6. Sections planes des cylindres et cônes de révolution
6.1. Sections planes d’un cylindre de révolution
Théorème 1 : La section plane d’un cylindre de révolution est formée de deux droites, une droite ou est vide si le plan est parallèle à l’axe du cylindre. C’est une ellipse d’excentricité e = cos ϕ (ϕ angle des génératrices et du plan), dans le cas contraire.
Théorème 2 : Etant donnée une ellipse tracée dans un plan, il y a exactement deux cylindres de révolution contenant cette ellipse. Les axes de ces deux cylindres sont les asymptotes de l’hyperbole focale de l’ellipse donnée.
[Deux coniques Γ et Γ’ sont dites focales si elles sont situées dans des plans perpendiculaires et si les sommets de l’une sont les foyers de l’autre.]
Preuve analytique du théorème 1.
Choisissons un repère orthonormé (O, i, j,k) tel que z’Oz = O + R.k soit l’axe ∆ du cylindre.
L’équation du cylindre CCCC est alors x2 + y2 = R2 quel que soit le choix de O, i et j.
• Si le plan sécant PP PP est vertical, on peut supposer qu’il a pour équation x = a. La première assertion est alors évidente.
• Sinon, prenons O = ∆∩PPPP et pour axe x’Ox la droite de PPPP menée de O et perpendiculaire à ∆. Le plan yOz est alors le plan de symétrie de la figure formée par PPPP et ∆.
Dans le repère (O, i, j,k), le plan PPPP a pour équation y = z.tan ϕ.
La section a pour équations paramétriques x2 = R2 − z2 tan2ϕ , y = z.tan ϕ , i.e. :
OM = x.i + y. j + z.k = x.i + coszϕ .(sin ϕ. j + cos ϕ.k) = x.i + coszϕ.h = Xh + Y.(−i) , où (O, i,h) et (O, h,−i) sont des repères orthonormés de PPPP.
Dans cette base, l’intersection a pour équation8 :
)² sin / (
²ϕ R
X +
²
² R Y = 1.
C’est une ellipse de paramètres a = sinRϕ , b = R , c = R.cotan ϕ , e = cos ϕ . CQFD Preuve du théorème 2.
Il découle de la preuve précédente que le petit axe de l’ellipse est le diamètre du cylindre cherché : R = b, que l’axe de ce cylindre passe par le centre de cette ellipse, qu’il se projette sur le plan P de cette ellipse sur le grand axe de celle-ci, et enfin qu’il fait avec lui un angle ϕ tel que
cos ϕ = a c =
OA
OF : il y a donc deux positions possibles pour cet axe, qui sont les asymptotes de l’hyperbole focale. Bien entendu, si l’ellipse est un cercle, c = 0 et ϕ =
π
2 : il y a un seul cylindre.Preuves géométriques du théorème 1.
Notant ∆ l’axe du cylindre et PPPP le plan sécant, la figure admet pour plan de symétrie le plan méridien contenant ∆ et perpendiculaire à PPPP (on suppose PPPP et ∆ sécants). Prenons ce plan comme
« plan du tableau », ou « plan de front ». Il coupe le cylindre selon deux génératrices u’u et v’v, qui coupent PPPP en A et A’. La droite AA’ est la projection de ∆ sur PPPP. Elle fait avec ∆ l’angle ϕ.
L’axe ∆ coupe les bissectrices de l’angle A’Au en deux points Ω et Ω’, centres de cercles tangents aux génératrices u’u et v’v, et à AA’. Après révolution, Ω et Ω’ sont centres de deux sphères de rayon R, tangentes au cylindre et au plan sécant. Notons F et F’ les points de contact de ces sphères Σ et Σ’ avec PPPP, D et D’ les intersections de P avec les plans Π et Π’ contenant les cercles de contact de Σ et Σ’ avec CCCC.
1ère méthode, bifocale : PPPP ∩CCCC = Γ est une ellipse de foyers F et F’.
