1 Courbes d´ efinies par une ´ equation polaire

(1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2012-2013

D. Blotti`ere Maple

TP n˚6

Courbes d´ efinies par une ´ equation polaire Produit scalaire et polynˆ omes de Laguerre

Table des mati` eres

1 Courbes d´efinies par une ´equation polaire 2

1.1 Rappel sur le rep`ere mobile . . . 2

1.2 Courbe paramétrée définie par une équation polaire . . . 2

1.3 Support . . . 3

1.4 Trac´e du support avec Maple . . . 3

1.5 Vecteur vitesse, point r´egulier, tangente, normale . . . 4

1.6 Symétries éventuelles et réduction de l’intervalle d’étude . . . 4

1.7 Un exercice de synth`ese . . . 7

2 Produit scalaire et polynˆomes de Laguerre 8

(2)

1 Courbes d´ efinies par une ´ equation polaire

On munit le planP d’un rep`ere orthonorm´e direct (O;−→u ,−→v).

1.1 Rappel sur le rep` ere mobile

D´efinition 1 (Rep`ere mobile) Soit θ∈R.

1. On note−→uθle vecteur image de −→u par la rotation de centreO et d’angle θ.

2. On note−→vθ le vecteur image de −→v par la rotation de centre O et d’angleθ.

O −→u

−

→v

−→ uθ

−

→vθ

θ θ

On a donc : −→uθ = cos(θ)−→u + sin(θ)−→v

−

→vθ = −sin(θ)−→u + cos(θ)−→v .

1.2 Courbe param´ etr´ ee d´ efinie par une ´ equation polaire

Définition 2 (Courbe paramétrée définie par une équation polaire) Soit I un intervalle de Ret soit ρ: I→Rune fonction.

1. Soitθ∈I. On d´efinit le pointM(θ) du planP par :

−−−−→

OM(θ) =ρ(θ)−→uθ.

Les coordonnées cartésiennes de M(θ)dans le repère (O;−→u ,−→v) sont donc : (ρ(θ) cos(θ), ρ(θ) sin(θ)).

2. L’application

Γ :I → P θ 7→ M(θ)

est appelée courbe paramétrée d’équation polaire donnée parρ. Si on identifie le planP avecR²au moyen du repère (O;−→u ,−→v), cette courbe paramétrée s’écrit alors :

Γ :I → R² θ 7→

Ö

ρ(θ) cos(θ)

| {z }

x(θ)

, ρ(θ) sin(θ)

| {z }

y(θ)

è

.

Remarque 1 (Coordonn´ees polaires du point M(θ) dans le rep`ere (O;−→ u ,−→

v)) On conserve les notations de la définition précédente. Soitθ∈I tel queM(θ)6=O.

Les coordonnées polaires du pointM(θ)dans le repère(O;−→u ,−→v)ne sont pas nécessairement(ρ(θ);θ), carρ(θ) peut être négatif.

• Siρ(θ)>0, alors :

−−−−→

OM(θ) =ρ(θ)

|{z}

>0

−

→uθ

et donc les coordonn´ees polaires deM(θ)dans le rep`ere(O;−→u ,−→v)sont(ρ(θ);θ).

(3)

• Siρ(θ)<0, alors :

−−−−→

OM(θ) =ρ(θ)−→uθ=−ρ(θ) (−−→uθ) =−ρ(θ)

| {z }

>0

−

→uθ+π

et donc les coordonn´ees polaires deM(θ)dans le rep`ere(O;−→u ,−→v)sont(−ρ(θ);θ+π).

1.3 Support

D´efinition 3 (Support)

Soit Γ une courbe paramétrée d’équation polaire donnée par une fonction ρ: I → R (I intervalle de R). Le support de la courbeΓ est la partie du planP définie par :

Supp(Γ) ={ M(θ) : θ∈I}.

Si on identifie le planP avec R² au moyen du rep`ere(O;−→u ,−→v), alors Supp(Γ)est la partie deR² Supp(Γ) ={ (ρ(θ) cos(θ), ρ(θ) sin(θ)) : θ∈I}

i.e. la partie deR² qui admet pour repr´esentation param´etrique : ß x(θ) =ρ(θ) cos(θ) y(θ) =ρ(θ) sin(θ)

de param`etreθ d´ecrivant I.

Exercice 1

Conjecturer le support de la courbe paramétrée d’équation polaire donnée parρ, dans chacun des cas suivants.

On veillera `a bien prendre en compte le domaine de d´efinition de ρdans la conjecture.

