Colles de mathématiques en CUPGE-MP
Gaetan Bisson
https://gaati.org/bisson/
Introduction
Ce recueil rassemble des exercices de mathématiques particulièrement pertinents dans le contexte des interrogations orales en classes préparatoires, communément appeléescolles. Les filières concernées sont celles à dominante maths-physique, actuellement identifiées par diverses combinaisons des sigles CPGE/CUPGE MPSI/MP.
La correction est volontairement omise car elle ne revêt aucun intérêt : c’est seulement en cherchant activement qu’un étudiant parviendra à s’améliorer, pas autrement. Les énoncés de cet ouvrage ont précisément été sélectionnés sur la base des multiples pistes de recherche qu’ils offrent. En particulier, aucun exercice à astuce n’est inclus à l’exception des absolument incontournables.
Note historique. En 2006 j’avais déjà rédigé un recueil d’exercices de colles. Beaucoup ayant changé depuis (le programme, les étudiants et moi) j’ai préféré repartir de zéro pour celui-ci.
L’intersection des deux recueils est néanmoins significative. Voir :
Gaetan Bisson.Colles de mathématiques en classes de MPSI & MP*.
Lycées Louis-le-Grand et Chaptal; Paris, 2006.
https://gaati.org/bisson/tea/colles-old.pdf
Table des matières
Introduction 1
Premier semestre 3
Raisonnement et vocabulaire ensembliste . . . 3
Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie . . . 3
Nombres complexes . . . 3
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral . . . 4
Nombres réels et suites numériques . . . 4
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité . . . 5
Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs . . . 5
Structures algébriques usuelles . . . 6
Calcul matriciel et systèmes linéaires . . . 6
Polynômes et fractions rationnelles . . . 7
Second semestre 8 Analyse asymptotique . . . 8
Espaces vectoriels et applications linéaires . . . 8
Matrices . . . 9
Groupe symétrique et déterminants . . . 9
Intégration . . . 10
Dénombrement . . . 10
Probabilités . . . 10
Espaces préhilbertiens réels . . . 12
Procédés sommatoires discrets . . . 12
Fonctions de deux variables . . . 12
Troisième semestre 13 Suites et séries de fonctions . . . 13
Réduction des endomorphismes . . . 14
Géométrie . . . 15
Quatrième semestre 17 Intégration . . . 17
Analyse hilbertienne . . . 17
Calcul différentiel . . . 18
Premier semestre
Raisonnement et vocabulaire ensembliste
1. SoientA,BetC trois ensembles de cardinalk. Supposant|A∩B|=|B∩C|=k−1, que dire de|A∩C|?
2. Soit f :��→��une fonction vérifiant f(n+1)> f(f(n))pour toutn. Montrer par récurrence surnl’implicationf(m)�n⇒m�n. En déduiref =id.
3. Pour toute fonctionf :E→Eon notec(f) =#{x∈E:f(x) =x}son nombre de points fixes. Caractériser les ensembles finisEvérifiant#E=#�
f ∈EE :c(f) =1� .
4. SoientBetCdeux ensembles. Montrer que l’assertion|B|�|C|est équivalente à la proposition
∃f ∈CB,∀A,∀h∈CA,∃g∈BA,h=f ◦g.
5(théorème de Cantor–Bernstein). Soient f :X →Y etg :Y →X deux applications injectives. Construire une application bijective deXversY. On pourra poserX0=X �g(Y)puis Yk=f(Xk)etXk+1=g(Yk); montrer alors quef réalise une bijection de�
Xkvers� Yk. 6. Sur��on défini f�g lorsque les quantités f(x)/g(x)etg(x)/f(x)sont toutes deux bornées lorsquex→ ∞. Montrer que c’est une relation d’équivalence. Montrer qu’elle admet une infinité de classes infinies.
Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie
7. Dériver l’expressionexp(sin(log(x))).
8. Dériver l’expressionlog(cos(exp(x))).
9. Simplifier l’expression�n
k=1(−1)kk. 10. Simplifier l’expression�n
k=1sin(kθ).
11. Simplifier l’expression�n
k=1�n
ℓ=1min(k,ℓ).
Nombres complexes
12. Résoudre enz∈�l’équationez=z. 13. Résoudre enz∈�l’équationeez =1.
14. Déterminer tous les couples(a,b)∈�2pour lesquelsan−bntend vers zéro.
15(réseau de Fibonacci). Soitφ >1un réel etn> 1un entier. On considère dans�la partie finie
Fn=
�k φ−
�k φ
� +k
ni:k∈{0, . . . ,n−1}
� .
Déterminer la plus petite distance entre deux points deFn? Discuter du choixφ=1+2�5.
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
16. Encadrer la quantité�π
0 sin(sin(x))d x.
17. Résoudre l’équation différentielley��+y=cos(x)3par variation de la constante.
18. Soientketℓdeux entiers. Que vaut la quantité�1
0 xk(1−x)ℓd x? Qu’obtient-on en effectuant le changement de variablet =sin(x)2?
19 (irrationalité de π). Supposons π = ab avec a,b entiers. On considère la quantité
n!1
�π
0 xn(b x−a)nsin(x)d x. Montrer que c’est un entier qui tend vers zéro lorsquentend vers l’infini. Conclure.
20. Déterminer toutes les fonctionsy∈ �1(�,�)vérifiantx y�=x+yety(0) =y(1).
21. Soityune fonction vérifianty�=y/x+�x; que dire de son comportement en zéro?
22. Existe-t-il des fonctions réelles vérifianty(4)+y��=t ety(0) =y�(0) =y��(0) =0? 23. Caractériser explicitement les fonctionsf ∈ �1(��+,�)vérifiantf �
x y
�=f(x)−f(y).
