Propriétés métriques des coniques - à la mémoire de H enri D upont- R oc,

8.1. La parabole.

Considérons la parabole PPPP d’équation x² = 2py, de point courant M(x) = (x, p x 2² ).

Orientons-la dans le sens des x croissants, et prenons O comme origine des abscisses curvilignes.

a) Rectification.

Elément de longueur ds² = dx² + dy² = ( 1 +

px ).dx². Longueur de l’arc joignant O à M(x) : s(x) = dt

x t

². 1 ²

∫

0 ⁺ ⁼₂^p

^[

^Argsh _p^x ⁺^x_p ¹⁺_p^x^²_²

^]

x → s(x) est un C¹-difféomorphisme, et s est un paramètre admissible.

Exercice : Représenter graphiquement la fonction x → s(x). Développement limité (en série) en 0.

Développement asymptotique en +∞. b) Courbure, développée.

Repère de Frénet. Posons ∆ = 1 +

² p

x . Il vient : T =

dM _{= (cos}_α_{, sin}_α_{) = (} 1∆ _,

∆ p

x/ ) , N = (− sin α, cos α) = (

∆

−x/p

, 1∆ _).

d’où α = Arctan(x/p) . Rayon de courbure RRRR₌

α

ds ₌ dx d

dx ds

α

/ ^{= p.∆}^3/2^.

Le rayon de courbure en O est RRRR(O) = p ; c’est là qu’il est minimum.

Centre de courbure I X = x – RRRR_{.sin α = −}

x Y = y + RRRR.cos α = p + p x 2

² 3 _. Propriété géométrique : Si la normale en M coupe la directrice D en N,

MI _{= −2 .} Equation de la développée : Y =

3_p^1/3_X^2/3_{+ p .}

Elle est symétrique par rapport à Oy, a un rebroussement en X = 0 et deux branches paraboliques OX. On peut retrouver son équation en cherchant l’enveloppe des normales.

c) Recherche algébrique du cercle osculateur.

Coupons la parabole x² = 2py par le cercle x² + y²− 2ax – 2by + c = 0.

Il vient x⁴ + 4p.(p − b).x²− 8a.x.p² + 4c.p² = 0.

Il y a quatre points d’intersection réels ou complexes M_i(x_i).

Fonctions symétriques : S₁ = 0 , S₂ = 4p.(p − b) , S₃ = 8a.x.p² , S₄ = 4c.p² Il y a osculation ssi x₁ = x₂ = x₃ = x. Alors x₄ = − 3x.

En reportant, on trouve b = 2

3_p^1/3_a^2/3_{+ p.}

Proposition : Un cercle coupe une parabole en quatre points dont le centre de gravité est sur l’axe.

Preuve : simple conséquence de S₁ = 0.

Théorème de Joachimstahl : Si le cercle osculateur en M recoupe PPPP en M’, la corde MM’ est symétrique de la tangente MT par rapport à la parallèle menée de M à l’axe de PPPP_.

d) Développantes.

OP = OM + ( c − s ).T. Si l’on pose u = Argsh

x , il vient : X =

2 p shu +

chu pu c

. 2

2 − , Y = ( c − 2 pu)

chu shu Pour c = 0, on trouve :

X = 2 p_{.shu −}

chu pu .

2 , Y = − 2 pu .

chu shu_.

ci-contre, la parabole, sa développée et le réseau de ses développantes.

Exercice : Soient PPPP la parabole d’équation x² = 2py, F son foyer, M un point du plan.

1) Discuter selon la position de M le nombre de normales à PPPP issues de M. Reconnnaître la courbe séparatrice. Est-ce un hasard ?

2) Trouver les extrema de la fonction N ∈PPPP_→_||NM|| ∈ R⁺.

3) Une sécante mobile issue de F recoupe PPPP en M et N. Lieu des intersections des normales à PPPP_en M et N.

Exercice : Point de Frégier. Soient PPPP la parabole d’équation x² = 2py, A un point de PPPP_.

Deux droites perpendiculaires en A recoupent PPPP en M et N. Montrer que MN passe par un point fixe P. Montrer que P est sur la normale en A à PPPP. Lieu de P lorsque A varie sur PPPP_.

