à la mémoire de H enri D upont- R oc,

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Coniques

1. Définition bifocale : ellipse, hyperbole.

2. Équations réduites, paramétrisations.

3. Définition monofocale des coniques.

4. Propriétés tangentielles.

5. Les coniques comme courbes du second degré.

6. Sections planes des cylindres et des cônes de révolution.

7. Le théorème de Pascal.

8. Propriétés métriques des coniques.

à la mémoire de H enri D upont- R oc,

Pierre-Jean Hormière ___________

Introduction

On trouve des arrangements de pierres en forme d’ellipse dans les Îles britanniques, remontant au 3^ème millénaire av. J.-C., ainsi qu’à Louqsor (1000 av. J. C.). Cela dit, les coniques, appelées à l’origine et pendant très longtemps «sections coniques», furent découvertes par le mathématicien grec Ménechme, qui vécut au IVème siècle avant J.C., de 380 à 320 environ. Né à Alopeconnesus, en Thrace, Ménechme fut élève d’Eudoxe, qui enseignait à Cyzique, non loin de là, puis il entra à l’Académie de Platon, en compagnie de son frère Dinostrate (qui étudia la quadratrice introduite par Hippias d’Élis), et d’Amyclas d’Heraclea. Il est possible que Ménechme ait succédé à Eudoxe à la tête de l’École de Cyzique, et l’on raconte qu’il fut appelé, aux côtés d’Aristote, précepteur d’Alexandre le Grand. Celui-ci lui aurait un jour demandé s’il y avait une voie facile pour apprendre les mathématiques. Et Ménechme aurait répondu : «Ô Roi, pour les voyageurs qui parcourent le monde, il y a des chemins royaux et des chemins pour les gens du peuple, mais en géométrie il n'existe qu'une seule voie pour tous.»

Ménechme découvrit les sections coniques en cherchant à résoudre le problème de la recherche de deux moyennes proportionnelles entre deux segments, et en particulier la duplication du cube. Ce problème s’énonce ainsi : étant donnés a et b, trouver deux moyennes proportionnelles x et y entre elles, autrement dit

x a₌

y x ₌

b

y . Cela équivaut à x² = a.y et x.y = a.b, ou à x² = a.y et y² = b.x. Les valeurs de x et y sont données par l’intersection de la parabole x² = a.y et de l’hyperbole équilatère x.y = a.b, ou encore par l’intersection des deux paraboles x² = a.y et y² = b.x. Plutarque raconte que Platon désapprouvait l’utilisation par Ménechme de procédés mécaniques pour résoudre ce problème, et les experts ont discuté pour savoir si Ménechme avait utilisé de tels procédés pour tracer ces courbes. Les méthodes probables de Ménechme, selon l’historien anglais Thomas Little Heath (1861-1940) sont exposées dans son ouvrage.

La première mention des trois coniques, sous le nom de "triades de Ménechme", apparaît dans une épigramme d’Ératosthène, bien que seules deux d’entre elles, la parabole et l’hyperbole équilatère, paraissent dans les solutions de Ménechme. Il est probable que les Grecs ont d’abord étudié la section plane d’un cylindre de révolution, et se sont ensuite demandé si la section plane d’un cône de révolution avait la même forme. Cette observation est faite par Euclide dans ses Phaenomena : «Si un cône ou un cylindre sont coupés par un plan non parallèle à la base, la section résultante est une section d'un cône d'angle aigu semblable à un θυρεος (bouclier)» (ainsi

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était alors nommée l’ellipse). Après cela s’est posée la question de savoir ce qu’on obtenait en coupant le cône avec un plan parallèle à une génératrice, ou faisant avec elle un angle plus ouvert.

Selon Geminus, les anciens désignaient par cône la surface décrite par la révolution d’un triangle rectangle autour de l’un des côtés contenant l’angle droit. Ils distinguaient trois sortes de cônes: les cônes d’angle aigu, les cônes d’angle droit, et les cônes d’angle obtus, selon la nature de l’angle au sommet. Et ils coupaient toujours ces cônes par un plan perpendiculaire à une génératrice, obtenant resp. une section de cône d’angle aigu (ellipse), une section de cône d’angle droit (parabole) et une section de cône d’angle obtus (hyperbole). Ces noms étaient encore utilisés par Euclide et Archimède.

Si Ménechme fut réellement l’inventeur des trois coniques, vers 360-350 av. J.C., le sujet dut se développer très rapidement, car dès la fin du IVème siècle parurent sur ce sujet deux œuvres considérables qui, comme nous l’apprend Pappus, furent jugées dignes de figurer, aux côtés des Coniques d’Apollonius, dans le Trésor d'Analyse. Euclide prospéra vers 300 av. J.C., ou peut-être 10 ou 20 ans plus tôt, mais ses Coniques en quatre livres furent précédées par une œuvre d’Aristaeus l’ancien qui subsistait encore du temps de Pappus (IVème siècle ap. J.C.). Celui-ci les présente comme «cinq livres de Lieux solides relatifs aux coniques», et présente les livres d’Euclide comme une compilation des travaux spécialisés et originaux d’Aristaeus. Cependant, ces livres d’Euclide peuvent être considérés comme la source dans laquelle Archimède (287-212 av. J.C) puisa la plupart des propriétés ordinaires des coniques, qu’il admit sans preuves, lors de ses travaux sur la Quadrature de la parabole.

Il revint cependant à Apollonios de Perge (env. 262-190 av. J.C.) de définir les coniques comme sections d’un cône circulaire, droit ou oblique, par un plan de nature quelconque (et non plus perpendiculaire à une génératrice). Et c’est lui, semble-t-il, qui nomma les coniques "ellipse",

"parabole" et "hyperbole", empruntant ces mots aux figures de rhétorique correspondantes.

Cependant, la découverte, dans les années 1970, d’une traduction arabe du traité de Dioclès Sur les miroirs brûlants, conduisit G. J. Toomer à affirmer que les noms parabole et hyperbole étaient antérieurs à Apollonios. Quoi qu’il en soit, l’explication de ces métaphores vient de ce qu’en l’absence de formalisme algébrique, le produit a.b était, pour les grecs, la surface d’un rectangle de côtés a et b. La construction d’un point (x, y) de la parabole y² = 2p.x équivaut à la construction d’un rectangle dont l’un des côtés est 2p, l’autre côté est l’inconnue x, et dont l’aire est égale à y², aire d’un carré de côtés y : παραβολη signifie comparaison. Pour l’hyperbole d’équation y² = x(2p + pa

x₎, il s’agit de construire un rectangle de surface y², de côtés x et z > 2p (z = 2p + p.

a x₎_{, de} façon telle que la différence entre le rectangle z×x et le rectangle 2p×x soit un rectangle p.

a x_×_x semblable au rectangle donné p×a. Hyperbole signifie excès. L’ellipse d’équation y² = x.(2p − p

a x₎ correspond au même problème, mais avec défaut (livre VI des Éléments d’Euclide).