1. ρ: [0, π]→R; θ7→1 2. ρ:

òπ 4,5π

4 ï

→R; θ7→ 1 sin(θ)−cos(θ)

1.4 Trac´ e du support avec Maple

Soit (a, b)∈R² tel que a < b et soitρ: [a, b]→ Rune fonction. Pour tracer le support Supp(Γ) de la courbe paramétrée Γ d’équation polaire donnée parρ, on peut utiliser l’une des deux instructions suivantes :

polarplot(ρ(θ), θ=a..b) ;

plot( [ρ(θ) cos(θ), ρ(θ) sin(θ), θ=a..b] ) ; apr`es avoir charg´e le packageplots.

Exercice 2

1. Vérifier les conjectures énoncées dans l’exercice 1 en tra¸cant le support de chacune des courbes.

2. Tracer le support de la courbe paramétrée d’équation polaire donnée par : ρ: [0,2π]→R; θ7→ −3 cos(2θ) + sin(7θ)−1.

(4)

1.5 Vecteur vitesse, point r´ egulier, tangente, normale

Dans cette partie, on considère une courbe paramétrée Γ d’équation polaire donnée par une fonctionρ:I→R définie et dérivable sur un intervalleI deR.

Th´eor`eme 1 (Vecteur vitesse)

Soit θ∈I. Le vecteur vitesse au point M(θ) d’angle polaireθ est donn´e par : ρ^′(θ)−u→θ+ρ(θ)−→vθ.

Théorème 2 (Point régulier)

Soit θ∈I. Le point M(θ)d’angle polaire θ est r´egulier si et seulement si : (ρ^′(θ), ρ(θ))6= (0,0).

Th´eor`eme 3 (Tangente et normale)

Soit θ∈I tel que le point M(θ)d’angle polaire θ soit r´egulier.

1. Un vecteur directeur de la tangente `a la courbeΓ au point M(θ)d’angle polaire θa pour coordonn´ees (ρ^′(θ), ρ(θ))

dans la base polaire (−u→θ,→−vθ).

2. Un vecteur directeur de la normale `a la courbeΓ au pointM(θ)d’angle polaireθ a pour coordonn´ees (−ρ(θ), ρ^′(θ))

dans la base polaire (−u→θ,→−vθ).

Exercice 3 Soit l’application

ρ: [−10,10]→R; θ7→θ⁵−3θ⁴−9θ³+ 23θ²+ 24θ−36.

On noteΓ la courbe paramétrée d’équation polaire donnée par ρ.

1. D´eterminer les points stationnaires ´eventuels de la courbeΓ.

2. Donner une équation cartésienne, dans le repère(O;−→u ,−→v)de la tangente à la courbeΓau point d’angle polaire 0.

3. Tracer le support de la courbeΓ.

1.6 Sym´ etries ´ eventuelles et r´ eduction de l’intervalle d’´ etude

Soit une courbe paramétrée Γ d’équation polaire donnée par une fonction ρ: I → R (I intervalle de R). On s’intéresse aux symétries éventuelles que peut avoir le support Supp(Γ) de la courbe paramétrée Γ d’équation polaire donnée parρ, ceci afin de réduire l’intervalle d’étude.

1. Cas oùρ est périodique de période T >0

• Interprétation géométrique de l’hypothèse Soitθ∈I. Par hypothèse, on a donc :

θ+T ∈I et ρ(θ+T) =ρ(θ).

Par suite : −−−−−−−−→

OM(θ+T) =ρ(θ+T)−−−→uθ+T =ρ(θ)−−−→uθ+T.

Le pointM(θ+T) est donc l’image du pointM(θ) par la rotation de centreO et d’angleT.

(5)

• R´eduction de l’intervalle

On effectue l’´etude sur un intervalle de longueurT, centr´e en 0.

• Construction du support complet de la courbe

On trace le support de la restriction de la courbe à l’intervalle de longueur T choisi pour l’étude et on le complète en ajoutant ses images par les rotations de centreO et d’anglekT, oùk∈Z.

Remarque 2

Siρest périodique de période2kπ, oùk∈Z, on peut certes réduire l’intervalle d’étude, mais il n’y a alors pas lieu de compléter la courbe de la restriction à l’intervalle d’étude...

2. Cas o`uθ+π∈I etρ(θ+π) =−ρ(θ), pour toutθ∈I

• Interprétation géométrique de l’hypothèse Soitθ∈I. On a :

−−−−−−−−→

OM(θ+π) =ρ(θ+π)−−−→uθ+π =−ρ(θ) (−−→uθ) =ρ(θ)−→uθ=−−−−→

OM(θ).