24. Caractériser explicitement les fonctionsf ∈ �1(�,�)vérifiantf ◦f =f.
Nombres réels et suites numériques
25(théorème de Beatty). On appelle densité d’une partieX de��la limite, lorsqu’elle existe, de la quantité 1n|X∩{1, . . . ,n}|. Donner une partie n’admettant pas de densité. Montrer que la densité d’une union disjointe est la somme des densités. Pourx∈��+donné, calculer la densité de Xx={E(nx):n∈��}. En déduire que��est l’union disjointe deXxetXysi et seulement six etysont irrationnels et vérifient1x+1y =1.
26(moyenne de Cesàro). On dit qu’une suite(xn)n∈�converge au sens de Cesàro lorsque la suite de terme général1n(x1+x2+···+xn)converge. Montrer qu’une suite convergente converge au sens de Cesàro. Que dire de la réciproque?
27(fraction continue). Montrer que la suite définie parx0=1etxk+1=1+x1
k converge et déterminer sa limite; on la note
1+ 1
1+1+11
...
.
Établir que tout réel irrationnel s’écrit de manière unique sous la forme a0+ 1
a1+a 1
2+ 1 ...
aveca0∈�etak∈��pourk>0. Quid des rationnels?
28. Caractériser les suitesuetvvérifianteun∼evnpourn→ ∞.
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabi- lité, convexité
29. Pour toutω >1on noteZωl’ensemble des fonctions f :� →�vérifiant∀(x,y)∈
�2, f(x)−x−yf(y)∈]ω1,ω[. Montrer queZωn’est pas un groupe pour la composition. Montrer que c’est néanmoins le cas de�
ω∈�Zω.
30. Pour quels entiersnexiste-t-il une fonction réelle continue prenant exactementnfois chaque valeur?
31. Soitf ∈ �0([0, 1],�)vérifiant f(0) = f(1). Montrer que pour toutn∈��l’équation f(x+1n) =f(x)admet une solution. Que dire pourf(x) =x−sin(nπx)sin(nπ) lorsquen∈� � �?
32. Soit f une fonction vérifiant f(0)>0et f(1)<0. On suppose qu’il existe une fonction continueg telle quef +gest croissante. Montrer quef admet un zéro sur]0, 1[.
33. Montrer que la fonctionx�→e−1/x2est prolongeable par continuité en zéro; on note f son prolongement. Calculer f�puisf��. Calculerf(n)(0)pour toutn∈�.
34(inégalités de Kronecker). Pourf ∈ �n([0, 1],�)fixée on poseMk=sup|f(k)|. Établir pour tous entiers0�k�nl’inégalité
Mk�212k(n−k)M01−k/nMnk/n.
35(fonctions convexes). On notem(f)l’ensemble sur lequel une fonction f réelle atteint son minimum. Montrer que si f est convexe il s’agit d’un intervalle. On considère dorénavant
f :x�→�n
k=1|x−αk|βavecα∈�netβ∈�fixés. Montrer que pourβ�1il s’agit d’une fonction convexe. Expliciter alorsm(f).
36(inégalité de Jensen). Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle[a,b]etφune fonction réelle convexe surim(f). Établir l’inégalitéφ� 1
b−a
�b a f�
�b−a1 �b a φ◦f. 37. Soitf ∈ �1(�,�+). Démontrer que�
f est dérivable si et seulement si∀x∈�,f(x) = 0⇒f�(x) =0.
Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs
38(formule de Legendre). Soitpun nombre premier etnun entier naturel. Montrer l’identité
vp(n!) = �
k∈��
� n pk
� .
En déduire par combien de zéros l’écriture décimale de(10n)!se termine.
39. Montrer que pour toutkdonné il existen∈�tel que l’ensemble{n+1,n+2, . . . ,n+k} ne contienne aucun nombre premier.
40. On noteσla fonction associant à chaque entier la somme de ses diviseurs positifs; on a par exempleσ(4) =1+2+4=7. Montrer que sinetmsont premiers entre eux alorsσ(mn) = σ(m)σ(n). En déduire que les entiers pairsnvérifiantσ(n) =2nsont exactement ceux de la forme2k−1(2k−1)où2k−1est premier.
41. Montrer pour toutn∈�la formulen=�
d|nϕ(d). Si pest premier, en déduire que (�/p�)×contient au plusϕ(d)éléments d’ordred. Conclure que(�/p�)×est cyclique.
42. Soitp>2un nombre premier. Montrer pour toutk∈��l’existence d’un entierupremier àptel que(1+p)pk =1+u pk+1. En déduire que1+pest d’ordrepk−1dans(�/pk�)×. Avec l’exercice précédent, conclure que(�/pk�)×est cyclique.
Structures algébriques usuelles
43(transformations linéaires du plan). On considère le groupe des bijections de�dans lui-même.
Montrer que chaque ensemble ci-dessous en est un sous-groupe commutatif :
— �={z�→ρz:ρ∈��}
— �={z�→eiθz:θ∈�}
— � ={id,z�→z}
Déterminer leurs sous-groupes finis. Montrer que� ∪ �et� ∪ �engendrent chacun un sous- groupe commutatif, mais que ce n’est pas le cas de� ∪ �.
44. Montrer que l’ensemble des fonctionsf :�→�vérifiant|f(x)−f(y)|=|x−y|quels que soit(x,y)∈�2est un groupe pour la composition dont on caractérisera tous les sous groupes.
45(groupe quotient). SoitGun groupe etHun sous-groupe notés multiplicativement. Montrer qu’on définit une relation d’équivalence en posantx�y⇔ x y−1∈H. Montrer que chaque classe a exactement|H|éléments. Supposant que, pour toutx, on ax H x−1=H, montrer qu’on définit une loi de groupe surG/�en posantx⊗y=x y.