Depuis l’Antiquité, la trajectoire de Mars défiait les explications astronomiques. Les coniques étaient tombées dans l’oubli lorsqu’à l’aube du 17^ème siècle Kepler, reprenant les observations de Tycho Brahé, constata que Mars décrivait une figure ovale autour du soleil. Il se souvint des vieilles ellipses d’Apollonios, et aboutit à la conclusion que la trajectoire de Mars était une ellipse dont le soleil était l’un des foyers ; constat qu’il étendit ensuite aux autres planètes connues. Les sections coniques des puristes grecs avaient attendu dix-huit siècles pour trouver une application ! La redécouverte par Golius, en 1629, des livres V à VII des Coniques d’Apollonios traduits en arabe relance leur étude. Grâce aux méthodes projectives profondément originales de Desargues, Pascal découvre à seize ans, en 1640, une belle propriété des hexagones inscrits dans les coniques ; hélas, il ne subsiste que quelques pages de son grand traité latin sur le sujet. Peu avant, en 1637, Descartes avait démontré que les courbes du second degré étaient essentiellement les coniques, préludant à la classification des cubiques par Newton, ce même Newton qui interpréta les lois de Kepler grâce à sa théorie de la gravitation universelle. Au 18^ème siècle, Fagnano, Euler et Legendre initient l’étude des

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fonctions elliptiques, issues des tentatives de rectification de l’ellipse, qui vont jouer un rôle central en mathématiques. Monge en 1795, Poncelet en 1822, fondent respectivement les géométries descriptive et projective, parachevant l’œuvre de Desargues. Les belges Dandelin et Quételet donnent une démonstration élégante (par "géométrie pure") des sections planes des cônes de révolution. Plücker, Chasles et Mac Cullagh produisent encore de profonds théorèmes. Dans l’enseignement, les coniques furent pendant deux siècles les reines de la géométrie (donc des mathématiques), ou plutôt des géométries projective, affine et métrique, et si l’irrésistible ascension de l’algèbre et de l’analyse a fait depuis lors pâlir leur étoile, elles demeurent le premier chapitre de la moderne géométrie algébrique.

La présentation ici retenue est élémentaire. On se place dans le plan affine euclidien réel, ce qui permet d’énoncer un grand nombre de propriétés des coniques. Mais un examen plus approfondi permettrait de classer ces propriétés, non par formes (ellipses, hyperboles et paraboles), mais par points de vue : projectifs complexe et réel, affines complexe et réel, métrique, etc. Ces diverses approches, qui ont fait les délices de générations de taupins, conduiraient à des solutions plus éclairantes de bien des sujets ici abordés. Comme chacun des chapitres de ce cours, celui-ci n’est qu’une introduction au sujet. La plupart des figures ont été réalisées avec Cabri-géomètre, d’autres avec Maple.

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1. Définition bifocale : ellipse, hyperbole.

1.1. L’ellipse.

Définition 1 : Soient F et F’ deux points du plan affine euclidienEEEE. L’ellipse est le lieu des points du plan dont la somme des distances à F et F’ est constante : E = { M ∈ EEEE ; MF + MF’ = 2a }.

Les points F et F’ sont appelés foyers de l’ellipse, MF et MF’ sont les rayons-vecteurs du point M de E. La distance FF’ = 2c est appelée distance focale.

Discussion.

• Si c > a, E = ∅ (inégalité du triangle) ; ce cas sera le plus souvent exclu • Si c = a, E est réduite au segment FF’ ; c’est un cas-limite.

• Si c < a, on obtient une véritable ellipse ; le rapport e = a

c ∈ [0, 1[ est appelé excentricité de E.

Si c = 0, les foyers F et F’ sont confondus : E est alors le cercle de centre O = F = F’ et de rayon a.

Génération continue : l’ovale du jardinier.

Si l’on plante deux piquets en F et F’ et si l’on tend un anneau de fil inextensible de longueur L = 2c + 2a, le troisième sommet M du triangle MFF’ décrira continûment l’ellipse E.

Construction par points.

Les cercles (F, r) et (F’, r’), où r + r’ = 2a, se coupent en M et M’ lorsque | r − r’ | ≤ FF’ = 2c, i.e.

a − c ≤ r, r’ ≤ c + a. Si l’on donne à r toutes les valeurs comprises entre ces limites, on obtient le lieu cherché.

Symétries, sommets.

Supposons F et F’ distincts. Notons xx’ la droite FF’, yy’ la médiatrice FF’, O le milieu de FF’. Il est clair que si M ∈ E, ses symétriques par rapport à xx’, yy’ et O appartiennent à E. Ainsi, E est globalement invariante par le groupe de Klein { Id, s_xx’, s_yy’, s_O}.

La droite xx’ contient deux points de l’ellipse A et A’, tels que OA = OA’ = a : on les appelle sommets du grand axe. La droite yy’ contient deux points de l’ellipse, B et B’, tels que

OB = OB’ = b = a² c− ², dits sommets du petit axe.

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Réciproquement, si AA’BB’ est un losange tel que AA’ ≥ BB’, il y a une seule ellipse de sommets AA’BB’. F et F’ sont les intersections de la droite AA’ avec le cercle (B, a), où a =

2 ' AA _.

Si l’on fixe le grand axe AA’ = 2a, et si l’on fait varier OF = c de 0 à a, la longueur OB varie de a à 0 ; l’ellipse, initalement confondue avec le cercle (O, a), s’aplatit de plus en plus, et finit par se confondre avec le segment AA’.

1.2. L’hyperbole.

Définition 2 : Soient F et F’ deux points de EEEE. L’hyperbole est le lieu des points du plan dont la différence des distances à F et F’ est constante : E = { M ∈EEEE_{; | MF}₋ MF’ | = 2a }.

Les points F et F’ sont appelés foyers de l’hyperbole, MF et MF’ sont les rayons-vecteurs du point M de E. La distance FF’ = 2c est appelée distance focale.

Discussion.

• Si c < a, H = ∅ (inégalité du triangle) ; ce cas sera le plus souvent exclu

• Si c = a, H est réduite aux points de la droite FF’ extérieurs au segment FF’ ; c’est un cas-limite.

• Si c > a > 0, on a une véritable hyperbole ; le rapport e = a

c _∈_{]1, +}_∞[ est l’excentricité de H.

• Si a = 0, H dégénère en la médiatrice du segment FF’.

Si c = 0, les foyers F et F’ sont confondus : H est alors le cercle de centre O = F = F’ et de rayon a.

Génération continue.

Une règle pivotant autour d’un point fixe F’, un fil tendu entre K et F. M un point du fil tendu situé contre la règle.

Les cercles (F, r) et (F’, r’), où | r’ − r | = 2a, se coupent en M et M’. Si l’on donne à r et r’ toutes ces valeurs, on obtient le lieu cherché.

Symétries, sommets.

