

(1 − x²)ⁿ dx = Z _π/2

0

(1 − sin²(θ))ⁿcos(θ) dθ = W2n+1

De mˆeme, en effectuant le changement de variable x = tan(θ), Z +∞

0

dx (1 + x²)ⁿ =

Z +∞

0

1 (1 + x²)ⁿ⁻¹

dx (1 + x²) =

Z π/2 0

dθ

(1 + tan²(θ))ⁿ⁻¹ = Z π/2

0

cos²⁽ⁿ⁻¹⁾(θ) dθ

(9)

(e) En posant y =√

nx, on voit que Z +∞

0

e^−nx² dx = Z +∞

0

e^−y² dy

√n On a donc

W_2n+1≤ ∆

√n ≤ W_2n−2 (f) Avec l’´equivalent admis, (√

nW2n+1) tend vers √

π/2 et (√

nW2n−2) tend ´egalement vers

√π/2. On conclut ensuite par encadrement que ∆ =√ π/2.

Partie II

1. On d´efinit la fonction h par, pour tout x ∈ R, h(x) =

Z +∞

0

e^−y²cos(2xy) dy.

(a) Soit x un r´eel fix´e. Pour tout y ∈ R⁺, on a

|e^−y²cos(2xy)| ≤ e^−y²

Or l’int´egrale de y 7→ e^−y² est convergente, donc h(x) est bien d´efinie.

(b) Notons ˜h : R² → R la fonction d´efinie par ˜h(x, y) = e^−y²cos(2xy). ˜h est une fonction C^∞ et, pour tout y, on

∂˜h

∂x = −2ye^−y²sin(2xy) Pour tout x ∈ R, on a donc

∂˜h

∂x ≤ 2ye^−y²

qui est une fonction intégrable sur R⁺. D’après le théorème de dérivation sous l’intégrale, h est dérivable sur R, de dérivée x 7→R∞

0 −2ye^−y²sin(2xy) dy.

(c) Pour tout x, on a h⁰(x) =h

e^−y²sin(2xy)i+∞

0 −

Z +∞

0

e^−y² 2x cos(2xy) dy = −2xh(x) C’est-`a-dire : h⁰(x) = −2xh(x).

(d) La fonction x 7→ e^−x² est solution de l’équation différentielle h⁰(x) = −2xh(x). Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure que cette solution est unique à une constante multiplicative près. Par ailleurs h(0) = ∆. D’où, pour tout réel x, h(x) = ∆e^−x².

2. On d´efinit une fonction φ par : pour tout x ∈ R, φ(x) =

Z +∞

0

e⁻

y²+^x2

y2

dy.

(a) La fonction (x, y) 7→ e⁻

y²+^x2

y2

est continue sur R×]0, +∞[ et pour tout x r´eel et tout y non nul, on a

e⁻

y²+^x2

y2

≤ e^−y²

On peut donc utiliser le théorème de continuité sous l’intégrale : φ est continue sur R.

(10)

Pour tout (x, y) ∈ (R^+∗)², on a

∂

∂xe⁻(^y²^+x²^/y²) = −2x

y²e⁻(^y²^+x²^/y²)

Soit a un réel strictement positif. On remarque que la fonction u 7→ ue^−u est majorée par e⁻¹ sur R⁺. On en déduit que, pour tout x > a

∂

∂xe⁻(^y²^+x²^/y²)

≤ 2

xe⁻¹e^−y² ≤ 2

ae⁻¹e^−y²

On a donc majoré sur [a, +∞[×R^+∗ la dérivée partielle par rapport à x par une fonction (de la variable y) intégrable sur R⁺. Le théorème de dérivation sous l’intégrale implique alors que φ est dérivable sur [a, +∞[ pour tout a > 0, donc sur R^+∗, et on a

φ⁰(x) = −2 Z +∞

0

x

y²e⁻(^y²^+x²^/y²) dy

(b) On effectue le changement de variables t = x/y dans l’intégrale ci-dessus (x étant bien entendu considéré comme une constante non nulle). Il vient

φ⁰(x) = 2 Z 0

+∞

e^−((x²^/t²^)+t²⁾ dt = −2φ(x).

(c) On en déduit qu’il existe une constante c telle que, pour tout x strictement positif, φ(x) = ce^−2x. Les fonction φ et x 7→ e^−2x étant continue en 0, on a nécessairement φ(0) = c. Or φ(0) = ∆ =√

π/2.

Par parit´e de φ, on obtient finalement que, pour tout x r´eel, φ(x) =

√π 2 e^−2|x|

Partie III

On d´efinit la fonction ψ par : pour tout x ∈ R, ψ(x) =

Z +∞

0

cos(2xt) 1 + t² dt.

1. ´Etude de ψ.

(a) La fonction (t, x) 7→ (cos(2xt))/(1 + t²) est continue en tant que fonction définie sur R² et paire (par rapport à la 2ème variable), et pour tout x fixé et pour tout t, on a la majoration :

cos(2xt) 1 + t²

≤ 1

1 + t²

La fonction t 7→ 1/(1 + t²) étant intégrable sur R⁺, on conclut par le théorème de continuité sous l’intégrale que ψ est bien définie, paire et continue sur R.

