2017-2018 M403-DM 1 Universit´e Lille 1 G´eom´etrie et ´equations diff´erentielles
Diff´erentiabilit´e du flot d’un champ de vecteurs
Consid´erons un champ de vecteursf :U ⊂Rn→Rn de classeC1 d´efini sur un ouvert U. Nous voulons montrer que le flot associ´eϕest une application de classeC1, et exprimer
∂ϕ/∂x. Dans le cours, nous avons prouv´e que son domaine de d´efinition Ω ´etait un ouvert deR×U contenant{0} ×U, sur lequelϕ´etait continue. Nous avons aussi appris que le flot v´erifiait la formule ϕ(t1+t2, x) =ϕ(t2, ϕ(t1,(x))) pour toutt1, t2 tels que t1+t2 ∈J(x).
Nous savons enfin que ϕest de classeC1 respectivement au param`etret puisque
∂ϕ
∂t(t, x) =f(ϕ(t, x)).
Il nous faut donc prouver queϕest de classeC1 respectivement `a la variablex. Pour cela, nous allons nous ramener `a une ´equation diff´erentielle lin´eaire non-autonome.
Premi`ere partie : Equations diff´erentielles lin´eaires non-autonomes Etant donn´e un intervalle ouvert J de R et une application A :J → L(Rn) continue, on s’int´eresse `a l’´equation diff´erentielle lin´eaire non-autonome
u0 =A(t)u. (1)
On se fixeu0∈Rn. Nous allons prouver qu’il existe une unique solutionude cette ´equation d´efinie sur toutJ telle que u(0) =u0.
1) Montrer le th´eor`eme du point fixe suivant : si E est un espace m´etrique complet, et T : E → E est une application telle qu’il existe k ∈ N∗ pour lequel Tk est contractante, alors T admet un point fixe.
On se fixe un sous-intervalle ferm´e [a, b]⊂J contenant 0, on d´efinit l’op´erateur T :C0([a, b],Rn) → C0([a, b],Rn)
v 7→ (t7→u0+ Z t
0
A(s)v(s)ds)
et on munit C0([a, b],Rn) de la norme sup k · k∞ qui en fait un espace complet.
2) Montrer par r´ecurrence que pour toutv, w∈C0([a, b],Rn),k∈N∗ ett∈[a, b] on a kTk(v)(t)−Tk(w)(t)k ≤Ck|t|k
k! kv−wk∞ o`uC =:maxs∈[a,b]kA(s)k.
3) En d´eduire que T admet un point fixe, et donc que l’´equation (1) admet une unique solution u sur [a, b] telle que u(0) =u0. Conclure le r´esultat annonc´e.
1
4) SoitB :J → L(Rn) une autre application continue telle qu’il existe un >0 pour lequel kA(t)−B(t)k ≤
pour tout t ∈ J. On note alors les solutions u et v des ´equations diff´erentielles lin´eaires u0 = Au et v0 = Bv respectivement v´erifiant u(0) = v(0) et d´efinies sur J. Montrer que pour tout intervalle ferm´e [a, b]⊂J on a
ku(t)−v(t)k ≤C0··(eK|t|−1)
pour tout t∈[a, b] o`u K etC0 sont des constantes que l’on pr´ecisera.
Seconde Partie : Equation variationnelle le long d’une solution
On fixe donc x0 ∈U et t0 ∈ J(x0). On d´efinit une application A:J(x0) → L(Rn) en posant
A(t) =dfγx
0(t)
pour chaque t∈J(x0).
1) Justifier `a l’aide de la premi`ere partie que pour touth∈Rn l’´equation u0 =A(t)u
admet une unique solutionuh d´efinie sur tout J(x0) et telle que uh(0) =h.
2) Nous allons tout d’abord prouver que pour tout t0 ∈J(x0) on a
∂ϕ
∂x(t0, x0)h=uh(t0).
Pn suppose sans perte de g´en´eralit´e quet0 >0.
a) Montrer que pour tout t∈[0, t0] kϕ(t, x0+h)−ϕ(t, x0)−uh(t)k ≤
Z t
0
kdfφ(s,x0)(ϕ(s, x0+h)−ϕ(s, x0)−uh(s))kds +
Z t
0
o(kϕ(s, x0+h)−ϕ(s, x0)k)ds.
b) Posons
v(t) =kϕ(t, x0+h)−ϕ(t, x0)−uh(t)k.
Montrer qu’alors pour h suffisament petit v(t)≤K0
Z t
0
v(s)ds+o(khk) o`uK0.
c) Conclure en utilisant le lemme de Gronwall que
kϕ(t, x0+h)−ϕ(t, x0)−uh(t)k=o(khk)
∀t∈[0, t0], et donc que
∂ϕ
∂x(t0, x0)h=uh(t0).
d) Montrer que h7→uh(t0) est lin´eaire.
e) Conclure que le flot est C1, en utilisant la question 4) de la premi`ere partie.
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