H possède les mêmes symétries que l’ellipse. La droite xx’ rencontre H en deux points A et A’, tels que OA = OA’ = a : on les appelle sommets. H n’a pas de points sur yy’ (du moins si a ≠ 0) ; par suite, elle admet deux composantes connexes, séparées par la médiatrice yy’ de FF’.

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1.3. Effet d’une similitude.

Proposition 1 : Toute courbe semblable à une ellipse ou une hyperbole est une ellipse ou hyperbole de même excentricité. Réciproquement, deux ellipses ou hyperboles de même excentricité sont semblables.

Preuve : facile, laissée au lecteur.

1.4. Cercles directeurs.

Proposition 2 : L’ellipse (resp. l’hyperbole) est le lieu des centres de cercles tangents à un cercle fixe, et passant par un point fixe intérieur (resp. extérieur) à ce cercle.

Preuve : Soit E une ellipse de foyers F et F’, de grand axe de 2a, M un point de E. Prolongeons le rayon vecteur MF’ d’une longueur MP = MF. Alors F’P = 2a et le cercle (M, MF) est tangent intérieurement au cercle (F’, 2a). Réciproquement, si (F’, 2a) est un cercle, F intérieur à ce cercle et M centre d’un cercle passant par F et tangent à (F’, 2a), on a 2a = MF + MF’ donc M appartient à l’ellipse de foyers F et F’ de grand axe 2a.

La preuve relative à l’hyperbole est laissée en exercice.

Définition 3 : Les cercles (F, 2a) et (F’, 2a) sont dits cercles directeurs de l’ellipse ou de l’hyperbole. Le cercle principal est le cercle (O, a), O milieu de FF’.

Le cercle principal est bitangent à la conique ; il contient l’ellipse, et est extérieur à l’hyperbole.

C’est l’image du cercle (F’, 2a) par l’homothétie Hom(F, 1/2).

Conséquence : On peut se donner une conique à centre (ellipse ou hyperbole) par un cercle directeur (F’, 2a) et l’autre foyer.

(6)

On peut en effet construire par points la conique : un point variable P décrit le cercle (F’, 2a). La médiatrice de FP recoupe F’P en M, point courant de la conique. Nous verrons en 4.2. que cette médiatrice n’est autre que la tangente en M à la conique.

Même situation dans le cas de l’hyperbole ; toutefois, lorsque P est en T ou T’, points de contact des tantentes issues de F au cercle directeur (F’, 2a), le point M n’existe pas, ou plutôt est rejeté à l‘infini. Les directions F’T et F’T’ sont dites directions asymptotiques de l’hyperbole.

Exercice : Soient F et F’ deux points du plan ; trouver le lieu des points M tels que |MF ± MF’| = 2a.

Exercice : Soit ABC un triangle. On tend un anneau de fil inextensible autour de ce triangle. Quel est le lieu décrit par le pointeau ?

2. Équations réduites, paramétrisations.

2.1. Equations réduites.

Choisissons un ron (O, i, j) tel que F(c, 0) et F’(−c, 0). Les équations de E et H sont resp. : (x−c)²+y²⁺ (x+c)²+y² = 2a et

|

(x−c)²+y²− (x+c)²+y²

|

= 2a.

Il n’est pas du tout évident de les ramener aux formes réduites bien connues : 1^ère méthode : élévations au carré.

Les deux membres étant > 0, élever au carré procède par équivalence.

L’équation de l’ellipse s’écrit : ( x − c )² + y² + ( x + c )² + y² + 2 (x−c)²+y²^. (x+c)²+y²^{= 4a}²^, ou encore : (x−c)²+y²^. (x+c)²+y²^{= 2a}²− c²− x²− y².

Cette condition équivaut à la conjontion des deux conditions :

2a²− c²− x²− y²≥ 0 et [ ( x − c )² + y²].[ ( x + c )² + y²] = [ 2a²− c²− x²− y²]². La seconde s’écrit après calculs, en posant b² = a²− c² : b²x² + a²y² = a²b², ou

²

² a x ₊

²

² b

y =1.

Or cela implique x² + y² ≤ a² < 2a² − c². On peut procéder de même avec l’hyperbole.

2^ème méthode : traitement unifié de l’ellipse et de l’hyperbole.

Introduisons la fonction f : EEEE → R définie par :

f(M) = [ ( MF + MF’ )² − 4a²].[ ( MF − MF’ )² − 4a²]

= ( MF²− MF’²)²− 8 a²( MF² + MF’²) + 16 a⁴ après calculs = 16.[ ( c²− a²) x²− a²y² + a²( a²− c²) ]

f est une fonction polynomiale de M. Or il est facile de vérifier que f(M) = 0 est l’équation de l’ellipse MF + MF’ = 2a si a > c, l’équation de l’hyperbole | MF − MF’ | = 2a si a < c.

En effet, si a > c , | MF − MF’ | ≤ FF’ = 2c < 2a. Donc f(M) = 0 ⇔ MF + MF’ = 2a ;

Si a < c, 2a < 2c = FF’ ≤ MF + MF’. Donc f(M) = 0 ⇔ ( MF − MF’)² = 4a²⇔ | MF − MF’ | = 2a.

3^ème méthode : rayons vecteurs.

Notons d’abord que MF²− MF’² = 2 (OM |FF') = − 4c x.

Ellipse. MF + MF’ = 2a implique MF − MF’ = − 2 a

cx , puis MF = a − a

cx et MF’ = a + a cx_. D’où MF² = ( a −

a

cx₎² = ( x − c )² + y² et MF’² = ( a + a

cx₎² = ( x + c )² + y² (*).

Ces deux relations impliquent

²

² a x ₊

²

² b

y = 1 , où b² = a²− c².

(7)

Inversement, si M(x, y) vérifie

²

² a x ₊

²

² b

y = 1, les deux formules (*) en découlent, et MF =

|

a − a cx

|

et MF’ =

|

a + a

cx

|

. Mais |x| ≤ a, d’où MF = a − a

cx et MF’ = a + a

cx. Finalement MF + MF’ = 2a.

Hyperbole. MF − MF’ = ±2a ⇒ MF + MF’ = + a

cx

2 puis MF = ± ( a − a

cx ) et MF’ = +(a + a cx_).

D’où : MF² = ( a − a

cx₎²_{= ( x}₋_{c )}²_{+ y}²_{, MF’}²_{= ( a +} a

cx₎² = ( x + c )² + y² (*) Posant c²− a² = b², les formules (*) donnent

²

² a

x ₋

²

² b

y = 1, de façon équivalente.

a

cx_{+ a et} a

cx₋ a sont > 0 si x ≥ a, et sont < 0 si x ≤− a.

D’où MF = | a − a

cx _|_{, MF’ =}_|_{a +} a

cx _|_et_|_MF₋_MF’_|_{= 2a.}

Théorème : L’ellipse E a pour équation réduite

²

² a x ₊

²

² b

y = 1 , où a²− c² = b² ; L’hyperbole H a pour équation réduite

²

² a x ₋

²

² b

y = 1 , où c²− a² = b² .

