Donner le terme général de chacune des séries suivantes et déduire leur nature: (a b

ISSAE

Cnam-Liban UTC 604 TD4 J.Saab

1. Former lan^ieme somme partielle de chacune des séries suivantes, en déduire la nature des séries:

(a) P ₁

4^{n 1}; P

3ⁿ; P ₁

(n+1)(n+2); P

( 1)ⁿ⁺¹n

2. Donner le terme général de chacune des séries suivantes et déduire leur nature:

(a) 1 +²₃+³₅+⁴₇+⁵₉+ (b) ¹₂+²₃ +⁴₅+⁸₉+¹⁶₁₇+

3. Déterminer la nature de chacune des séries suivantes, dé…nies par leur terme général:

a) ⁿ_n3²; b) _n(n+1)ⁿ⁺² ; c) ₂n¹+1; d)

1 nⁿ

e) lnⁿ_n²2⁺ⁿ⁺¹+n 1 f) ^e

pn

pn g) ²ⁿ_nn¹ h) ^earctan_1+n2ⁿ

i)

n

(n+1)! j) _n2ⁿ+2

n

k) _n+1ⁿ

n²

l) ¹_n(p³

n+ 1 p³ n m)

1

nlnn n) _(lnn)¹ n o) _n^n!n p) _npⁿ⁺¹

3n 2

q)

1

1:3:5: :(2n+1) r) _{n+( 1)}¹np

n s) ^cos_nⁿ t) _n¹2sinⁿ₂ 4. Montrer que la série

1 1

p2 + 1 p3

p1 4+ est semi-convergente

5. Déterminer la nature de la série numérique de terme général:

un= 1 + ( 1)ⁿp n n

6. Déterminer le rayon, et le domaine de convergence des séries entières suivantes:

a) X

n 1

xⁿ

n4ⁿ; b)X

n 1

(x 1)²ⁿ

n4ⁿ ; c) X

n 0

nxⁿ (n+ 1)2ⁿ

d) X

n 0

(x 2)ⁿ

(2n 1):2ⁿ; e) X

n 0

n!xⁿ; f) X

n 1

( 1)ⁿxⁿ n

g) X

n 0

nxⁿ

n+ 2; h)X

n 0

pn:xⁿ 3ⁿ :

1

7. Donner le domaine de convergence puis la somme des séries suivantes:

a) X

n 0

( 1)ⁿxⁿ

n! ; b) X

n 0

(x+ 5)ⁿ; c)X

n 1

( 1)ⁿ⁺¹(x+ 2)ⁿ n2ⁿ

d) X

n 0

(x 1)²ⁿ

4ⁿ ; e) X

n 1

nxⁿ; f) X

n 0

(2x+ 3)²ⁿ⁺¹ n!

8. Développer en série entières de(x c)les fonctions suivantes:

a)f(x) = 1

2 +x; c= 0; b)f(x) = 1

p9 x²; c= 0

c)f(x) = cos²x; c= 0; d)f(x) = Z x

0

ln(1 +t)

t ; c= 0et x >0 e)f(x) = cos(x+

3); c=

3; f)f(x) =sh(x 2); c= 2

9. On considère pour l’entiern 2 la série de terme général un(x) = ( 1)ⁿxⁿ

n(n 1) (a) Etudier les séries dérivéesX

u⁰_n(x)et X u⁰⁰_n(x) (b) Déduire la somme de la sérieX

u_n(x) (c) Déduire la somme de la série numérique

X

n 2

( 1)ⁿ 2ⁿn(n 1)

10. Donner le rayon de convergence et la somme des séries entières suivantes:

a)X

n 0

( 1)ⁿ(2n+ 1)x²ⁿ; b)X

n 1

x^{4n 3} 4n 3

11. Donner le rayon de convergence des séries suivantes:

(a) x+x³+x⁵+ +x²ⁿ⁺¹+ (b) 1 + ^x₂ ²+ ^x₂ ⁴+ + ^x₂ ²ⁿ+

(c) 1 +x+ ^x₂ ²+x³+ ^x₂ ⁴+x⁵+

12. Soit

f(x) = x si < x 0 x si 0< x

Véri…er quef adment une série de Fourier et trouver cette série. Déduire la lime de la série X

n 1 ( 1)ⁿ (2n+1)²

2

13. Soit 2R Z:On considère la fonction2 périodique

f(x) = cos x si x

(a) Déterminer la série de Fourier def (b) Déduire les sommes des séries suivantes:

X

n 1

1

n^{2 2}; X

n 1

1

n²; X

n 1

( 1)^{n 1}

n^{2 2}; X

n 1

( 1)^{n 1} n²

14. Soit la fonctionf de période2

f(x) =ch x x2[ ; ]; 2R

Trouver le dévéloppement en série de Fourier def en déduire la somme de chacune des séries suivantes S1=X

n 1

1

n²+ 1; S2=X

n 1

( 1)^{n 1} n²+ 1

15. Soit 2[0; ]etf la fonction 2 périodique et impaire

f (x) = ( )x si x2[0; ] ( x) si x2[ ; ]

Donner le dévéloppement en série de Fourier de f en déduire la somme de X

n 1

sinn :^sin_n^nx2 : Trouver S1 = X

n 1

( 1)^{k 1}sin(2k+1) (2k+1)²

16. Soit f(x) =x

(a) Développerf en une série de Fourier ensindans[0; ] (b) Développerjfjen une série de Fourier encosdans[ ; ]

17. On donner la fonction2 périodiquef(x) =x² sur[ ; ] (a) Donner la série complexe de f

(b) Déduire la série réelle de f

(c) Soit g(x) =xla fonction 2 périodique sur[ ; ]: Etablir une relation entref etg et déduire la série réelle deg

(d) La série de g converge -t- elle vers g partout? Quelle condition faut - il imposer à g pour avoir une convergence partout.

(e) Déduire la série degau point

18. Soit f :R !R,2 -périodique, paire, telle que

f(x) = 8<

:

1 si 0 t < ₂ 0 si t= ₂

1 si ₂ < t

3

(a) Tracer le graphe de f sur[ 2 ;2 ]

(b) Etudier les condtions de Dirichlet relatives àf et donner le domaine de convergence de la série de Fourier def

(c) Calculer les coè¢ cients de Fourier def (d) Déduire la somme de la sérieP₁

p=0 ( 1)^p

2p+1

(e) Utiliser la formule de Parseval pour de’duire la somme de la sérieP₁

p=0 1 (2p+1)²

(f) En déduire la somme de la sérieP₁

n=1 1 n²

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