46(groupe de Prüfer). Soitpun nombre premier. Montrer que{z∈�:∃n∈�,zpn=1}est un sous-groupe de�×. Montrer que tous ses sous-groupes stricts sont monogènes. En déduire qu’il n’est pas isomorphe au produit de deux groupes non triviaux.
47(théorème chinois). SoitGun groupe d’ordrep qavecpgcd(p,q) =1. Montrer queGest isomorphe au produit deker(x�→xp)etker(x�→xq).
48. Que vaut la somme�
x∈�/p�xk?
49(inversion de Möbius). On muni l’ensemble des fonctions de��dans�de l’addition point par point et du produit défini parf �g :n∈���→�
d|n f(d)g(dn). Montrer que cela en fait un anneau commutatif. En caractériser les éléments inversibles.
Considérons maintenant la fonctionµ(n)qui vaut(−1)rlorsquenest le produit dernombres premiers distincts et s’annule lorsquenadmet un facteur carré. Calculerµ�(n�→1). En déduire l’équivalence
f(n) =�
d|n
g(d) ⇐⇒ g(n) =�
d|n
µ�n
d
� f(d).
50. Notons Al’anneau des suites à valeurs entières stationnaires à partir d’un certain rang.
Déterminer tous les morphismes deAdans�.
Calcul matriciel et systèmes linéaires
51. Montrer qu’une famille(a,b,c,d)∈�4vérifiead−b c�=0si et seulement si, pour tout couple(u,v)∈�2, le système �
a x+b y=u c x+d y=v admet un unique couple(x,y)solution.
52. Pour quels nombresλ∈�le système ci-dessous admet-il une unique solution?
(1+λ)x+y+z=1 x+ (1+λ)y+z=1 x+x+ (1+λ)z=1
53. Déterminer toutes les matricesA∈ �2(�)telles queA2=id. De même pourA4=id.
54. L’ensemble des matrices nilpotentes est-il stable par la somme? Et par le produit?
55. Caractériser toutes les matrices nilpotentes de�nsup(�).
56. Calculer l’inverse des matrices ci-dessous.
−1 1 2
1 2 −1
2 −1 1
−1 0 1 2
0 1 2 −1
1 2 −1 0
2 −1 0 1
Polynômes et fractions rationnelles
57(critère d’Eisenstein). Soitp∈ � un nombre premier etP(X) =�n
k=0akXk∈�[X]un polynôme vérifiant∀k∈{0, . . . ,n−1},p|akainsi quep�anetp2�a0. Montrer qu’il n’existe aucun couple(Q(X),R(X))∈�[X]de polynômes non constants vérifiantP(X) =Q(X)R(X).
58(identités de Newton). Considérons un polynôme complexe unitaire scindé à racines simples;
on note(xi)ni=1ses racines et(ck)nk=0ses coefficients. Montrer quecks’exprime comme un polynôme de degrék+1en lesxi.
59. Montrer qu’un polynômePest premier avec sa dérivéeP�si et seulement s’il n’admet pas de facteur carré.
60. Montrer pour tout couple(P,Q)de polynômes de degréd vérifiantQ(0)�=0l’existence d’une unique suite(αk)pour laquelleP(X) =Q(X)�n
k=0αkXk+o(Xn). Montrer que toute suite récurrente linéaire homogène d’ordred s’obtient ainsi.
61. On considère la fonctione:�(X)→��associant à toute fraction rationnelleQ ∈�(X)sa fonction rationnellex∈��→Q(x)∈�. Montrer qu’elle est injective mais pas surjective.
62. Déterminer les couples de fractions rationnelles(Q,R)∈�(X)2tels queQ(R(X)) =X. 63. Soitketndeux entiers. Décomposer en éléments simples sur�la fraction rationnelle x2nxk+1.
Second semestre
Analyse asymptotique
64(théorème d’Alembert–Gauss). Montrer que tout polynômeP∈�[X]non constant admet une racine. On pourra montrer quez ∈��→|P(z)|∈�+admet un minimum absolu puis, notantαune préimage de ce minimum, développerP(α+z).
65. Calculer en zéro et à l’ordre cinq le développement limité deexp(sin(x) +cos(x)).
66. Calculer en zéro et à l’ordre cinq le développement limité deln(cos(x) +exp(x)).
67. Calculer en zéro et à l’ordre cinq le développement limité desin(exp(cos(x))).
68. Calculer en zéro et à l’ordre cinq le développement limité decos(x)+exp(x)sin(x) .
69. Soit(fk)k∈�une suite de fonctions réelles. Montrer qu’il existe une fonction g telle qu’en l’infini on aitfk=o(g)pour toutk∈�.
70. Soitu∈��une suite vérifiantun+1=f(un)pour une fonctionf admettant enx=0un développement de la forme f(x) =x−a xb+o(xb)aveca>0etb>1. On suppose aussiu0 positif et suffisamment petit. Déterminer un réelαpour lequel la différenceun+1α −unαadmet une limite non nulle. En déduire un équivalent deun. Que trouve-t-on pourf =sin?
71(polynômes de Bernoulli). Montrer l’existence et l’unicité de la famille de polynômes(Bk)k∈�
satisfaisant l’identité et et−1t x =�n
k=0Bk(x)tk!k +o(tn)ent →0quel que soitn∈�. Montrer l’égalitéBn(x) =�n
k=0Cnkbn−kxkoùbk=Bk(0). CalculerBk(x+1)−Bk(x)puis en déduire une relation de récurrence sur lesbk.
72. Soitf une fonction continue pour laquelle la quantitéf(x+1)−f(x)converge enx→ ∞.
Montrer quef(x)/xadmet cette même limite.