Soit M ∈ PPPP ∩ CCCC. La génératrice issue de M coupe en I et I’ les cercles de contact Σ ∩ CCCC et Σ’ ∩ CCCC. On a : • MI = MF et MI’ = MF’ , car les tangentes issues d’un même point à une sphère sont égales.
• MI + MI’ = ΩΩ’ = 2a , distance des deux plans Π et Π’ ; • Donc MF + MF’ = ΩΩ’ = 2a.
Réciproquement, tout point M ∈ PPPP tel que MF + MF’ = 2a est sur le cylindre car le plan contenant ∆ et M coupe le cylindre selon deux génératrices, qui coupent PPPP en deux points M1 et M2. Or, M, M1 et M2 sont alignés, et MF + MF’ = M1F + M1F’ = M2F + M2F’, donc M = M1 ou M2.
8 En toute rigueur, il faudrait montrer une réciproque.
Le petit axe de l’ellipse est perpendiculaire commune à AA’ et ΩΩ’ = ∆ ; donc il est dans un plan orthogonal à ∆ : c’est donc b = R, rayon du cylindre. Le grand axe est AA’ = ΩΩ’ = 2a = sin2Rϕ. Donc l’excentricité est e =
a
c = cos ϕ.
2ème méthode, homofocale : PPPP ∩CCCC = Γ est une ellipse de foyer F et de directrice D.
Soit H la projection orthogonale de M sur D. C’est aussi la projection orthogonale de I sur D (thme des trois perpendiculaires).
Or MF = MI , MH MF =
MH
MI = cos ϕ , carIMH= ϕ, angle de la génératrice MI avec le plan PPPP. Réciproquement, tout point M ∈PPPP tel que
MH
MF = cos ϕ est sur le cylindre (procéder comme ci-dessus). Naturellement, on peut procéder de même avec F’ et D’.
6.2. Sections planes d’un cône de révolution : théorèmes de Dandelin.9
Théorème 1 : Soient CCCC un cône de révolution de demi-angle au sommet θ, PPPP un plan faisant un angle ϕ avec l’axe ∆ de CCCC, PPPP’ le plan mené du sommet S de CCCC parallèlement à PPPP .
La section du cône CCCC par le plan PPPP est :
i) Une ellipse si le plan PPPP’ est extérieur au cône, i.e. ϕ > θ ; son excentricité est e = θϕ cos
cos < 1 ; ii) Une parabole si le plan PPPP’ est tangent au cône, i.e. ϕ = θ ; alors e = 1 ;
iii) Une hyperbole si le plan PPPP’ coupe le cône suivant deux génératrices, i.e. ϕ < θ ; son excentricité est e = θϕ
cos cos > 1.
Lorsque PPPP = PPPP’, on obtient respectivement l’ensemble {S}, une génératrice, deux génératrices.
Théorème 2 : Une conique quelconque Γ peut-être placée sur un cône de révolution. Le lieu des sommets des cônes de révolution contenant Γ est la conique Γ’ focale de Γ.
Preuve analytique du théorème 1. La première chose à faire est de choisir un bon repère orthonormé, afin de conduire les calculs à leur terme.
1er cas : le plan PPPP est parallèle à l’axe ∆ du cône CCCC.
Choisissons le repère (O, i, j,k) tel que S = O, z’Oz = ∆, O + Vect( j,k) soit parallèle à P. Dans ce repère, CCCC a pour équation x2 + y2 = z2 tan2θ , PPPP a pour équation x = a.
− Si a = 0, l’intersection est réunion des deux génératrices y = ± z.tanθ, x = 0.
− Sinon, elle a pour équation x = a , z2 tan2 θ− y2 = a2.
On trouve l’hyperbole verticale d’équation réduite a².cotz²an²
θ
− ay²² = 1,
9 Germinal Pierre DANDELIN (Le Bourget, 1794 – Bruxelles, 1847). Ah, le beau prénom ! Fils d’un administrateur français, Dandelin fit ses études à Gand et entra à l’École polytechnique en 1813. Il se porta volontaire pour combattre les Alliés ; blessé d’un coup de lance en mars 1814 lors de la chute de Paris, il fut décoré de la Légion d’honneur. Hostile à la Restauration, il travailla au ministère de l’Intérieur pendant les Cent Jours. Après Waterloo, il abandonna ses études à l’X et se fixa en Belgique. Il prit ses lettres de naturalisation comme citoyen des Pays-Bas en 1816. Professeur à l’École des mines de Liège, et à l’Athénée de Namur, il obtint le grade de colonel du génie, et devint membre de l’Académie des sciences et belles lettres de Bruxelles.