Proposition : Si M(x, y) ∈ E ou H, on a MF =

|

a − a

cx

|

et MF’ =

|

a + a cx

|

.

2.2. Paramétrisations de l’ellipse et conséquences.

L’ellipse E :

²

² a x ₊

²

² b

y = 1 peut être paramétrée par x = a.cos ϕ , y = b.sin ϕ.

Il s’agit d’un paramétrage transcendant.

Mais si l’on pose t = tan 2

ϕ , on obtient un paramétrage rationnel x = a

² 1

t +t

− _{, y =}

² 1

2 t +bt ^.

Un paramétrage équivalent s’obtient en coupant E par une droite passant par le point A’(−a, 0) : couper l’ellipse par la droite y =

a

bt.(x + a).

Conséquences :

1) L’ellipse est l’affine d’un cercle.

L’ellipse E est l’image du cercle principal (O, a) par l’affinité (x, y)

→ (x, a

b.y) d’axe x’Ox. Elle est aussi l’affine du cercle (O, b) par l’affinité (x, y) → (

b

ax, y) d’axe y’Oy.

2) Disques elliptiques. L’ensemble {M ; MF + MF’ ≤ 2a} est un convexe compact d’aire πab, dont la frontière est E, et formée de points extrémaux. Cela découle de ce que cet ensemble se déduit du disque OM ≤ a par affinité.

3) Ellipses et structures euclidiennes.

• Soit A = 

 c b

b

a une matrice symétrique définie positive. Cela équivaut à a > 0 et ac > b². Alors ax² + 2bxy + cy² = 1 est l’équation d’une ellipse de centre O et d’aire

A det

π

_.

• Soit q une forme quadratique définie positive sur E (vectorialisé de EEEE_{en O).}

Alors { x ∈ E ; q(x) ≤ 1 } est un disque elliptique de centre O, noté B(q).

L’application q → B(q) est une bijection telle que q ≤ q’ ⇒ B(q’) ⊂ B(q).

(8)

• Soit u un endomorphisme symétrique défini positif de E. Quand x décrit le cercle unité, u(x) décrit une ellipse, et l’ensemble K(u) = { x ; (u(x) | x) ≤ 1 } est un disque elliptique.

4) Les ellipses sont les images d’un cercle (resp. d’une ellipse) par une bijection affine.

En d’autres termes, GA(E) agit de façon transitive sur l’ensemble des ellipses.

Cela découle de ce que les ellipses sont les courbes admettant comme équation x² + y² = 1 dans un certain repère affine.

Exercice : Quelles sont les bijections affines du plan conservant une ellipse donnée ? 5) Les ellipses sont les projections orthogonales d’un cercle sur un plan.

On peut supposer à translation près que le plan de projection PPPP passe par le centre O du cercle. Soit AA’ le diamètre du cercle situé dans ce plan, BB’ la projection du diamètre orthogonal. Soient m un point du cercle, M sa projection, H leur projection commune sur AA’. On a

Hm HM ₌

Ob

OB_{= cos}_α_, où α est l’angle des deux plans, donc le rapport

Hm

HM est constant. Le lieu de M se déduit par une affinité orthogonale d’axe AA’ et de rapport du cercle du plan PPPP obtenu en rabattant le cercle de départ (il y a deux façons de le faire). Naturellement, on a supposé le plan PPPP non perpendiculaire au plan du cercle. Réciproquement, toute ellipse est projection orthogonale d’un cercle (prendre α tel que cos α = OA/OB.)

2.3. Paramétrisations de l’hyperbole et conséquences.

L’équation réduite

²

² a x ₋

²

² b

y = 1 conduit à plusieurs paramétrisations : les unes transcendantes : x = ± a ch t , y = b sh t , t = Argsh

b y x = ^cos^aϕ , y = b.tan ϕ , ϕ∈ R − {

π

2_{+ k}_π_{; k}_∈_Z}

les autres algébriques.

− Coupons H par une droite passant par l’un de ses points, par exemple A(a, 0) : y = m.(x – a).

Il vient : x = a.

²

² b m a

b m

a −+ et y =

²

² 2

b m a

mab− ^. − Notons que (

a x ₋

b y).(

a x₊

b

y ) = 1. Posant a x₊

b

y= u , il vient a x ₋

b y =

u 1_. D’où : x =

2 a_{( u +}

u

1) et y = 2 b_{( u}₋

u 1_).

Géométriquement, cela revient à couper l’hyperbole par les parallèles à l’une de ses asymptotes.

Posant u = ± exp(t), on retrouve le paramétrage en ch-sh.

Conséquences :

1) L’hyperbole est formée de deux composantes connexes par arcs, non bornées.

2) Les hyperboles sont les courbes admettant comme équation x² − y² = 1, ou x.y = 1, dans un certain repère affine du plan.

3) Equation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes.

4) L’hyperbole et ses asymptotes découpent sur toute sécante commune deux segments de même milieu.

5) Le point de contact M d’une tangente à une hyperbole est le milieu du segment PQ déterminé sur cette tangente par les asymptotes. Le produit OP.OQ est constant, ainsi que l’aire du triangle OPQ.

(9)

Définition : Une hyperbole H est dite équilatère si elle vérifie l’une des propriétés équivalentes suivantes :

i) Les asymptotes de H sont perpendiculaires ;

ii) H admet pour équation réduite x²− y² = a² en repère orthonormé ; iii) H admet pour équation réduite x.y = k en repère orthonormé ; iv) H a pour excentricité e =

a

c ₌ 2.

Exercice : Montrer que la courbe d’équation x² + xy – y² = 1 est une hyperbole équilatère.

Remarque : Les hyperboles équilatères jouent par rapport aux hyperboles un rôle analogue à celui joué par les cercles par rapport aux ellipses : si l’on a à démontrer une propriété « affine », c’est-à- dire d’alignement ou de parallélisme, de milieux ou de barycentres, on peut supposer une ellipse d’équation x² + y² = 1, une hyperbole d’équation x²− y² = 1 (et une parabole d’équation y = x²).

2.4. Interprération géométrique des paramètres.

Cercle x² + y² = 1 Hyperbole équilatère x² − y² = 1

Paramétrisation x = cos ϕ , y = sin ϕ Paramétrisation x = ch ϕ , y = sh ϕ

Dans les deux cas, le lecteur vérifiera que ϕ est le double de l’aire du triangle curviligne OAM.

3. Définition monofocale des coniques (sauf cercle).

3.1. La parabole.

« Les bombes allemandes tombaient par les plus courtes paraboles. » Paul Morand

Définition : La parabole est le lieu des points équidistants d’une droite fixe D et d’un point fixe F non situé sur D. F est appelé le foyer, D la directrice et p = d(F, D) le paramètre de la parabole.