Espaces vectoriels et applications linéaires
73. Montrer qu’aucun espace vectoriel sur un corps infini n’est union finie de sous-espaces propres.
74. Montrer que l’ensemble des fonctions f continues vérifiant�1
0 f =0est un sous-espace vectoriel de�0([0, 1],�). En donner un supplémentaire.
75. Montrer que toute famille de polynômes(Pk)k∈�vérifiantdeg(Pk) =kest une base de�[X].
76(formules de Grassmann). Combien y a-t-il de familles libres àkéléments dans un espace vectoriel de dimensionnsur un corps àqéléments? Et de sous-espaces vectoriels de dimensionk?
77. SoientEetF deux sous-espaces d’un espace vectoriel donné. Démontrer l’identitédim(E+ F) =dim(E) +dim(F)−dim(E∩F).
78. SoientEetFdeux sous-espaces d’un espace vectoriel donné. Montrer que s’ils admettent un supplémentaire commun alors ils sont de même dimension.
79. Montrer que des sous-espaces vectorielsE1, . . . ,Eksont en somme directe si et seulement si dim(E1) +···+dim(Ek) =dim(E1+···+Ek).
80(suite des images). Soitϕune application linéaire. Montrer que la suiterg(ϕn)est décroissante et convexe.
81(polynômes de Hilbert). On considère l’endomorphismeΔde�[X]défini parP(X)�→
P(X +1)−P(X). Déterminer son noyau et son image. On pose maintenantHk(X) = k!1X(X− 1)···(X−k+1); montrer l’identitéP(X) =�
k∈�(Δ◦(k)P)(0)Hk(X). En déduire un méthode pour calculer�n
k=0P(k).
82(polynômes de Bernoulli et relation de distribution). Montrer que, pour toutn∈�, il existe un unique polynômeBn∈�[x]vérifiant�y+1
y Bn(x)d x=yn. Établir alors, pour tout entierm, l’identitéBn(t) =mn−1�m−1
k=0 Bn�t+k
m
�.
83. Soientφ:E →F etψ:F →Edeux applications linéaires vérifiantφ◦ψ◦φ=φet ψ◦φ◦ψ=ψ. En supposant les dimensions finies, montrer queE=kerφ⊕imψ.
84. Soitpetqdeux projecteurs. Montrer quep+qest un projecteur si et seulement sip◦q= q◦p=0. Exprimer alors son image et son noyau en fonction de ceux depetq.
85. Soientϕ1, . . . ,ϕkdes endomorphismes d’un espace vectorielEde dimensionn. On suppose
�k
i=1ϕi=idet�k
i=1rg(ϕi)�n. Montrer que ces endomorphismes sont des projecteurs.
86. SoitEun sous espace vectoriel de�nstable par tous les éléments d’un sous groupe finiGde GLn(�). Siπest une projection surE, montrer que #G1 �
g∈G g◦π◦g−1est un projecteur sur Edont le noyau est stable par tout g∈G.
Matrices
87. Montrer l’inversibilité de toute matriceMvérifiant|mi i|>�
j�=i|mi j|pour touti. 88. Soitf :�n(�)→�une application non constante vérifiant f(AB) = f(A)f(B)quels que soientAetB. Montrer qu’une matriceM est inversible si et seulement sif(M)�=0.
89. Montrer que toute forme linéaire sur�n(�)est de la formeM�→tr(AM)avecA∈ �n(�).
Caractériser celles vérifiant f(M N) =f(N M).
90(idéaux d’endomorphismes). SoitEun espace vectoriel de dimension finie. On rappelle que (End(E),+,◦)est un anneau. Caractériser tous les sous-groupes(I,+)de(End(E),+)vérifiant
∀ϕ∈End(E),∀ι∈I,ϕ◦ι∈I.
Groupe symétrique et déterminants
91. Calculer la somme�
σ∈Snσ(1). De même pour�
σ∈Snσ(σ(1)).
92. On notednkle nombre de permutations deSnadmettant exactementkpoints fixes. Montrer la relationdnk=Cnkdn−k0 . En déduire l’identiték dnk=ndn−1k−1. Calculer alors le nombre moyen de points fixes des permutations deSn.
93(résultant). SoientPetQ deux polynômes de�[X]. On posep=deg(P)etq=deg(Q).
Écrire la matrice du morphisme(U,V)∈�q−1[X]×�p−1[X]�→U P+V Q dans la base canonique. À quelle condition est-il inversible? En déduire tous les polynômes de la formeX3+ aX+badmettant une racine multiple.
Intégration
94. Montrer que toute fonction réelle continue d’intégrale unité sur[0,�
2]admet un point fixe.
95. Soit f une fonction réelle, continue et de périodeβ. Montrer que la quantité�α+β
α f(t)d t ne dépend pas deα.
96(lemme de Lebesgue). Soit f ∈ �0([a,b],�)etg :�→�une fonctionT-périodique.
Montrer que la quantité�b
a f(t)g(nt)d ttend, lorsquen→ ∞, vers�1
T
�T
0 g��b a f. 97. Étant donnéef ∈ �0([a,b],��+)on posems(f) =� 1
b−a
�b
a f(x)sd x�1/s
pour touts∈��. Déterminer la limite de cette quantité lorsques→0,+∞puis−∞.
98(intégrale de Gauss). On rappelle l’encadrement(1−xn)n�e−x�(1+xn)−nvalable pour toutx∈[0,n]etn∈�. Effectuer le changement de variablex=u2puis intégrer sur[0,�n].
