D1964. Un parallélogramme qui tombe... à pic
Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC, CA et AB aux points D, E et F. M étant le milieu de BC, la droite MI coupe la hauteur AH au point P. La droite DE coupe au point Q la parallèle issue de A au côté BC. La droite FQ coupe le cercle inscrit au point K. Démontrer que APIK est un parallélogramme.
Solution proposée par Jean Nicot
En notant a, b, c les longueurs des côtés BC, AC, AB, h la hauteur AH et r le rayon du cercle inscrit, on peut évaluer le segment AP.
Le double de l’aire S de ABC est 2S = ha = r(a+b+c) CD = (a+b-c)/2 et MD = (b-c)/2
h²= b²-CH² = c²-(a-CH)² soit CH = (a²+b²-c²)/ (2a) et MH=CH-a/2= (b²-c²)/(2a) Comme DI at PH sont parallèles, PH/r=MH/MB= (b²-c²)/(2a) * 2/(b-c)= (b+c)/a AP = h-PH = r(a+b+c)/a – r(b+c)/a = r
Soit K’ le point diamétralement opposé de D sur le cercle inscrit. K’I= AP = r donc puisque AH // K’D, APIK’ est un parallélogramme.
Il reste à montrer que K et K’ sont confondus. Il suffit de vérifier que la pente de FK’ est égale à la pente de K’Q.
Soit D’ l’intersection de DI et AQ. Comme les triangles CDI et CD’Q sont semblables, D’Q/DI = D’D/CD donc D’Q = 2rh/(a+b-c)
Pente de K’Q = B’K’/D’Q = (h-2r) * (a+b-c) )/(2rh) = (r(a+b+c)-2ra)(a+b-c)/(2r²(a+b+c)) = (b+c-a)(a+b-c)/(2r(a+b+c))
Pente de FK’= ( h *AF/c - D’K’) / (BH *AF/c +HD)
avec HD = CH –CD = (a²+b²-c²)/ (2a) - (a+b-c)/2 = (b²-c²-ab+ac )/(2a)=(b-c)(b+c-a)/(2a) BH = a - CH = a - (a²+b²-c²)/ (2a) = (a²-b²+c²)/(2 a)
AF = (b+c-a)/2
Pente de FK’= {h(b+c-a)/(2c) – (h-2r)} / { (a²-b²+c²)/(2a) *(b+c-a)/(2c) + (b-c)(b+c-a)/(2a)}
= { h(b-c-a)/(2c) +2r} / {( a²-b²+c²) (b+c-a)/( (4ac) +( b-c)(b+c-a)/(2a)}
= { r(a+b+c)(b-c-a)+4rac)/(2ac)} / { a²-b²+c²) (b+c-a )+2c(b-c)(b+c-a)/(4ac)}
=2 r (b²-(a-c)²) / {(b+c-a)(a²-b²+c²+2c(b-c))} = 2r(b+a-c) / (a²-b²+c²+2c(b-c)) = 2r(b+a-c) / (a²-(b-c)²) = 2r(b+a-c) /(a-b+c)(a+b-c) = 2r/(a-b+c)
Cela montre, au passage, que FK’ // BI.
L’égalité des pentes devient (b+c-a)(a+b-c)( a-b+c) = 4r²(a+b+c) = 16S²/(a+b+c) ce qui correspond bien à la formule de Héron.
Les points EK’Q sont alignés et EQ coupe le cercle inscrit en K’ qui est donc le point K.
APIK est un parallélogramme.