Exercice : Une parabole roule sans glisser sur un axe. Lieux du foyer et du sommet de cette parabole ?

Exercice : Trouver l’aire comprise entre une parabole et sa développée.

Exercice : Hommage à Ehrenfreid Walther von Tchirnhausen (1651-1708).

Caustiques par réflexion d’une parabole pour des rayons :

a) parallèles à l’axe b) perpendiculaires à l’axe

c) parallèles à une direction donnée. d) émanant d’un point de la parabole.

Exercice : Lieu des foyers des paraboles surosculatrices à un cercle donné en un point donné M.

Montrer que l’enveloppe des axes de ces paraboles est une hypocycloïde à trois rebroussements.

8.2. L’ellipse.

Considérons l’ellipse EEEE d’équation

² a x ₊

² b

y = 1 ( a ≥ b > 0 ).

Rappelons qu’on peut la paramétrer en x = a.cos t , y = b.sin t ou x = a.

² 1

u +u

− _{, y =}

² 1

2 u +bu ^.

Orientons-la dans le sens des t croissants, et prenons A(a, 0) comme origine des abscisses curvilignes.

a) Rectification.

Elément de longueur ds² = dx² + dy² = ( a²sin²t + b²cos²t ).dt².

Longueur de l’arc en prenant A(a, 0) comme origine et en orientant EEEE dans le sens des t croissants : s(t) =

∫

₀^t â^².^sin^²û⁺^b^².^cos^²û^.^du^{= a.}

∫

₀^t ¹⁻^e^².^cos^²^u^.^du^.

t → s(t) est un C¹-difféomorphisme, et s est un paramètre admissible.

Mais, si a > b, l’intégrale donnant s(t) ne se calcule pas élémentairement : elle s’exprime à l’aide des fonctions dites « elliptiques », qui ont été classifiées par Legendre. Des fonctions elliptiques voisines servent à calculer la période du pendule simple. Une fois bien étudiées, on peut les adjoindre à la liste des fonctions connues de la physique mathématique, mais l’histoire des

mathématiques a réservé une surprise de taille : cette classe de fonctions joue un rôle capital en arithmétique et théorie des nombres, confirmant par là-même l’unité des mathématiques.

Exercice : Développer s(t) en série entière de e.

Exercice : Le Petit Larousse donne comme valeur approchée du périmètre de l’ellipse : P ≈ π

Comparer la valeur obtenue avec celle que donne la formule de l’exercice précédent.

Exercice : Montrer qu’en cartésiennes, s(x) =

∫

_a^x ^a_a^²⁻_²₋^e_t^²_²^t^²^.^dt ( Wallis, 1655 ).

Sous cette forme, Newton obtint un dse en x (1669), Euler un dse en e (1733).

b) Courbure, développée.

Mais les algébristes préfèreront celle-ci :

(

a².X² + b².Y² − c⁴

)

³ + 27.a²b²c².X²Y² = 0.

Théorème : La développée de l’ellipse est une affine d’astroïde.¹¹

Preuve : Rappelons que l’astroïde est une hypocycloïde à 4 rebroussements, qui a pour équations réduites : X = cos³t , Y = sin³t.

A noter qu’une développée d’une ellipse n’est jamais une astroïde, sauf dans le cas où a = b, c = 0.

L’ellipse est alors un cercle, de développée réduite à son centre ! Exercice : recherche de la développée par « géométrie pure ».

1) La normale en M(t) recoupe Ox en N et Oy en N’. Calculer ON et ON'. 2) Lieu du milieu I de NN’.

11 « La développée de l’ellipse est une sextique de quatrième classe ayant six rebroussements, dont deux imaginaires à l’infini et dont la tangente de rebroussement est la droite de l’infini. Cette courbe n’a pas de points d’inflexion et a deux axes de symétrie qui sont les axes de l’ellipse et sont avec la droite de l’infini trois bitangentes de rebroussement. », dixit Brocard-Lemoyne. Et toc !

3) On transforme la figure par affinité d’axe Ox et de rapport b/a ; soit N’₁ l’image de N’. Calculer

||NN’₁||. En déduire l’enveloppe de la droite NN’₁, puis celle de la droite NN’.

c) Recherche algébrique du cercle osculateur.