Soit K la projection de F sur D. La droite FK est axe de symétrie de la parabole PPPP. Cet axe contient un point du lieu, le milieu A de FK, appelé sommet de PPPP. Celle-ci est incluse sans le demi-plan limité par D et contenant PPPP_.

Construction mécanique.

A la pointe B d’une équerre AHB attachons une des extrémités d’un fil souple inextensible.

Puis à une point fixée en F attachons l’autre extérmité. Si la longueur du fil est égale à BH, alors lorsque l’équerre glisse le long d’une règle placée le long de D, le point M qui tend le fil décrit un arc de parabole.

(10)

Une droite variable reste perpendiculaire en H à D. La médiatrice de HF coupe cette droite en M ∈ P

P P

P. Lorsque cette droite s’éloigne à l’infini, elle contient toutjours un point M du lieu. Ainsi, la parabole comporte une branche infinie, une direction asymptotique, celle de son axe.

Proposition : La parabole est le lieu des centres des cercles tangents à une droite fixe et passant par un point fixe non situé sur cette droite.

Une autre construction par points.

Soit P un point situé sur l’axe de la parabole. Lorsque P se déplace, la perpendiculaire ∆ à l’axe menée de P coupe la parabole PPPP en deux points M et N. Comment les construire ? Ils sont tels que FM = FN = d, d étant la distance des droites D et ∆. Si J est le milieu de [FP] et Q le symétrique de K par rapport à J, alors FQ = KP = d. Il reste à tracer le cercle (F, FQ). Il recoupe ∆ en M et N… si du moins le point P appartient à la demi-droite d’origine A passant par F.

Equation cartésienne.¹

Choisissons un repère orthonormé (O, i, j) tel que F ait pour coordonnées (0, 2

p) et D pour équation y = −

2

p. Alors MH = MF ⇔ ( y + 2

p )² = x² + ( y − 2

p)² ⇔ y = p x 2

² _. Notons que MH > MF ⇔ y >

p x 2

² et que MH < MF ⇔ x <

p x 2

² _.

Remarque : G. Boutte pousse le raffinement jusqu’à paramétrer la parabole par x = 2pt, y = 2pt², afin d’éviter les dénominateurs. Mieux, il préfère coucher la parabole x = 2pt², y = 2pt. Baroque, vous avez dit baroque ? Propriétés tangentielles.

Proposition : Soient M un point de la parabole PPPP, H sa projection sur la directrice D. La tangente en M à P est la bissectrice intérieure de l’angle FMH, la normale sa bissectrice extérieure.

Preuve : Paramétrons le point courant M(x) = ( x, p x 2

² _{). Alors} dx

dM _{= ( 1,} p x _).

La tangente en M a pour équation Y − p x _{X +}

p x 2

² = 0, la normale p

x _{Y + X}₋( x +

² 2

3

p

x ) = 0 .

Le triangle FMH étant isocèle, il est facile de vérifier que ( dx

dM _|FH ) = 0.

Conséquences :

1) Le symétrique d’un foyer par rapport à une tangente quelconque décrit à la directrice.

2) La projection d’un foyer sur une tangente quelconque décrit la tangente au sommet.

3) Application optique. Les rayons lumineux issus de l’infini dans la direction de l’axe, sont réfléchis et passent tous par le foyer, où se concentre la lumière. C’est le principe des miroirs paraboliques, qui équipent notamment la centrale solaire de Thémis. Archimède déjà aurait utilisé ces miroirs pour incendier les vaisseaux romains assiégeant Syracuse.

Exercice : La double moyenne proportionnelle de Ménechme.

Soient a et b des réels > 0. On cherche des réels x et y tels que x a₌

y x ₌

b

y. Montrer qu’on les obtient en intersectant deux paraboles, ou une parabole et une hyperbole équilatère.

1 Debout sur son rocher, Jésus dit à ses disciples : « Soit y = ax² + bx + c… ». Un des apôtres prend la parole et dit : « Ecoute, Jésus, déjà d’habitude on ne comprend pas grand-chose à ce que tu nous dis, mais là, franchement, on est perdus ». Jésus répond : « C’est normal, c’est une parabole… ».

(11)

Exercice : Soit un triangle ABC.

1) Soit M un point du plan. Montrer que les projections de M sur les droites AB, BC et CA sont alignées ssi M appartient au cercle circonscrit au triangle.

2) Montrer qu’il existe une infinité de paraboles tangentes aux droites AB, BC et CA. Le lieu de leurs foyers est le cercle circonscrit au triangle, et leurs directrices sont concourantes en l’orthocentre.

3.2. Définition monofocale des coniques (sauf cercle).

Problème : Soient D une droite, F un point n’appartenant pas à D, e un réel > 0.

Cherchons l’ensemble des points dont le rapport des distances à F et à D est constant et égal à e : Γe = { M ; MF = e.d(M, D) } .

Le cas e = 1 vient d’être traité. Ecartons-le.

Choisissons un repère orthonormé (F, i, j) tel que D ait pour équation x = d.

M ∈Γe ⇔ x² + y² = e²( x − d )² ⇔ ( x +

² 1

² e

de− ⁾²⁺1 ²

² e y

− ⁼(1 ²)²

²

² e e

d− , après calculs.

• Si 0 < e < 1, on trouve l’ellipse de centre (−

² 1

² e

de− ^{, 0}⁾, de demi-axes a =

² 1 e

−de ^{et b =} 1 e² de− ^{, et} d’excentricité e ; cette ellipse n’est jamais un cercle.

• Si 1 < e, on trouve l’hyperbole de centre (−

² 1

² e

de− , 0), de demi-axes a = 1

²− e

de _{et b =}

²−1 e

de _{, et} d’excentricité e.

Remarques : 1) Si e → 0, D est rejetée à l’infini ; on peut considérer que l’ellipse Γe tend vers un cercle.

2) Toute conique sauf cercle est une courbe Γe. Cela peut se montrer en remontant les calculs ci- dessus, mais on peut aussi utiliser les résultats du § 2.1.

3.3. Equations polaires des coniques.

Reprenons le problème précédent, en coordonnées polaires cette fois.

Prenons F pour pôle, et (F, i) pour axe polaire.

MF = e.MH ⇔ MF² = e².MH² ⇔ r² = e²( d − r.cos θ )²

⁼^{1 e}+ ^.^cos^p θ ( p = ed ).

Γ0 a pour équation polaire r = p. Plus généralement, si l’on ne suppose plus la directrice verticale, l’équation polaire d’une conique de foyer F = O est :

r =

) cos(

.

1+e θ−θ₀

p = ¹+^A^.^cosθ^p+^B^.^sinθ ^.

Exercice : Reconnaître la courbe d’équation polaire r =

1 sin cos

1 +

+

θ

^.

Exercice : Image du cercle unité U − { j , j²} par f(z) =

² 1 1

z+z + ^.

(12)

Exercice : Soient F et A deux points distincts. Lieu des sommets de paraboles de foyer F passant par A.