Donner alors un équivalent de�∞
0 (1+u2)−nd upourn→ ∞. On pourra utiliser la formule de Stirlingn!∼�n
e
�n�
2πn. En déduire l’égalité�∞
0 e−u2d u=�2π. 99. Pour quelles fonctions f ∈ �0([0, 1],�)a-t-on����1
0 f(t)d t���=�1
0|f(t)|d t? 100. Soit f ∈ �1(I,�)avecI = [0, 1]. Montrer que g : x ∈I �→�x
0 f�(t)
f(t)d t est dans
�1(I,�). Calculer f(x)exp(−g(x)). En déduire qu’il existeθ∈ �1(I,�)telle quef =eiθ. 101. Pourf ∈ �0(�,�), calculer la dérivée dex�→�x2
x x f(x t)d t.
Dénombrement
102. Combien de familles de{−1, 0, 1}nsont-elles de somme nulle?
103. Combien y a-t-il de fonctions croissantes de{1, . . . ,n}dans{1, . . . ,m}?
104. Établir que le nombrernde relations d’équivalences sur un ensemble ànéléments vérifie la relation de récurrencern=�n−1
k=0Cnkrk.
105. Que dire du nombre de fonctions de la formef ◦f avecf :{1, . . . ,n}→{1, . . . ,n}?
Probabilités
106. SoitPla probabilité uniforme sur un univers finiΩ. Pour quels entiersn∈�toute famille (E1, . . . ,En)d’évènements deux-à-deux distincts vérifie-t-elleP(E1∪···∪En) =1?
107. Montrer qu’on définit une relation d’équivalence sur les probabilités d’un univers finiΩen posantP∼P�⇐⇒(∀E⊂Ω,P(E) =0⇔P�(E) =0). Déterminer le cardinal du quotient.
108. SoitPune probabilité sur un univers finiΩ. Montrer que pour toute fonction f :Ω→Ωon définit une probabilité parf�P:E⊂Ω�→P�
f−1(E)�
. Caractériser les couples(P,P�)vérifiant
∃f,P�=f�P.
109. On considère la loi de probabilité uniforme sur un espaceΩdont le cardinal est un nombre premier. Montrer que deux évènements non triviaux ne peuvent être indépendants.
110. Supposant les anniversaires des étudiants indépendants et uniformément distribués sur les 365 jours de l’année, quel est l’effectif minimum pour qu’une classe compte, avec probabilité�1/2 deux étudiants ayant le même anniversaire.
111. Un virus infecte5%de la population; son taux de mortalité est de1%et il est dépisté par un test fiable à95%. Quelle est la probabilité qu’une personne testée positive décède?
112. Soit(Ek)une suite croissante d’évènements. Montrer queP(Ek+1�Ek)converge.
113(estimateur de Laplace). On fixe un réelp∈[0, 1]uniformément distribué et on considère une pièce pipée avec probabilité p d’obtenir pile. Effectuantnlancers, on comptabilisekpiles.
Montrer que l’espérance depest alorsk+1n+2.
114. Soit(Xk)k∈��une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi uniforme sur{−1,+1}; on poseYn=X1+···+Xn. Montrer que presque sûrement la suite (Yn)n∈�prend une infinité de valeurs nulles.
115. Soit une matrice uniformément distribuée dans�n(�2)où�2dénote le corps à deux éléments. Montrer que sa probabilité d’être inversible est�n
k=1
�1−21k
�. Établir que cette quantité admet une limite lorsquen→ ∞. Toujours lorsquen→ ∞, démontrer que la probabilité qu’une matrice de�n(�)à coefficients dans{0, 1}soit inversible tend vers un.
116. On modélise le temps de réponse aux emails pas une loi de Pareto : pour toutt ∈[1,+∞[, la probabilité qu’un email reçoive une réponse aprèst heures est(k−1)t−kpour une certaine constantek>1. Montrer que l’espérance du temps de réponse sachant qu’il est supérieur àsest de
k−1k s. Si l’on a déjà attendu une réponsesheures, combien d’heures supplémentaires doit on encore attendre en moyenne?
117. On modélise l’arrivée de clients dans une boulangerie par un processus de Poisson : sur tout intervalle deℓminutes, la probabilité qu’exactementkclients débarquent est (λℓ)k!ke−λℓoù la constanteλdénote le nombre moyen de client débarquant par minute. Si l’unique serveuse traite µclients par minute, montrer que le temps d’attente moyen est µ(µλ−λ). Qu’en advient-il si la boulangerie embauche une seconde serveuse?
118(jeu de Penney). On modélise une suite de tirages pile ou face indépendants comme un mot binaire infini et on va déterminer la probabilité que le facteur001y apparaisse avant le facteur 011. SoitA(x),B(x)etC(x)les séries formelles dont lekecoefficient dénote le nombre de mots binaires de longueurkrespectivement dans lesquels001apparaît en premier, dans lesquels011 apparaît en premier et dans lesquels aucun de ces deux facteurs n’apparaît. Montrer les relations 1+2xC =A+B+C etx3C=Aetx3C=x A+Bpuis en déduireA(1/2)et conclure.
Espaces préhilbertiens réels
119. Montrer que l’espace�ncontientkvecteursvipour lesquelsi �=j=⇒� vi,vj�
<0si et seulement sik�n+1.
120(matrices de Gram et inégalité d’Hadamard). SoitEun espace préhilbertien réel. Pour toute famille de vecteursv∈Enon noteG(v)la matrice(〈vk,vℓ〉)(k,ℓ)∈{1,...,n}2. Montrer que le rang de la matriceG(v)est celui de la famillevet que son déterminant est positif. Montrer l’identité detG(x::v) =�x−π⊥〈v〉x�2detG(v)où l’on a poséx::v= (x,v1, . . . ,vn). En déduire que detG(v)��
�vk�et caractériser le cas d’égalité.