Utilisons le paramétrage rationnel de l’ellipse M(u) : x = a.

² 1

u +u

− _{, y =}

² 1

2 u +bu ^. Les points M_i(u_i) sont cocycliques ssi ∃(α, β, γ) x² + y² − 2αx – 2βy + γ = 0.

Exercice : 1) Former l’équation du 4^ème degré, et les fonctions symétriques des racines.

2) Il y a osculation ssi u₁ = u₂ = u₃ = u. En déduire u₄ , puis les valeurs de α et β. Solution : 1) L’équation s’écrit :

( a² + 2aα + γ ) t⁴− 4βb t³ + ( −2a² + 4b² + 2γ ) t²− 4βb t + a²− 2αa + γ = 0 (*).

On voit aussitôt que s₁ = s₃.

Inversement si s₁ = s₃, s₂ et s₄ étant quelconques, on trouve α, β et γ vérifiant (*).

2) s₁ = s₃ s’écrit ici 3u + u₄ = u³ + 3u²u₄ , donc u₄ =

² 3 1

u u u

−− . En remontant les calculs, il vient X_I =

ac²

−

(

² 1

²+− u

)

³ , Y_I = b

−c²

(

² 2+ u u

)

³ . D’où derechef (aX)^2/3 + (bY)^2/3 = c^4/3.

Théorème de Joachimstahl : Si le cercle osculateur en M recoupe EEEE en M’, la corde MM’ est symétrique de la tangente MT par rapport à la parallèle menée de M à l’axe de EEEE_.

d) Développée de l’ellipse et théorie des catastrophes.

Posons pour commencer deux problèmes intéressants, que nous laisserons ouverts :

1) Etant donné un point M du plan, trouver les extrema de la fonction P ∈EEEE_→_||PM|| ∈ R⁺. 2) Régionner le plan selon le nombre de normales que l’on peut mener à l’ellipse EEEE_.

Dans leur ouvrage Catastrophe theory (Dover), Tim Poston et Ian Stewart étudient les oscillations d’un bateau de forme elliptique, en considérant la développée de l’ellipse (p. 199). Dans un article de 1985, intitulé Révolutions, catastrophes sociales ?, et repris dans sa Théorie des catastrophes, René Thom, partant des révolutions anglaise, française et russe, expose une théorie géométrique des formes de pouvoir et de leurs alternances fondée sur les propriétés de la développée de l’ellipse.

Why not ?

Exercice : Enveloppe de la corde commune à une ellipse et à son cercle osculateur.

Exercice : Une ellipse de foyers F et F’ et de centre O roule sans glisser sur l’axe Ox.

Déterminer le lieu des foyers F et F’ et du centre O. Utiliser un logiciel pour représenter ces lieux.¹² Exercice : Lieu des points M du plan d’où l’on peut mener deux tangentes à une ellipse donnée coupant les axes de cette ellipse en quatre points cocycliques.

12 Un instrument pour construire l’ellipse et ses roulettes est décrit dans Hilbert Cohn-Vossen, Geometry and the imagination, p. 283.

Problème : Les toroïdes.

Soit EEEE une ellipse paramétrée comme en b).

On appelle courbes parallèles à E les courbes OP(t) = OM(t) + λ.N(t).

1) Etudier et représenter ces courbes, dites toroïdes¹³, selon diverses valeurs de λ.

2) Montrer que ce sont des courbes algébriques du 8^ème degré. Equation ?

3) Montrer que les projections orthogonales d’un tore sur un plan sont des toroïdes.

> with(plots):

> E:=(a,b)->plot([a*cos(t),b*sin(t),t=0..2*Pi],color=black,thickness=3):

> Tor:=(a,b,r)->plot([a*cos(t)+r*b*cos(t)*signum(t) /sqrt(a^2*sin(t)^2+b^2*cos(t)^2),

b*sin(t)+r*a*sin(t)*signum(t)/sqrt(a^2*sin(t)^2+b^2*cos(t)^2), t=-2*Pi..2*Pi],numpoints=700,thickness=2,

color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12)):

> display({E(2,1),seq(Tor(2,1,k*0.2),k=1..10)});

Une ellipse et quelques-unes des ses toroïdes 8.3. L’hyperbole.

