Séance N°1 :
Objectifs : Reconnaître les ensembles des nombres et Manipuler les proportionnalités et les pourcentages
Les ensembles des nombres Activité 1
IN désigne l’ensemble des entiers naturels.
désigne l’ensemble des entiers relatifs.
ID désigne l’ensemble des décimaux.
désigne l’ensemble des nombres rationnels.
désigne l’ensemble des nombres réels.
Compléter le tableau ci-contre. (La croix indique que le nombre appartient a l’ensemble)
Activité 2
Répondre par vrai ou faux.
a) ; ; ; :... ; ;
1.98 :... ; ; ; ;
b) . Retenons :
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme
ou a et n sont des entiers relatifs
soit et deux entiers relatifs telque non nul.
Prof: Khaled Omrani
Mathématiques
*2021-2022*
Calcul dans IR
Lycée Assed Iben Elfourat
Classe:2ème Sc durée : 45 mn
si est une fraction irréductible et s’écrit sous la forme avec
Tout nombre s’écrit sous la forme ou et deux entiers relatifs tel que non nul est un rationnel donc un rationnel possède une infinité d’écritures
Un nombre possède une écriture décimal fins est un décimal
Un nombre possède une écriture décimal cyclique (périodique) est un rationnel.
Un nombre possède une écriture décimal non cyclique est un irrationnel (un réel no rationnel) Activité 3
1) Calculer , en déduire sans calcul la valeur de
2) Trouver quatre entiers naturels a, b, c et d distincts tels que 3) Trouver cinq entiers naturels a, b, c, d et e distincts tels que Correction :
1) alors .
2) .
3) ...
...
Proportionnalité et pourcentage 1) Proportionnalité
Activité 8
L’allongement d’un ressort est proportionnel a la masse que l’on suspend a ce ressort.
Une masse de 15 g provoque un allongement de 9 mm.
Reproduire et compléter le tableau suivant :
Masse (en gramme) 15 50 80 145
Allongement (en mm) 6 42 33
Retenons :
Soit et des réels tels que .
et sont proportionnels à et si et seulement si 2) Pourcentage :
Activité 9 p 8 :
1) Un article qui coute 32 dinars est soldé à 20 d , 400. Exprimer en pourcentage le solde effectue ? 2) Un client a obtenu une réduction de 10 d , 500 sur un article de 150 dinars. Quel est le
pourcentage de la réduction ?
3) Un article est mis en vente a 10 dinars. Il subit deux augmentations successives de 10% puis de 20%. Quel est le pourcentage global d’augmentation ?
4) Un article mis en vente subit une augmentation de10 % puis une réduction et il est revenu
au prix initial. Quel est le taux de la réduction ? Correction :
...
...
...
...
...
...
Retenons :
Une grandeur vaut d’une grandeur signifie .
Augmenter une grandeur de c’est la multiplier par . Ce facteur est appelé coefficient
multiplicateur associé à l’augmentation de t%.
Diminuer une grandeur de t% c’est la multiplier par . Ce facteur est appelé coefficient
multiplicateur associé à la diminution de t% . Application :
Un livre coûte 6D400. Son prix a passé à 6D720.
1) Déterminer le taux d’augmentation en pourcentage t%.
2) Montrer que 6D720 et 6D400 sont proportionnels à (100+t) et 100.
Correction :
1) Ce livre subit une augmentation de t % donc donc d’où
.
Ou bien alors d’où .
2) On a alors d’où ou encore et par suite
6D720 et 6D400 sont proportionnels à (100+t) et 100 Travail à la maison : Activités 6,7 et 10 pages 8 et 9
Act6p 8 :
On demande a un vieillard son âge, il répond : . Quel est l’âge du vieillard en années ?
Correction :
Act7 p 8 :
Cocher la case convenable. Le produit vaut :
2004 2003 2002 1002 1001
...
Activité 10p 9 :
1) Le prix H.T (hors taxes) d’un article est 58 dinars. Quel est le prix T.T.C (toutes taxes comprises) pour un taux de T.V.A. (taxes sur la valeur ajoutée) de17% ?
2) Pour le même taux de T.V.A. un article est vendu a 35d ,100 T.T.C. Quel est son prix H.T ? Correction :
...
...
...
...
Séance N°2 :
Développer et factoriser une expression algébrique en utilisant les produits remarquables.
Comparer les réels , ² et pour a réel positif a Les identités remarquables
Activité 11 p9 :
a) Calculer ; ; ; et .
b) Ecrire sous la forme , ou et c sont des entiers : ; ;
et ;
Correction :
...
...
...
...
...
...