Les pointsM(θ+π) etM(θ) sont donc confondus.

On effectue l’´etude sur un intervalle de longueurπ, centr´e en 0.

On trace le support de la restriction de la courbe à l’intervalle de longueurπchoisi pour l’étude et on obtient ainsi le support complet de la courbe sans qu’il n’y ait besoin de compléter.

3. Cas o`uρ est paire

−θ∈I et ρ(−θ) =ρ(θ)

Par suite : −−−−−−→

OM(−θ) =ρ(−θ)−−→u−θ=ρ(θ)−−→u−θ.

Le pointM(−θ) est donc le sym´etrique du pointM(θ) par rapport `a l’axe (Ox).

On effectue l’´etude sur l’intervalleI∩R⁺.

On trace le support de la restriction de la courbe à l’intervalle I∩R⁺ et on obtient le support complet de la courbe en ajoutant son symétrique par rapport à l’axe (Ox).

4. Cas o`uρ est impaire

−θ∈I et ρ(−θ) =−ρ(θ)

(6)

Par suite : −−−−−−→

OM(−θ) =ρ(−θ)−−→u−θ=−ρ(θ)−−→u−θ=ρ(θ)−−−→uπ−θ. Le pointM(−θ) est donc le sym´etrique du pointM(θ) par rapport `a l’axe (Oy).

On effectue l’´etude sur l’intervalleI∩R⁺.

On trace le support de la restriction de la courbe à l’intervalle I∩R⁺ et on obtient le support complet de la courbe en ajoutant son symétrique par rapport à l’axe (Oy).

Exercice 4 Soit l’application

ρ:R→R; θ7→sin(2θ).

Soit Γ la courbe paramétrée d’équation polaire donnée parρ.

1. Utiliser les propriétés de la fonctionρpour réduire l’intervalle d’étude à un intervalle fermé bornéI ^≪le plus petit possible^≫.

2. Tracer le support de la restriction `aI de la courbeΓ, `a l’aide de Maple et reproduire la figure obtenue sur le graphique ci-dessous.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1.0

(7)

3. Compl´eter la figure de la question 2 afin d’avoir la repr´esentation graphique du support complet de la courbe Γ.

4. Vérifier le résultat obtenu à la question 3 à l’aide de Maple.

1.7 Un exercice de synth` ese

Exercice 5

Soit Γ la courbe paramétrée d’équation polaire donnée par :

ρ: R→R; θ→ 1 + 2 cos(θ) 1 + 2 sin²(θ). 1. Déterminer un intervalle d’étudeI ^≪aussi petit que possible^≫. 2. Déterminer l’ensemble des points réguliers deΓ.

3. Donner une équation cartésienne, dans le repère(O;−→u ,−→v)de la tangente à la courbeΓau point d’angle polaire π

2.

4. Tracer le support de la restriction `aI de la courbeΓ, `a l’aide de Maple et reproduire la figure obtenue sur le graphique ci-dessous.

1 2

−1

−2

1 2 3

−1

(8)

5. Compl´eter la figure de la question 4 afin d’avoir la repr´esentation graphique du support complet de la courbe Γ.

6. Vérifier le résultat obtenu à la question 5 à l’aide de Maple.

2 Produit scalaire et polynˆ omes de Laguerre

Exercice 6 (Oral de l’ENSAM 1999)

On poseE=R6[X].

1. Montrer que :

<·, ·>:E²→R; (P, Q)7→< P, Q >=

Z +∞ 0

P(t)Q(t)e^−tdt

est un produit scalaire sur E.

2. Construire une proc´edure nomm´eeprod_scal_Laguerred’arguments

• deux polynˆomesP etQde E qui retourne :

• la valeur du produit scalaire< P, Q >.

3. Construire une proc´edure nomm´eenorme_Laguerred’argument

• un polynˆomeP de E qui retourne :

• la valeur de la norme||P||de P pour la norme associ´ee au produit scalaire<·, ·>.

On appellera la proc´edureprod_scal_Laguerreau sein de la proc´edurenorme_Laguerre.

4. Appliquer l’algorithme de Gram-Schmidt `a la base(1, X, X², X³, X⁴, X⁵)du sous-espace vectoriel R5[X] de E pour en obtenir une base orthonormale.

5. SoitP =X⁶+X+ 1. Déterminer l’élément QdeR5[X]tel que la norme ||P−Q|| soit minimale.