Exercice : Montrer que l’inverse d’une parabole par rapport à son foyer est une élégante cardioïde, et plus généralement que l’inverse d’une conique par rapport à son foyer est un limaçon de Pascal.

3.4. Les lois de Kepler.²

« Ah çà ! messieurs du cosinus, cesserez-vous enfin de vous jeter des paraboles et des hyperboles à la tête ? Je veux savoir, moi, la seule chose intéressante dans cette affaire. Nous suivrons l’une ou l’autre de vos courbes. Bien. Mais où nous ramèneront-elles ? » Jules Verne, Autour de la lune, chap. XV De 1601 à 1604, il fallut des mois de calculs à Kepler pour s’assurer que la trajectoire de Mars était une ellipse déduite d’un cercle de rayon a, par une affinité de rapport

a

b ≈ 0, 00429, le centre de ce cercle n’étant pas le Soleil, mais le milieu des points extrêmes de l’orbite. Plus tard, dans son Astronomia Nova (IV, 58), Kepler raconta : « Je faillis devenir fou à chercher une raison expliquant pourquoi la planète préférait une orbite elliptique ». L’explication que cherchait en vain Kepler fut trouvée par Newton en 1666…

Définition : On appelle mouvement keplérien le mouvement d’un point matériel attiré ou repoussé par un point fixe suivant une force dont l’intensité est inversement proportionnelle au carré de la distance : F= −

² r

km _u_{, où}_u₌ OM

OM et r = ||OM || ( k > 0 si attraction, k < 0 si répulsion ).

Comme F= mΓ, il vient : Γ⁼−

² r k _u_.

Rappelons qu’un mouvement à accélération centrale vérifie OM ∧ V = C, vecteur constant.

En coordonnées polaires, on en déduit : r² dt

d

θ

_{= C ,}

²

² dt r d ₋_r₍

dt d

θ

₎²₌₋

² r

k et la formule de Binet :

(

r 1₊

² ) / 1

²(^dθ^r

d

)

²

² r

−C ₌₋

² r k _. Ici donc :

(

r

1₊

( )

¹_r _θ^''

⁾

⁼_C^k_² , équation différentielle qui s’intègre en r 1₌

² C

k _{+ A.cos}_θ_{+ B.sin}_θ_. • Si (A, B) = (0, 0), cercle de centre O parcouru à vitesse angulaire constante.

• Si (A, B) ≠ (0, 0) , conique de foyer O. Plus précisément :

− Si k > 0 (attraction), on trouve une ellipse, parabole ou une branche d’hyperbole.

− Si k < 0 (répulsion), on trouve une branche d’hyperbole.

4. Propriétés tangentielles.

4.1. Equations tangentielles.

Proposition 1 : i) L’ellipse et l’hyperbole ont pour équation A x²₊

B

y² = 1, où A = a², B = a² − c². La droite d’équation u.x + v.y + w = 0 est tangente à cette conique ssi A.u² + B.v²− w² = 0 (1) ii) La droite u.x + v.y + w = 0 est tangente à la parabole d’équation y =

p x 2

² ssi p.u²− 2vw = 0 (2)

2 Quelle meilleure introduction à la vie et à l’œuvre de Johann Kepler (1571-1630) que Les Somnambules d’Arthur Koestler ? Ce livre parfois réédité dresse un portrait chaleureux, enthousiaste, inoubliable pour tout dire, de Kepler. A lire en écoutant les Petits Concerts Spirituels de son contemporain Heinrich Schütz (1583- 1672).

(13)

On dit que (1) et (2) sont les équations tangentielles des courbes considérées.

Démonstration : La droite D : u.x + v.y + w = 0 est tangente à une conique ssi elle la coupe en deux points confondus, c’est-à-dire si l’équation aux intersections a une racine double.

• Si v ≠ 0, y = − v ux+w_et

A x²₊

B

y² = 1 impliquent après calculs : ( B v² + A u²).x² + 2Auw x + A ( w²− B.v²) = 0.

D’où ∆’ = … = B.av²( A.u² + B.v² − w²) = 0.

• Si v = 0, x = − u w_et

A x²₊

B

y² = 1 impliquent B

y²_{= 1 −}

²

² Au

w , qui a une racine double ssi A.u²− w² = 0. Dans tous les cas, A.u² + B.v²− w² = 0.

Une variante évitant de distinguer les droites verticales, consiste à choisir un point M₀ de D et à paramétrer D par x = x₀ + t.v, y = y₀ − t.u. Le cas de la parabole est laissé en exercice.

Application 1 : orthoptique d’une conique.

Définition 2 : L’orthoptique d’une courbe CCCC est le lieu des points M d’où l’on peut mener deux tangentes rectangulaires à CCCC_.

Théorème 2 (Monge) : L’orthoptique de la conique à centre A x²₊

B

y² = 1 est le cercle d’équation x² + y² = A + B. L’orthoptique de la parabole y =

p x 2

² est sa directrice y = − 2 p.

Preuve : Les droites passant par M₀(x₀ , y₀) ont pour équation u.( x − x₀) + v.( y − y₀) = 0.

Il suffit d’écrire que (u, v, u.x₀− v.y₀) vérifie l’équation tangentielle.

Exercice : Soit CCCC une courbe algébrique d’équation P(x, y) = 0, où P ∈ R[X, Y]. Indiquer une méthode pour trouver la courbe orthoptique. Cas où CCCC admet un paramétrage rationnel.

Application 2 : Podaires d’une conique.

Définition 3 : On appelle podaire d’une courbe CCCC par rapport à un point O le lieu des projections de O sur les tangentes à CCCC_.

L’ellipse et l’hyperbole ont pour équation A x²₊

B

y² = 1, où A = a², B = a²− c². Cherchons leurs podaires par rapport à leur centre O (courbes de Booth).

Le point P(x, y) appartient à la podaire ssi la perpendiculaire en P à OP est tangente.

Cette tangente a pour équation xX + yY − ( x² + y²) = 0.

Il vient donc A.x² + B.y²− ( x² + y²)² = 0 . Ce sont des quartiques bicirculaires.

Si la conique est une hyperbole équilatère, on obtient une lemniscate de Bernoulli.

(14)

4.2. Propriétés angulaires.

Théorème 3 : a) La tangente à l’ellipse EEEE_{en M ∈}EEEE est la bissectrice intérieure de l’angle FMF' b) La tangente à l’hyperbole HHHH_{en M}_∈HHHH est la bissectrice extérieure de l’angle FMF'.

c) La tangente à la parabole PPPP_{en M}_∈PPPP est la bissectrice intérieure de l’angle FMH, où H est la projection de M sur la directrice.

Preuve : La 3^ème assertion a été établie en § 3.1. Montrons la 1^ère. Soit t → M(t) une paramétrisation de classe C¹ de l’ellipse E. On sait qu’il en existe, transcendantes ou rationnelles (§ 2.2).

On a (∀t) ||FM(t)|| + ||F'M(t)|| = 2a , d’où (∀t) dt

d _||FM(t)|| + dt

d _||F'M(t)|| = 0.

