Vecteurs gaussiens et th´eor`eme de Cochran
TD1-MAPI3 2016-2017
Exercice 1
Soit X une variable al´eatoire gaussienne centr´ee r´eduite. SoitA une variable al´eatoire telle queP(A= 1) = P(A=−1) = 1/2. On suppose que AetX sont ind´ependantes. Montrer queY :=AX suit une loi gaussienne centr´ee r´eduite, que cov(X,Y) = 0, mais queX et Y ne sont pas ind´ependantes.
D´efinition : loi du X2
Soient X1, ..., Xk des variables gaussiennes centr´ees r´eduites mutuellement ind´ependantes. Alors, la loi de X12+...+Xk2 est appel´ee loi duX2`a kdegr´es de libert´e et est not´eeX2(k).
Th´eor`eme de Cochran
Soit X ∼ N(0, Id), avec Id la matrice identit´e de Rd. Soient E1, ..., Ek des espaces vectoriels, deux `a deux orthogonaux, de dimensions respectivesd1, ..., dk tels queRd=E1⊕...⊕Ek. SoitPEi la projection orthogonale sur Ei. Alors, les variables al´eatoires ||PE1X||2, ...,||PEkX||2 sont mutuellement ind´ependantes et suivent des lois duX2 `a respectivementd1, ..., dk degr´es de libert´e.
Exercice 2
D´emontrer le th´eor`eme de Cochran.
Exercice 3
CalculerR+∞
0 e−4t2dt.
Exercice 4
Soit (X, Y)tun vecteur gaussien centr´e (vecteur moyenne ´egal `a zero) avecE(X2) = 4,E(Y2) = 1 et tel que les variables 2X+Y et X−3Y soient ind´ependantes.
1. D´eterminer la matrice de covariance de (X, Y)t.
2. Montrer que le vecteur (X+Y,2X−Y)test ´egalement gaussien, puis d´eterminer sa matrice de covariance.
Exercice 5
SoitX∈R3 un vecteur gaussien centr´e de matrice de covariance Q=
2 1 0 1 2 0 0 0 2
1. X poss`ede t’il une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue surR3? Si oui donner son expression.
2. Trouver une matrice A de taille 3×3 telle que les composantes du vecteur AX soient des variables ind´ependantes et de variances 1.
On pourra utiliser, avec
U =
−1/√
2 0 −1/√ 2
−1/√
2 0 1/√ 2
0 1 0
et D=
3 0 0 0 2 0 0 0 1
queUtU =U Ut=I3 et queQ=U DUt.
3. D´eterminer la loi deX1+ 2X2−X3, o`u X= (X1, X2, X3)t.
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