121(polynômes orthogonaux). Soit la fonctionp:x�→�
1−x2définie surI=]−1, 1[. On muni l’espace�[X]du produit scalaire〈P,Q〉=�
IP Q pet on applique le procédé d’orthonor- malisation de Gram–Schmidt à la base canonique(Xk)afin d’obtenir des polynômes(Pk).
Montrer quePkest scindé à racines simples surI. Prouver l’existence de deux suites réellesλet µvérifiantPk= (x+λk)Pk−1−µkPk−2; établirµk>0. Montrer que les racines dePksont entrelacées avec celles dePk−1. Généraliser ces résultats à une classe plus générale de fonctionsp.
Procédés sommatoires discrets
122. Pour quels couples(x,y)∈�2la série�∞
k=1kxykconverge-t-elle?
123. Soient�∞
k=0aket�∞
k=0bkdeux séries convergentes à termes positifs. Montrer que la série
�∞
k=0akbkconverge aussi. De même pour�∞
k=0�k
ℓ=0aℓbk−ℓ.
124. Soit f ∈ �1(�+,��+)une fonction vérifiantlim∞ ff� =−∞. Montrer que la série de terme général f(n)converge et donner un équivalent de son reste.
125. Soit la série�∞
n=1(−1)n
n . Quelle est sa somme? On réordonne à présent ses termes pour alternantptermes positifs avecqtermes négatifs. Que devient la somme?
126. Pour toutf ∈ �0([0, 1],�)montrer que la quantité1n�n
k=1(−1)kf �k
n
�converge lorsque n→ ∞. Et si l’on suppose seulementf ∈ �0(]0, 1],�)?
127. Soit f ∈ �1(�,�)etα ∈�vérifiant f(α) = α. Discuter en fonction de f�(α)du comportement asymptotique des suites(un)vérifiant la relation de récurrenceun+1=f(un).
Fonctions de deux variables
Troisième semestre
Suites et séries de fonctions
128(série harmonique). On poseHn=�n
k=11
k. Établir queHn−ln(n)converge vers un réel notéγ. Montrer l’équivalenceHn−ln(n)−γ∼2n1. Poursuivre cette démarche afin d’obtenir le développementHn=ln(n) +γ+2n1 −12n12+120n1 4+o(n4).
129. Soit f ∈ �1(�+,��+)une fonction vérifiantlim∞ ff� =−∞. Montrer que la série de terme général f(n)converge et donner un équivalent de son reste.
130. Déterminer la somme de la série�∞
n=1(−1)n
n . Que devient elle si l’on réordonne ses termes pour alternerptermes positifs avecqtermes négatifs? Montrer que, pour tout réelℓet toute série réelle(xn)convergente mais non absolument convergente, il existe une permutationϕde�pour laquelle(xϕ(n))admetℓcomme limite.
131(produit de Cauchy). Soient deux séries� xnet�
yn. Leur produit de Cauchy est la série
�znde terme généralzn=�n
k=0xkyn−k. Montrer que si les deux séries convergent absolument, leur produit de Cauchy aussi. Montrer que si les deux séries convergent simplement, leur produit de Cauchy converge au sens de Cesàro.
132. Démontrer que fn:x∈��→�
x2+1n est une suite de fonctions�1dont la limite n’est pas�1.
133. Étudier la convergence de la suitef0=1etfn:x∈[0, 1]�→1+�x
0 fn−1(t−t2)d t. 134. En développant le membre de gauche, établir l’égalité�1
0 x−xd x=�∞
k=1k−k. 135. Montrer pourx∈]−1, 1[l’égalité�∞
k=1(−1)k k+x =�1
0 tx 1+td t. 136. Montrer pourx∈[−1, 1]l’égalité�∞
k=1sin(k x)
k xk=arctan� xsin(x)
1−xcos(x)
�. 137. Montrer, pourx∈]−1,+∞[, que la quantitéS(x) =�∞
n=1
�1
n−n+x1 �
est bien définie et continue. Étudier sa monotonie. En déterminer un équivalent en−1et en+∞.
138. Soientα∈�etn∈��. Pourx∈[0, 1]on poseun(x) =nαxn(1−x). Montrer que la série de fonctions associées converge simplement. Calculer sa limite lorsqueα=0. Montrer que la convergence n’est pas uniforme pourα>0.
139. Pourx∈/�on pose f(x) =�
n∈� 1
(x−n)2etg(x) =sin(πx)π2 2. Montrer quef −gadmet un prolongementhcontinue sur�. SoitHl’opérateur sur�0([0, 1],�)associant àila fonction x�→i�x�
+i�x+1�
. Montrer l’inclusionsp(H)⊂[−2, 2], calculerH(h)puis en déduiref =g.
140. Soitf ∈ �0(�,�)ne s’annulant sur aucun intervalle de longueur non nulle. Montrer que l’ensemble des zéros de f est dénombrable.
141. L’ensemble des bijections de�sur lui-même est-il dénombrable?
142. Lesquelles des famillesa2+b1 2,a12+b12,(a+b)1 2et2a+b1 2sont sommables pour(a,b)∈(��)2?
Réduction des endomorphismes
143. Quels sont les idéaux à droite de l’anneau�n(�)? Et à gauche? Et les bilatères?
144. SoitM ∈ �n(�). À quelle condition surP∈�[x]la matriceP(M)est-elle inversible?
145. Déterminer le polynôme caractéristique d’une matrice inversible en fonction de celui de son inverse.
146. À quelle condition surP∈�[x]l’ensemble des matricesM∈ �n(�)vérifiantP(M) =0 est-il compact? Même question dans le cas réel.