Or dt

d _||FM(t)|| = dt

d _FM₍_t₎_._FM₍_t₎₌ ) (

) (

t FM

t FM _.

dt dM ₌_u_.

dt

dM _{, où}_u₌ ) (

) (

t FM

t FM _.

En introduisant de même le vecteur unitaire u' =

) ( '

t M F

t M

F , il vient : (u + u') dt dM _{= 0.}

Or (u + u') est dirigé selon la bissectrice intérieure de l’angle FMF' ; d’où le résultat.

Le cas de l’hyperbole est laissé en exercice.

Conséquences :

1) Le symétrique de F par rapport aux tangentes à E ou H décrit le cercle directeur (F’, 2a). Le symétrique de F par rapport aux tangentes à P décrit la directrice.

2) Podaire d’un foyer F. La projection de F de F sur les tangentes à E ou H décrit le cercle principal (O, a). La projection de F sur une tangente à P décrit la tangente au sommet.

3) Les coniques comme enveloppes (antipodaires). Soit C un cercle, F un point du plan. Quelle est l’enveloppe des perpendiculaires en M à MF lorsque M décrit C ?

4) Ellipses, hyperboles, paraboles homofocales.

Soient F(c, 0) et F’(−c, 0). Les coniques à centre (ellipses ou hyperboles) de foyers F et F’ ont pour équation

²

² a x ₊

²

² c a

y− = 1, où a > 0 et a ≠ c.

Ces ellipses et hyperboles forment un réseau auto-orthogonal, en ce sens que les ellipses et hyperboles de foyers F et F’ se coupent à angle droit.

Soit P la parabole d’équation x²= 2p.y. Les paraboles homofocales (même foyer et même axe) ont pour équations x² = ( p + λ ).( 2y + λ ). Elles forment aussi un réseau autoorthogonal.

(15)

5) Trajectoires de lumière ou de billard.

Un rayon lumineux issu d’un foyer d’une ellipse se réfléchit selon un rayon passant par le second foyer. Un rayon lumineux issu d’un foyer d’une hyperbole se réfléchit selon un rayon dont le prolongement passe par l’autre foyer.

Application à l’acoustique des latomies de Syracuse, lesquelles avaient une forme elliptique : le tyran installé en F entendait tout ce que disaient les prisonniers situés en F’…

6) Tangentes menées d’un point à une conique.

Exercice : Une conique C est donnée par un cercle directeur (F’, 2a) et l’autre foyer, ou (si parabole) par foyer et directrice.

1) Comment mener à une conique une tangente parallèle à une direction donnée ? 2) Construire les tangentes à une conique issues d’un point donné.

4.3. Théorème de Poncelet et applications.

Théorème 4 (Poncelet³) : Soit CCCC une conique à centre, de foyers F et F’. Les tangentes issues de tout point M à C ont mêmes bissectrices que les droites MF et MF’. Autrement dit, ces bissectrices sont indépendantes de la conique de foyers F et F’ choisie.

2 Jean Victor PONCELET (Metz 1788-Paris 1867), militaire et mathématicien français. Placé à la campagne, près de Metz, chez un prêtre qui lui donna de l’instruction, Poncelet fut admis gratuitement au lycée de Metz. Il sauta plusieurs classes, s’adonnant surtout à l’étude des mathématiques. Admis à l’École polytechnique dans les premiers de la promotion 1807, il y suivit les cours de Monge, avant de sortir en 1810 comme sous-lieutenant du génie à l’École d’application de Metz. En mars 1812, il sortit de l’École d’application de Metz, pour coopérer aux travaux défensifs de Ramekens dans l’île de Walcheren, avant de rejoindre comme lieutenant du génie la Grande Armée à Vitebsk. Il fut laissé pour mort à la sanglante bataille de Krasnoï, non loin de Smolensk, le 18 novembre 1812, où 7000 français, sous les ordres de Ney, affrontèrent 25000 russes. Il fut alors rayé des cadres de l’Armée française. En réalité, il avait été fait prisonnier par les Russes, et relégué en mars 1813 à Saratov sur le Volga, où il n’arriva vivant que grâce à une exceptionnelle énergie. Durant son emprisonnement, privé de tout ouvrage scientifique et réduit à ses souvenirs des cours et des lectures de Monge et de Lazare Carnot, Poncelet commença ses recherches sur la géométrie projective, qui le menèrent à son grand traité sur le sujet : Traité des propriétés projectives des figures (1822). Consacrant la majeure partie de sa vie à sa carrière militaire, il occupa ses loisirs à écrire des mémoires sur la mécanique, l’hydraulique et la géométrie. En 1834, il entra à l’Académie des sciences, et fut nommé professeur à la faculté des sciences de Paris, où il fonda le cours de mécanique appliquée. Colonel en 1845, général en 1848, il commanda l’École polytechnique de 1848 à 1850. Représentant du peuple à l’Assemblée constituante de 1848, il refusa de servir le second Empire et fut mis à la retraite.

Dans son grand traité de géométrie projective, Poncelet étudie les propriétés des figures qui sont invariantes par projection centrale ; cette méthode lui permet d’établir les principales propriétés des coniques et des quadriques et de traiter la théorie des polygones. Il énonce aussi le « principe de continuité », qui affirme que

(16)

Preuve géométrique :

Soient T un point du plan, TM₁ et TM₂ les tangentes issues de T à la conique, M₁ et M₂ désignant les points de contact avec CCCC. Les symétriques P₁ et P₂ de F’ par rapport à M₁ et M₂ resp.

appartiennent au cercle directeur C(F’, 2a) et au cercle C(T, TF).

F’T est bissectrice de l’angle P₁F’P₂, donc de l’angle M₁F’M₂ ; pour F, échanger les rôles.

M₂TM₁ = P₂TP₁ (facile)

= F’TP₁ car F’T est axe de symétrie commun aux deux cercles C(T, TF) et C(F’, 2a).

Donc M₂TF’ = M₁TP₁ = FTM₁. Ceci vaut aussi bien pour l’ellipse que pour l’hyperbole. Cqfd.

Preuve analytique :Soit A x²₊

B

y² = 1 l’équation réduite de C_. 1) Montrer que les coniques homofocales ont pour équation A+

λ

x² ₊ λ + B

y² = 1.

2) Soit M₀(x₀ , y₀) un point du plan, y − y₀ = m.(x − x₀) une droite issue de M₀. A quelle condition cette droite est-elle tangente à C_?

Equation de la conique (dégénérée) formée, le cas échéant, des deux droites obtenues ?

3) Equations des bissectrices de ces deux droites, et de la conique (dégénérée) formée de ces deux droites ? Vérifier que cette équation ne dépend que de A – B = c², et conclure.

Remarque : Ce théorème est parfois appelé « petit théorème de Poncelet », par opposition au « grand théorème de Poncelet ». Pour la parabole, le résultat est le même, mais F’ est rejeté à l’infini.