En 1830 il prit part à la Révolution qui entraîna la création de la Belgique. A partir de 1835 il participa, dans l’armée belge, à la construction des fortifications de Namur, Liège, puis Bruxelles. Dandelin fit avec Quételet des recherches sur les sections planes des cônes (1822), puis de l’hyperboloïde à une nappe (1826), et les projections stéréographiques des courbes tracées sur la sphère (1827). Il donna aussi une méthode d’approxi-mation des racines d’une équation algébrique, dite de Dandelin-Graeffe.
d’asymptotes x = a, y = ± z.tanθ, d’excentricité e = cos1
θ
: ici, ϕ = 0.2ème cas : le plan PPPP n’est pas parallèle à l’axe ∆ de CCCC.
Le plan coupe l’axe du cône en un point O, origine du repère. Prenons pour axe z’Oz l’axe ∆, pour axe x’Ox la perpendiculaire à ∆ située dans PPPP; le plan yOz est alors le plan contenant ∆ et perpendiculaire à PPPP : c’est le plan de symétrie de la figure formée par le plan et le cône.
Dans ce repère, CCCC a pour équation : x2 + y2 = ( z − z0 )2 tan2θ , P
P P
P a pour équation y = z.tan ϕ, et pour repère orthonormé (O, h,−i), car si M ∈PPPP,
OM = x i + y j + zk = xi + coszϕ(sin ϕ j + cos ϕ k) = x i + coszϕ h = Xh + Y (−i) , où X = coszϕ et Y = −x. Si de plus M ∈ CCCC, x2 = z2 (tan2 θ − tan2 ϕ) − 2 zz0 tan2 θ + z02 tan2θ donc Y2 = X2 cos2 ϕ ( tan2 θ− tan2 ϕ ) − 2.Xz0.cos ϕ.tan2 θ + z02.tan2 θ .
Il ne reste plus qu’à mettre cette équation sous forme réduite avec les méthodes du § 5, en discutant selon les trois cas suivants.
Preuves géométriques du théorème 1.
Prenons pour plan du tableau (« plan de front ») le plan QQQQ contenant ∆ et perpendiculaire à PPPP(on suppose donc PPPPnon parallèle à ∆) . Soient S le sommet du cône, Su et Sv les génératrices de Q Q Q Q ∩CCCC, A et A’ les intersections de Su et Sv avec PPPP.
I) Supposons d’abord ϕ > θ.
Plaçons-nous dans le plan du tableau. Soient Ω le centre du cercle inscrit dans le triangle SAA’, Ω’
le centre du cercle exinscrit dans l’angle S, F et F’ les projections orthogonales de Ω et Ω’ sur AA’.
Par révolution, les sphères Σ et Σ’ de centres Ω et Ω’ et contenant ces cercles sont tangentes au cône et au plan sécant PPPP. Notons Π et Π’ les plans contenant les cercles de contact entre Σ et Σ’ et CCCC. Soient enfin D = PPPP∩Π et D’ = PPPP∩Π’.
1ère méthode, bifocale : PPPP ∩CCCC = Γ est une ellipse de foyers F et F’.
Soit M ∈ PPPP ∩CCCC. La génératrice SM coupe Π en I et Π’ en I’. On a :
• MI = MF et MI’ = MF’ , car les tangentes issues d’un même point à une sphère sont égales.
• MI + MI’ = II’, longueur fixe, indépendante de M ;
• FF’ = ΩΩ’.cos ϕ , II’ = ΩΩ’.cos θ.