Retenons :
Remarque : une telle égalité est valable dans les deux sens d’où l’usage de ces égalités dans les factorisations et les développements
Développement - Factorisation Activité 35
Développer et réduire les expressions ci-dessous A = (x – 1) (x + 2) ; B = (2x – 3a)2 – 12ax ; C =
D = a (b – c) + b (c – a) + c (a – b) ; E = a (a + b – c) + b (b + c – a) + c (c + a – b) F = (x – y) (y – z) + (y – z)(z – x) + (z – x) (x – y) ; G = (2x – 3) (– x + 2) – x (5 – 4x).
...
...
...
...
Activité 36
Développer et réduire les expressions ci-dessous A = (x – 1)3 – 3x (x + 1) ; B = (2x + 3)2 + (3x – 2)2 C = (2x + 3y)3 – (2x – 3y)3 ; D = 4(a – b)2 – 3(b – 3a)2
...
...
...
...
Activité 37
Factoriser chacune des expressions ci-dessous
A = 25x2 – 9 ; B = 3x – 6 + (x 2 – 4x + 4) ; C = (2x – 1) 2 - (1 – x)2 ; D = 25 x2 – 30 x + 9 E = x3 – 64 ; F = 8 + 27x3 ; G = 4x2 – 1 – (2x – 1) (3x + 7).
...
...
...
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Séance 3 : Comparer des réels - Encadrer une somme ou un produit de réels.
Comparaison de réels - encadrements Activité 15 : Comparaison de a ; a2 ; 1) Comparer (0,3)2 et 0,3.
2) a étant un réel tel que 0 < a < 1.
a) Observer la figure ci-contre et exprimer les aires de ABCD et de ABEF en fonction de a.
b) Exploiter la figure pour comparer a et a2. 3) Prouver que si 0 < a < 1, alors a > a2.
4) Comparer a et a2, lorsque a ≥1.
...
...
...
...
Retenons :
Soit a un réel strictement positif. On a :
Si et
Si et
Activité 19 Soit a un réel tel que – 2 ≤ a ≤ 3.
Déterminer un encadrement de a + 4 ; 2 a ; – a ; – 3 a + 5.
...
...
...
...
Retenons :
Encadrer un réel x, c’est trouver deux réels a et b tels que: a x b.
Soit a et b deux réels quelconques
Pour tout réel c on : a b signifie a +c b+c.
Pour tout réel c>0 on a : a b signifie ac bc
Pour tout réel c <0 on a : a b signifie ac bc
Soit a, b, c et d quatre réels quelconques : si a b et c d alors a + c b +d.
Soit a, b, c et d quatre réels positifs : si a b et c d alors ac bd Activité 20
Une pièce rectangulaire a une aire comprise entre 16,12 m2 et 16,96 m2, et une longueur comprise entre 5,2 m et 5,3 m. Donner un encadrement de sa largeur.
...
...
Activité 21
1) En exploitant la figure ci-contre, montrer que pour tous réels positifs x et y on a
2xy ≤ x2 + y2
2) Dans cette question, tous les réels considères sont strictement positifs. Montrer les inégalités suivantes :
a) .
b) .
c) .
d)
...
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...
Activité 22
Soit a et b deux réels strictement positifs. Montrer que et que .
...
...
Activité 23 :
Montrer que
...
Séance 4 : Mettre en œuvre les règles de calcul sur les radicaux - Rappeler les propriétés essentielles de la valeur absolue d’un réel
Les radicaux
Soit a un réel positif. La racine carrée de a est le nombre réel positif b tel que b2=a. on note
Et on si et seulement si b2=a.
Pour tous réels positifs a et b on a :
Pour tout réel on a : Activité 28 p12 :
Soient A= et B= .
1) Calculer A2. En déduire une écriture plus simple de A.
2) Calculer B2. En déduire une écriture plus simple de B.
Correction :
...
...
...
...
Activité 30 p12 :
Le nombre est il un entier ?
...
...
Activité 33 p13 :
a) Soit . Montrer que est l’inverse de .
b) Calculer .
c) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que :
...
...
...
...
Valeur absolue Activité 41
1) Ecrire sans le symbole de la valeur absolue a) ; b ; c) .
2) Déterminer x dans chacun des cas suivants a) ⎢x + 2 ⎢= 3 ; b) ⎢4x – 1 ⎢=1 ; c) ⎢2 x + 1⎢= ⎢3– x ⎢ ...
...
...
...
Retenons :
Pour tout réel .
Soit un réel positif on a : équivaut à ou
Soient et deux réels on a : équivaut à ou .
Pour tout réel positif et pour tout réel on a : et
équivaut à Activité 42
1) Soit a un réel de l’intervalle [2, 3]. Simplifier l’écriture de l’expression ⎢a – 2 ⎢ + ⎢a – 3 ⎢.
2) Pour chacune des inéquations suivantes écrire l’ensemble des solutions a l’aide d’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles.
a) ⎢x – 1 ⎢< 1 ; b) ⎢3 – 2 x ⎢ ≥ ; c) ⎢x + 1 ⎢ > 1 + .
...
...
...
...