Application 1 : ellipses inscrites dans un triangle.

Problème : Soit T = ABC. Deux points M et M’ sont dits isogonaux relativement à T si les droites MA et M’A ont même bissectrice que l’angle BAC, etc.

1) Soit E un ellipse inscrite dans un triangle T. Montrer que les foyers F et F’ de T sont des points isogonaux relativement à T.

2) Réciproquement, montrer que tout point intérieur à un triangle est foyer d’une ellipse inscrite dans le triangle.

3) Soit P(z) un polynôme complexe de degré 3, de racines a, b et c. Montrer que les racines de P’(z) sont des points intérieurs au triangle abc, et foyers d’une ellipse inscrite dans ce triangle.

Application 2 : théorème de Mac Cullagh & Graves.

Théorème : Etant donné un fil fermé de longueur strictement supérieure à celle de l’ellipse E, le lieu d’un pointeau tendant le fil autour de E est une ellipse E’

homofocale à E.

Ce magnifique théorème généralise le « fil du jardinier ».

les propriétés d’une figure, invariantes par certaines transformations, ne sont pas modifiées lorsque la figure prend une position limite. À l’aide de ce principe, Poncelet est amené à considérer les points et droites qui disparaissent à l’infini ou deviennent imaginaires ; il élabore la théorie des transformations par polaires réciproques et le « principe de dualité ». Parmi les autres travaux de Poncelet, il faut citer : Cours de mécanique (1826) et Applications d’analyse et de géométrie (1862-1864), ainsi que de nombreux articles de géométrie parus dans le Journal de Crelle. Poncelet exerça une très forte influence sur les mathématiciens allemands, et ce fut M. Chasles qui le fit reconnaître en France comme un des fondateurs de la géométrie moderne.

(17)

Il n’est pas facile à démontrer : essayez.⁴ Application 3 : le billard elliptique.

On lance une boule de billard dans un billard de forme elliptique, et on suppose le mouvement sans frottement.

1) Montrer que, si la boule passe par un foyer, elle passera alternativement par l’un et l’autre foyers.

2) Montrer que, si elle passe à l’extérieur des foyers, elle enveloppe une ellipse homofocale, et que, si elle passe à l’intérieur des foyers, elle enveloppe une portion d’hyperbole homofocale.

Enfin, montrer qu’après quelques rebonds, la trajectoire est très voisine du grand axe.

3) Ecrire un programme informatique visualisant la trajectoire de la boule.

[

Indication : Soient

²

² a x ₊

²

² b

y = 1 l’équation du bord elliptique E, M₀, M₁, … , M_n, … les points d’impact, et m_n la pente de la corde M_nM_n+1. On peut supposer M₀

∈ E. Soit C la conique homo-focale de E tangente à M₀M₁. Montrer par récurrence que M_nM_n+1 est tangente à C. Trouver les coordonnées de M₁ en fonction de celles de M₀ et de m₀ ; chercher l’équation de C sous la forme ²+

λ

² a

x ₊ λ +

²

² b

y = 1, et montrer que m₁ = − ²−λ

. 2

2 1

1 1

a x

y

^x ^y _^_b^a _c^b_^











 y

x , c’est-à-dire propre pour la matrice symétrique A = 

 c b

b a .

Soit P la matrice de passage de (i, j) à (I ,J) ,











 y x = P.











 Y

X : P⁻¹.A.P =^tP.A.P = 



λ µ

0 0

4 Une preuve parfaitement rigoureuse, quoique roborative, se trouve dans J.-M. Arnaudiès, Problèmes d’agré- gation, t. 2, pb. 41 (Ellipses).

(18)

Dans ce nouveau repère, ΓF a une équation de la forme :

F(x, y) = G(X, Y) = λ.X² + µ.Y² + 2ρ.X + 2σ.Y + f = 0.

1^er cas : λ.µ ≠ 0, i.e. ac − b² ≠ 0, i.e. rg A = 2, i.e. q est non dégénérée.

L’équation s’écrit λ.( X + λρ ₎²_{+ µ.}₍_{Y +}

σµ ₎²_{+ f −} ρλ^²₋

σµ^² _{= 0 .} Soit Ω(−λρ_{, −}

σµ ). Dans le repère ( Ω, I ,J), l’équation s’écrit λ.X’² + µ.Y’² + ν = 0 , où ν = f − ρλ^² ₋

σµ^²_. Si λ.µ > 0, i.e. ac − b² > 0.

• Si λ, µ et ν sont de même signe, ΓF = ∅ : ellipse imaginaire

²

² a x ₊

²

² b

y = − 1 (I) • Si ν = 0 on trouve ΓF = {Ω} : ellipse-point

²

² a x ₊

²

² b

y = 0 (II) • Si λ.ν < 0, on trouve ΓF = E : ellipse réelle

²

² a x ₊

²

² b

y = 1 (III) Si λ.µ < 0, i.e. ac − b² < 0.

• Si ν≠ 0, on trouve ΓF = H : hyperbole

²

² a x ₋

²

² b

y = 1 (IV) (après réduction et éventuel échange des axes)

• Si ν = 0, on trouve ΓF = D ∪ D’ : deux droites sécantes

²

² a x ₋

²

² b

y = 0 (V) 2^ème cas : λ.µ = 0, i.e. ac − b² = 0, i. e. rg A = 1, i.e. q est dégénérée.

Si l’on suppose λ = 0 ≠ µ, il vient : µ.( Y + σµ ₎² + 2ρ.X + f − σµ^²_{= 0 .} Si ρ ≠ 0, le changement d’axes Y’ = Y + σµ , X’ = X + ²^{1 (}ρ ^{f −}σµ_{² )}_{donne :} • ΓF = P : parabole y =

p x 2

² (VI) Si ρ = 0, Y’ = Y + σµ _{donne Y’}²₌

² µ² σ ₋

µ

^f . On trouve selon les cas :

•ΓF = ∅ : droites parallèles imaginaires y² = − a² (VII) •ΓF = D : droite double y² = 0 (VIII) • ΓF = D ∪ D’ : deux droites parallèles y² = a² (IX) Résumons la démarche suivie : la réduction orthonormée de A permet de supprimer le terme rectangle en x.y. Ensuite, on effectue des translations pour supprimer si possible les termes en x et en y. Et l’on se ramène alors à l’une des neuf formes réduites détaillées ci-dessus.

5.2. Questions de généricité.

Ces neuf familles de courbes ne sont pas également générales :

Si l’on se donne ( a, b, c, d, e, f ) ∈ R⁶, (a, b, c) ≠ (0, 0, 0), la « conique » associée sera presque certainement une ellipse réelle ou imaginaire, ou une hyperbole, les 6 autres cas étant de mesure nulle (i.e. de probabilité nulle pour une densité continue) et d’intérieur vide dans R⁶.

Si l’on sait que ac = b², la courbe sera une parabole, les 3 autres cas étant de mesure nulle et d’intérieur vide.