(b) On a

ψ(0) = Z +∞

0

1

1 + t² dt = arctan x^+∞₀ = π 2. 2. Soient p et x fix´es. On a

j_p(x) = Z p

0

ye^−(1+x²^)y² dy =

"

−e^−(1+x²^)y² 2(1 + x²)

#p 0

= 1 − e^−(1+x²^)p² 2(1 + x²)

(11)

Pour tout p, j_p est donc une fonction continue (et paire) et, pour tout réel x fixé, la suite (j_p(x))_p converge vers 1/(2(1 + x²)). La convergence est uniforme sur R. On a en effet, pour tout réel x et tout entier p,

jp(x) − 1 2(1 + x²)

= e^−(1+x²^)p²

2(1 + x²) ≤ e^−p²

Comme (e^−p²)_p tend vers 0 lorsque p tend vers l’infini, on obtient bien une convergence uniforme.

3. Soit n ∈ N^∗. La fonction (x, y) 7→ ye^−y²^x²cos(2ax) est continue sur [0, n] × [0, A] et on a la majoration, pour tout (x, y) ∈ [0, n] × [0, A] :

ye^−y²^x²cos(2ax) ≤ A

Les constantes étant intégrables sur [0, n], on obtient la continuité de k_nsur [0, A] (donc sur R⁺).

En 0, k_n est nulle pour tout n, donc k_n(0) tend vers 0.

Fixons maintenant un r´eel y non nul. Lorsque n tend vers l’infini, on a la majoration

ye^−y²^x²cos(2ax)

≤ |y|e^−y²^x²

et la fonction x 7→ |y|e^−y²^x² est int´egrable sur R⁺. Donc la fonction x 7→ ye^−y²^x²cos(2ax) est int´egrable. Ceci prouve que (k_n(y))_y converge et que l’on a

limn kn(y) = Z +∞

0

ye^−y²^x²cos(2ax) dx

Pour tout y non nul, on peut proc´eder au changement de variable t = xy dans l’int´egrale. On obtient ainsi

limn k_n(y) = h 2a y

La convergence n’est pas uniforme sur R⁺. Consid´erons par exemple le cas a = 0. On a alors pour tout y :

k_n(y) − lim

n k_n(y) = Z _+∞

n

ye^−y²^x² dx = Z _+∞

ny

e^−t² dt

Pour tout y non nul, cette expression converge vers 0 (autrement dit kn(y) converge simplement), mais on a

sup

y≥0

Z +∞

ny

e^−t² dt = Z +∞

0

e^−t² dt 6→_n0

donc (k_n) ne converge pas uniform´ement sur R⁺ (mais on a bien une convergence uniforme sur tout intervalle de la forme [α, +∞[ pour tout α > 0).

4. On note, pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², u_n,p=

Z n 0

j_p(x) cos(2ax) dx

(a) La suite (j_p) convergeant uniform´ement, la limite de (u_n,p)_p existe et vaut limp un,p=

Z n 0

cos(2ax) 2(1 + x²)dx

(b) On intervertit les deux intégrales en utilisant le théorème de Fubini (l’intégrale double est bien absolument convergente)

(12)

5. Le changement de variable t = xy permet de montrer que k_n est born´ee par ∆, donc y 7→

kn(y)e^−y² est int´egrable. On a alors, pour tout n fix´e, u_n,∞=

Z +∞

0

k_n(y)e^−y² dy

6. On a |ye^−y²^(1+x²⁾cos(2ax)| ≤ |y|e^−y²^(1+x²⁾ et Z +∞

0

Z +∞

0

ye^−y²^(1+x²⁾ dy

dx =

Z +∞

0

dx

2(1 + x²) < ∞ donc la fonction (x, y) 7→ ye^−y²^(1+x²⁾cos(2ax) est int´egrable sur (R⁺)². 7. On a pour tout n

un,∞= Z +∞

0

Z n 0

ye^−y²^(x²⁺¹⁾cos(2ax) dx

dy

L’intégrale étant absolument convergent, on peut appliquer le théorème de Fubini : un,∞=

Z n 0

Z +∞

0

ye^−y²^(x²⁺¹⁾cos(2ax) dy

dx et cette quantit´e converge vers

Z +∞

0

Z +∞

0

ye^−y²^(x²⁺¹⁾cos(2ax) dy

dx =

Z +∞

0

cos(2ax)

2(1 + x²)dx = ψ(a) 2 8. On a :

limn un,∞= Z +∞

0

limn kn(y)e^−y² dy = Z +∞

0

h(2a/y)e^−y² dy Or h(x) = ∆e^−x² donc

ψ(a) = 2 lim

n un,∞= 2∆

Z +∞

0

e^−(y²^+4a²^/y²⁾ dy = 2∆φ(2a) = π 2e^−4|a|

.