Donc M est sur une ellipse de grand axe AA’ = II’ = ΩΩ’.cos θ , de distance focale FF’ = ΩΩ’.cos ϕ et d’excentricité e = θϕ
cos
cos , de foyers F et F’, car MF + MF’ = MI + MI’ = ΩΩ’.cos θ.
Réciproquement, si M est sur cette ellipse, soit (δ) une droite coupant en deux points le cône CCCC, par exemple MP, P = PPPP ∩∆. Sur cette droite MP, il y a deux points de PPPP ∩ CCCC, M1 et M2.
Ils vérifient MF + MF’ = M1F + M1F’ = M2F + M2F’, donc M = M1 ou M2. Donc M ∈CCCC.. 2ème méthode, homofocale : PPPP ∩ CCCC = Γ est une ellipse de foyer F et de directrice D.
Soit M ∈Γ, H sa projection orthogonale sur D, N sa projection sur Π. On a MF = MI et
MH MF =
MH MI =
MN MI .
MH MN =
θϕ cos cos = e.
Réciproque laissée au lecteur. Naturellement, on peut procéder de même avec F’ et D’.
II. Supposons ϕ < θ.
Le plan PPPP’ mené de S parallèlement à PPPP coupe CCCC selon deux génératrices.
Notons Ω, resp. Ω’, le centre du cercle exinscrit dans l’angle A’, resp A, du triangle SAA’. Ils sont centres de deux sphères Σ et Σ’ tangentes en F et F’ à PPPP. Notons Π et Π’ comme ci-dessus.
1ère méthode, bifocale : PPPP ∩CCCC = Γ est une hyperbole de foyers F et F’.
Soit M ∈ PPPP ∩ CCCC. La génératrice SM coupe Π en I et Π’ en I’. On a :
• MI = MF et MI’ = MF’ , car les tangentes issues d’un même point à une sphère sont égales.
• | MF’ − MF | = | MI’ − MI | = II’ = ΩΩ’.cos θ, longueur fixe, indépendante de M ;
• FF’ = ΩΩ’.cos ϕ .
M appartient à l’hyperbole de PPPP de foyers F et F’, d’excentricité e = θϕ cos cos > 1.
Réciproquement tout point M de cette hyperbole appartient à CCCC comme on le voit en menant de M une droite coupant CCCC en deux points.
2ème méthode, homofocale : PPPP ∩ CCCC = Γ est une hyperbole de foyer F et de directrice D.
Soit M ∈Γ, H sa projection orthogonale sur D, N sa projection sur Π. On a MF = MI et
MH MF =
MH MI =
MN MI .
MH MN =
θϕ cos cos = e.
Réciproque laissée au lecteur. Naturellement, on peut procéder de même avec F’ et D’.
Le cas où PPPP est parallèle à ∆ donne encore une hyperbole : laissé au lecteur.
III. Supposons ϕ = θ.
Le plan PPPP’ est tangent au cône. A’ est rejeté à l’infini, mais on définit Ω centre d’une sphère Σ tangente à PPPP et CCCC en F. Si M ∈ Γ, on a encore :
• MF = MI , comme tangentes menées de M à Σ.
• MI = MH , car les triangles MIH et SIC’ sont semblables; or SIC’ est isocèle.
• Donc MF = MH et M appartient à la parabole de foyer F et de directrice D.
Réciproque laissée au lecteur.
6.3. « Si l’œil est au sommet du cône… »
Il découle de ce qui précède que les coniques : ellipses, paraboles et hyperboles, sont les images en perspective des cercles par une projection centrale, le centre pouvant étant rejeté à l’infini.
Toutefois, parabole et hyperbole doivent être complétées par un « point à l’infini ». C’est la grande décou-verte de Girard Desargues, résumée par son disciple Blaise Pascal en ces termes :
« Si l’œil est au sommet du cône, si l’objet est la circonférence du cercle qui est la base du cône, et si le tableau est un plan qui rencontre de part et d’autre la surface conique, alors la conique qui sera engendrée par ce plan sur la surface conique, soit point, soit droite, soit angle, soit antobole, soit parabole, soit hyperbole, sera l’image de la circonférence du cercle. »