147. Montrer queA∈ �n(�)est nilpotente si et seulement si, pour toutn∈�, on atr(An) =0.
148. Caractériser la partie de�[X]formée des polynômes minimaux des matrices de�n(�).
149(calcul fonctionnel). Soitf ∈ �∞(�,�)etx∈ �n(�). SoitPun polynôme interpolant f sursp(x); autrement dit, si�
(X−λ)kλest le polynôme minimal dexalorsP(k)(λ) = f(k)(λ) pour0�k<kλ. On poseψx(f) =P(x); montrer que cette quantité ne dépend pas du polynôme Pchoisi. Montrer queψxest un morphisme d’algèbre. En déduire que pourxnilpotent l’équation (id+y)k=id+xadmet une solutiony.
150. Montrer que deux matricesAetBde�n(�)ontkvaleurs propres communes si et seulement si l’équationAX =X Badmet une solutionX ∈ �n(�)de rangk.
151. SoitM ∈ �n(�). Montrer que le sous espaceFλ=�
k∈��ker�
(M−λid)k�
est stable parM. Établir que�n=�
µ∈�Fµ. Montrer que la projection surFλsuivant�
µ�=λFµest un polynôme enM.
152. À quelle condition sur(a,b)∈(�n)2la matrice ci-dessous est-elle diagonalisable?
0 ··· 0 a1
... ... ... ...
0 ··· 0 an
b1 ··· bn 0
153. SoitE un espace vectoriel de dimension finie etu ∈ End(E)diagonalisable. On pose
�
u:v∈End(E)�→u◦v−v◦u. Montrer que�u∈End(End(E))est diagonalisable. Déterminer ses valeurs propres et ses espaces propres.
154. Montrer qu’une matrice carrée de rang unité est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.
155. Pour quelles matricesM ∈ �n(�)la matrice par bloc
�M M
0 M
�
est-elle diagonalisable?
156. SoitEetF deux espaces vectoriels normés de dimension finie. Pour toute application linéaire ϕ:E →F on pose|||ϕ|||=supx∈E�{0}�ϕ(x)��x� . Montrer que|||·|||est une norme sur�(E,F).
Montrer qu’une suite((ϕk)k∈�)∈ �(E,F)�converge pour cette norme si et seulement si les matrices desϕkconvergent coefficient par coefficient. On désigne parλle plus grand module des valeurs propres complexes deϕ. Dans quel cas a-t-onλ=|||ϕ|||?
157. Soit�une algèbre de dimension finie munie d’une norme�·�sous-multiplicative, c’est-à- dire vérifiant�uv���u�·�v�. Montrer que1−uest inversible dès que�u�<1. Montrer que la série�
n∈� un
n! converge.
Géométrie
158. SoitEun espace vectoriel réel normé. Pour toutX ⊂Eon posedX:y∈E �→infx∈X�x− y�. Démontrer que l’assertiondX(y) =0équivaut ày∈X. Prouver que siX est convexe alors il en va de même pourX. Même question lorsqueX est un sous espace vectoriel.
159. Sur l’espace�0([0, 1],�)on considère les normesN∞(f) =supx∈[0,1]|f(x)|etN1(f) =
�1
0|f(t)|d t. Montrer que tout ouvert pourN1est un ouvert pourN∞mais que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
160. Montrer que l’ensembleE des suites réelles convergeant vers zéro est un espace vectoriel.
Montrer qu’on définit une norme surEen posant�x�=supk∈�|xk|. Démontrer que l’application x∈E�→�
k∈�xk
2k est bien définie. Montrer qu’elle est continue pour la norme ci-dessus.
161. Pour toute partieX d’un espace vectoriel norméEon noteX�l’ensemble des pointsa∈E adhérents àX�{a}. Caractériser le casX�=∅. MontrerX��⊂X�. PosantX(ω)=�
k∈�X(k), peut-on avoirX(ω+1)�X(ω)?
162(sous-groupes de�). Montrer qu’un sous-groupe de�est soit dense soit de la formex�. En déduire que sipest un entier non carré alors la partie fractionnaire den�ppourn∈�est dense dans[0, 1].
163. On considère la suiteun=sin(log(n)). Montrer que(un+1−un)tend vers zéro. En déduire que l’ensemble{un:n∈�}est dense dans[−1, 1]. De même pourvn=n1/3cos(�n).
164(théorème de Banach–Steinhaus). SoitEun espace vectoriel normé de dimension finie sur
�. Montrer queEest un espace de Baire, c’est-à-dire que toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
165. Montrer que tout sous groupe deGLn(�)admettant l’identité comme point intérieur est ouvert et fermé. Qu’en déduire?
166. Dans l’espace�n(�), on considère la partieXR={M∈ �n(�): rg(M)∈R}. Donner une condition nécessaire et suffisante surRpour queXRsoit ouvert? Et fermé? Et compacte? Et connexe par arc? Quelle est son adhérence? Et son intérieur?
167. SoitCune partie compacte d’un espace normé. Montrer que de tout recouvrement deCpar des ouverts on peut extraire un recouvrement fini. Soit maintenantfn:C →�une suite croissante de fonctions continues convergeant simplement vers une fonction f continue; en considérant les ensembles{x∈C:f(x)−fn(x)<�}pour�>0fixé, montrer que la convergence est uniforme.
168. Caractériser les fonctionsf :[0, 1]→�ncontinues vérifiant�
�f�=��� f��.
169. SoitEun espace normé et f :E →E continue laissant stable un compact et vérifiant
�f(x)−f(y)�<�x−y�pour toutx�=y. Montrer que f admet un point fixe.
170. SoitX une partie compacte non vide d’un espace vectoriel norméE. Prouver que si f : X →X continue vérifie∀(x,y)∈X2,�f(x)−f(y)���x−y�alors cette inégalité est en réalité une égalité, puis quef(X)est dense, puis quef est bijective. Établir réciproquement que si
f :X →X est continue et bijective alors c’est une isométrie.
