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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html
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-2 2 4 6 Polynésie française, 2005
SUJET
Partie A. On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ part f(x) = x + lnx.
On nomme Γ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i→ ; j→) du plan.
a) déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. 1.
b) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2.
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, l’équation f(x) = n admet une unique solution dans ]0 ; +∞[. On note αn cette solution.
On a donc : pour tout entier naturel n, αn + ln αn = n
b) Sur la page annexe, on a tracé Γ dans le repère (O ; i→ ; j→).
Placer les nombres α0, α1, α2, α3, α4, et α5 sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.
c) Préciser la valeur de α1.
d) Démontrer que la suite(αn) est strictement croissante.
3.
a) Déterminer une équation de la tangente ∆ à la courbe au point d’abscisse 1.
b) Etudier les variations de la fonction h définie sue ]0 ; +∞[ par h(x) = lnx − x + 1 En déduire la position de la courbe Γ par rapport à ∆.
c) Tracer ∆ sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, n + 1 2 ≤ αn. 4. Déterminer la limite de la suite (αn).
Partie B. On considère une fonction g continue, strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et telle que limx→0 g(x) = −∞ et x→+∞lim g(x) = +∞ . On admet que l’on peut, comme on l’a fait dans la partie A, définir sur IN une suite (βn) de réels tels que g(βn) = n, et que cette suite est strictement croissante.
1. Démonstration de cours :
Pré requis : Définition d’une suite tendant vers +∞ : « une suite tend vers +∞, si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A »
Démontrer le théorème suivant : « une suite croissante non majorée tend vers +∞ » 2. Montrer que la suite (βn) tend vers +∞.
Pour tout x de ]0 ; +∞[, f(x) = x + lnx.
1. a) Déterminons les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.
Quand x → +∞, lnx → +∞ donc par addition, limx→∞ f(x) = +∞
Quand x → 0, lnx → −∞ donc par addition, limx→0 f(x) = −∞ (l’axe des ordonnées est asymptote à Γ) b) Montrons que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
f est dérivable sur ]0 ; +∞[ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
f’(x) = 1 + 1/x
Sur ]0 ; +∞[, f’(x) > 0 donc f est croissante.
2. a) Montrons que, pour tout entier naturel n, l’équation f(x) = n admet une unique solution αn dans ]0 ; +∞[.
Sur ]0 ; +∞[, f est définie, continue (car dérivable) et strictement croissante de −∞ à +∞
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A1 A2
A3 A4
A5
a0 a1a 2a
3a 4a
5 D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout n, l’équation f(x) = n a une unique solution αn dans ]0 ; +∞[.
On a donc : pour tout entier naturel n, f(αn) = n c’est à dire αn + ln αn = n b)αn est l’abscisse du point d’intersection de Γ avec la parallèle à l’axe (O ; i→) d’équation y = n
c) Précisons la valeur de α1 : α1 est la solution de l’équation f(x) = 1.
Comme f(1) = 1 + ln1 = 1, α1 = 1.
d) Démontrons que la suite (αn) est strictement croissante.
(αn) est strictement croissante ⇔ αn+1 > αn ⇔ f(αn+1) > f(αn) car f est ⇔ n + 1 > n ce qui est évidemment vrai … La suite (αn) est donc strictement croissante .
3. a) La tangente ∆ à la courbe au point d’abscisse 1 a pour équation
y = f’(1)(x − 1) + f(1). Or f(1) = 1 et f’(1) = 2 donc ∆ a pour équation y = 2x − 1.
b) Etudions les variations de la fonction h définie sue ]0 ; +∞[ par h(x) = lnx − x + 1.
h est dérivable sur ]0 ; +∞[ et h’(x) = 1/x − 1 = (1−x)/x h’(x) a le signe de 1−x car x > 0
sur ]0 ; 1[, h’(x) > 0 donc h est croissante et dans ]1 ; +∞[, h’(x) < 0 donc h est décroissante . On sait alors que h(1) = 0 est le maximum de h(x) donc pour tout x de ]0 ; +∞[, h(x) ≤ 0
Déduisons en la position de la courbe Γ par rapport à ∆ : h(x) = f(x) − (2x − 1) et h(x) ≤ 0 donc ∆ est au dessus de Γ.
c) Démontrons que, pour tout entier naturel n non nul, n + 1 2 ≤ αn. On a n + 1
2 ≤ αn ⇔ f(n + 1
2 ) ≤ f(αn) car f est
⇔ f(n + 1
2 ) ≤ n car f(αn) = n
Or cette dernière inégalité est vraie car : h(x) ≤ 0 c’est à dire f(x) ≤ 2x − 1 donc f(n + 1
2 ) ≤ 2n + 1
2 −1 c’est à dire f(n + 1
2 ) ≤ n.
4. Déterminer la limite de la suite (αn) : n + 1
2 ≤ αn et quand n → +∞, n + 1
2 → +∞ donc limn→+∞ αn = +∞
Partie B.
1. Démonstration de cours :
Prérequis : « une suite tend vers +∞, si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A »
Démontrons le théorème suivant : « une suite croissante non majorée tend vers +∞ »
Une suite u est majorée SSI il existe un réel M plus grand que tous les termes de la suite c’est à dire : ∃ M∈ IR, ∀ n
∈ IN, un ≤ M.
Par négation, une suite u n’est pas majorée SSI ∀ M ∈ IR, ∃ m ∈ IN, um > M.
Si en plus la suite est , à partir du rang m, tous les termes sont plus grands que um .
On a alors : pour tout réel M, tous les termes de la suite sont, à partir du rang m, supérieurs à M et donc un → +∞.
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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html 2. Montrons que la suite (βn) tend vers +∞.
Sachant que (βn) est croissante il faut montrer que (βn) n’est pas majorée c’est à dire : ∀ M ∈ IR, ∃ m ∈ IN, βm > M Soit M ∈ IR, βm > M ⇔ g(βm) > g(M) car g est
⇔ m > g(M) car g(βn) = n
⇔ m ≥ E(g(M)) + 1 (le premier entier > g(M) est sa partie entière augmentée de 1) Ainsi, ∀ M ∈ IR, ∃ m = E(g(M)) + 1 ∈ IN, βm > M.
(βn) étant croissante et non majorée, (βn) tend vers +∞ .
Merci à ma collègue pour ce corrigé.