Considérons l’hyperbole HHHH d’équation

² a x ₋

² b

y = 1 ( a et b > 0 ). Ici c² = a² + b².

Rappelons qu’on peut la paramétrer en x = ± a.ch t , y = b.sh t . Orientons une branche dans le sens des t croissants, et prenons A(a, 0) comme origine des abscisses curvilignes.

a) Rectification.

Elément de longueur ds² = dx² + dy² = ( a²sh²t + b²ch²t ).dt². Longueur de l’arc s(t) =

∫

₀^t â^².^sh^²û⁺^b^².^ch^²û^.^du^{= a}

∫

₀^t ^e^².^ch^²^u⁻¹^.^du^.

t → s(t) est un C¹-difféomorphisme, et s est un paramètre admissible. Mais l’intégrale donnant s(t) ne se calcule pas élémentairement : c’est une « fonction elliptique ».

b) Courbure, développée.

13 Un roman de science-fiction pourrait avoir pour titre : « Les toroïdes sous l’abîme ».

Repère de Frénet : Posons ∆ = a²sh²t + b²ch²t . T =

dM _{= (cos}_α_{, sin}_α_{) =}

(

sht∆ a. _,

cht∆

)

, N = (−sin α, cos α) =

(

∆

−b.cht_, sht∆ a.

)

. d’où α = Arctan (−

b.coth t) + kπ et dt d

α

₌

−ab∆ _. Rayon de courbure RRRR₌

α

ds ₌ dt d

dt ds

α

/ ^{= −}^ab¹ ^.∆^3/2^. Le rayon de courbure en minimum en A en A’ : RRRR_{(A) =}

b², maximum en B et B’ : RRRR_{(B) =} b a² _. Centre de courbure I : X = x – RRRR_{.sin α =} cht

c². 3 Y = y + RRRR_{.cos α = −} sht b c². 3 _.

Théorème : La développée de l’hyperbole a pour équation

( )

^a^.X ²^/³⁻

( )

^b^.Y ²^/³^{= c}^4/3^.

> with(plots):

> hyper1:=(a,b)->plot([a*cosh(t),b*sinh(t),t=-3..3],x=-6..6,y=-4..4, thickness=2,color=blue):

> hyper2:=(a,b)->plot([-a*cosh(t),b*sinh(t),t=-3..3],x=-6..6,y=-4..4, thickness=2,color=blue):

> asymptotes:=(a,b)->plot([b*x/a,-b*x/a],x=-6..6,color=black):

> dev1:=(a,b)->plot([(a^2+b^2)/a*cosh(t)^3,-(a^2+b^2)/b*sinh(t)^3, t=-3..3],x=-6..6,y=-4..4,thickness=2,color=red):

> dev2:=(a,b)->plot([-(a^2+b^2)/a*cosh(t)^3,-(a^2+b^2)/b*sinh(t)^3, t=-3..3],x=-6..6,y=-4..4,thickness=2,color=red):

> display({hyper1(1.5,1),hyper2(1.5,1),asymptotes(1.5,1),dev1(1.5,1), dev2(1.5,1)});

Exercice : Lieu des centres des hyperboles équilatères tangentes à une droite donnée en un point donné et passant par un point donné.

Exercice : Paradoxe de Roberval et Torricelli. On considère l’arc d’hyperbole z = 1/x, z ≥ 1.

Montrer qu’en tournant autour de Oz, il engendre un solide de volume fini, mais d’aire infinie.

Problème On se place dans le plan affine euclidien EEEE_. 1. Théorème de Brianchon-Poncelet (1821).

Soient HHHH une hyperbole équilatère de centre O, ABC trois points de HHHH_. a) Montrer que l’orthocentre du triangle ABC appartient à HHHH_.

b) Montrer que le cercle d’Euler du triangle ABC (c’est-à-dire le cercle passant par les milieux des côtés) passe par O.

[Indication : montrer qu’on peut supposer que HHHH a pour équation xy = 1 dans un repère orthonormé.]

2. Application.

Soient HHHH une hyperbole équilatère de centre O, P et Q deux points de HHHH symétriques par raport à O.

Le cercle de centre P passant par Q recoupe HHHH en trois autres points A, B et C. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

Dans le document à la mémoire de H enri D upont- R oc, (Page 34-41)