171. On se place dans un espace vectoriel réelEde dimension infinie. SoitCun convexe. Montrer que toute partie contenantC et contenue dansC est connexe par arc. SoitHun hyperplan.
Montrer queE�Hest connexe par arc si et seulement siHn’est pas fermé.
172. Pourx= (x1, . . . ,xk)∈(��+)netα�=0on poseMα(x) =�1
k
�k
i=1xiα�1/α
. Montrer que la fonctionα�→Mα(x)est croissante. Déterminer ses limites en−∞, en0et en+∞.
173. SoitEun espace vectoriel de dimensionn. On veut montrer que, pour toute norme�·�, il existe une norme euclidienne| · |vérifiant∀x∈E,�x��|x|��n�x�. Montrer que cela revient à prouver que, pour tout compact convexe symétriqueK, il existe un ellipsoïdeBtel que B ⊂K ⊂�
nB. Étant donné un telK, établir l’existence d’un ellipsoïde de volume maximal inclus dansK. Conclure.
Quatrième semestre
Intégration
174. Déterminer le rayon de convergence de la série entièrex1+1x·33+1x·35·5+···puis montrer qu’elle satisfait une équation différentielle du premier ordre. En déduire l’identité11+11·3+1·13·5+···=
�1
0e1−t22d t.
175. Montrer que la fonction f(x) =�∞
x ex2−t22d tsatisfait une équation différentielle linéaire d’ordre un. En déduire quef(n+1)est une combinaison linéaire def(n)etf(n−1). Prouver alors queqn= ff(n−1)(n) vérifie la relationqn=−x+qnn+1. Conclure enfin que f(x) = x+ 11
x+ 2
x+ 3
x+ 4
...
.
176(théroème de Liouville). Soit f(z) =�
akzkune série entière convergeant pour tout z ∈�. Montrer l’identitéak =2πρ1k
�2π 0 f �
ρeiθ�
e−i kθdθpuis en déduire que si|f(z)|est bornée par un polynôme en|z|alorsf est elle-même un polynôme.
177. Montrer que siφest une fonction continue, décroissante et intégrable de��+dans�, alors la quantité��∞
k=1φ(k�)admet une limite en�→0+.
Analyse hilbertienne
178. Montrer que l’espace�ncontientkvecteursvipour lesquelsi �=j=⇒� vi,vj�
<0si et seulement sik�n+1.
179(matrices de Gram et inégalité d’Hadamard). SoitEun espace préhilbertien réel. Pour toute famille de vecteursv∈Enon noteG(v)la matrice(〈vk,vℓ〉)(k,ℓ)∈{1,...,n}2. Montrer que le rang de la matriceG(v)est celui de la famillevet que son déterminant est positif. Montrer l’identité detG(x::v) =�x−π⊥〈v〉x�2detG(v)où l’on a poséx::v= (x,v1, . . . ,vn). En déduire que detG(v)��
�vk�et caractériser le cas d’égalité.
180(polynômes orthogonaux). Soit la fonctionp:x�→�
1−x2définie surI=]−1, 1[. On muni l’espace�[X]du produit scalaire〈P,Q〉=�
IP Q pet on applique le procédé d’orthonor- malisation de Gram–Schmidt à la base canonique(Xk)afin d’obtenir des polynômes(Pk).
Montrer quePkest scindé à racines simples surI. Prouver l’existence de deux suites réellesλet µvérifiantPk= (x+λk)Pk−1−µkPk−2; établirµk>0. Montrer que les racines dePksont entrelacées avec celles dePk−1. Généraliser ces résultats à une classe plus générale de fonctionsp.
181. On muni�de la tribu engendrée par les intervalles ouverts. Montrer que pour toute fonction f :�→�+d’intégrale unité on définit une loi de probabilité en posantP(]α,β[) =�β
α f(x)d x. Cette construction permet-elle d’obtenir toutes les lois possibles?
182(lemme de Borel–Cantelli). Étant donnée une suite d’évènements(Ek)on poseF =
�
n
�
k�nEk(intuitivement «une infinité desEkse réalise»). Montrer que si�P(Ek)converge alorsP(F) =0. Supposant lesEkindépendants, montrerP(F) =1dans le cas inverse.
183. Montrer que si un ensembleEest indénombrable alors l’ensemble des fonctions f :E→E vérifiantf ◦f =idl’est aussi. Montrer que la réciproque est fausse.
Calcul différentiel
184. Soitf ∈ �1(�+,�)monotone et admettant une limite finie en+∞; montrer que toutes les solutions de l’équation différentielley��+y=f sont bornées.
185(théorie de Sturm). Soientyetzdeux fonctions tells quey��+p y=0etz��+q z=0pour petqdeux fonctions de classe�0(I,�)vérifiantp�qsur un intervalleI. Siαetβsont deux zéros consécutifs dey, montrer quezs’annule sur]α,β]. Qu’en déduire sip=q? Étant donné un encadrement0<m<p<M, encadrer la distance entre deux zéros consécutifs dey. On trouve π/�
M<β−α<π/�m.
186. Sur l’espace vectoriel�∞(�,�)on considère l’endomorphismeDde dérivation. Montrer que pour tout polynômeP∈�[X]les deux propositions suivantes sont équivalentes.
— Les racines dePsont toutes de partie réelle strictement négative.
— Pour toutf, siP(D)(f)→∞0, alorsf →∞0.
187. On se place dans l’espace vectoriel�nusuel. Soitg:�n→�nune application différentiable pour laquelle il existe un réelγ∈]0, 1[tel que�d g��γ. On posef =id+g. Montrer quef est injective. Montrer quelim�x�→∞�f(x)�=∞.
