Mathématiques Première : Fonction exponentielle
Thèmes
Exercices de base
Ex.B1 : Propriétés algébriques
Ex.B2 : Exemples d’utilisation de la fonction exp
Exercices d’approfondissement
Ex.A1 : Démonstrations des propriétés de la fonction exp Ex.A2 : Approximation de par la méthode d’Euler
Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers .
On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) :
Énoncés Exercices de base
Ex.B1
1. Choisir trois entiers tels que et .
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’entier tel que l’égalité proposée soit vraie pour tout :
a) b) c) d) e)
2. Choisir trois entiers tels que et . Soit . Préciser .
Pour tout on pose et . a) Démontrer que la suite est géométrique et préciser sa raison.
b) Exprimer en fonction de et déterminer, à l’aide de la calculatrice, le plus petit entier tel que .
Pour tout on pose et .
c) Démontrer que la suite est géométrique et préciser sa raison.
d) Exprimer en fonction de et déterminer, à l’aide de la calculatrice, le plus petit entier tel que
. Ex.B2
1. Choisir trois entiers tels que et .
On considère un corps radioactif. Si est le nombre de noyaux présents dans le corps à l’instant alors, après un temps , diminue d’un nombre proportionnel à et à .
Il existe donc une constante (constante radioactive) telle que . a) Démontrer que la fonction est dérivable sur et que .
b) Soit la fonction définie sur par . Démontrer que, pour tout , . En déduire c) On suppose que .
À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier tel que .
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. Soit une fonction dérivable sur qui prend la valeur en et qui est égale à sa dérivée.
a) Démontrer que, pour tout , . b) En déduire que est strictement croissante sur .
c) Démontrer qu’il existe une seule fonction vérifiant les hypothèses précédentes.
On note exp la fonction dérivable sur qui prend la valeur en et qui est égale à sa dérivée.
d) En utilisant le résultat de c) pour une fonction de bien choisie, démontrer que, pour tous réels et , .
e) En déduire que, pour tous réels et , et
. Ex.A2
1. On va obtenir une approximation du nombre en utilisant la méthode d’Euler (1707-1783).
L’idée de la méthode est la suivante : pour tout et pour tout réel , on approxime par . On note .
a) Justifier l’approximation précédente.
b) Démontrer que la méthode d’Euler permet d’écrire . c) On considère la fonction euler dont le code Python est le suivant :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
from matplotlib.pyplot import * from numpy import *
def euler():
X=linspace(0,1,11) Y=linspace(0,0,11) Y[0]=1
for i in range(10):
Y[i+1]=Y[i]+Y[i]/10 Z=exp(X)
plot(X,Y,color= "red") plot(X,Z)
show()
Préciser la valeur de X à la ligne 4, la valeur de Y à la ligne 5 puis à la ligne 9. Dire ce que représente la courbe affichée à la ligne 10.
d) Modifier le code pour que la fonction affiche aussi la courbe (X,Y) avec une subdivision de points en vert. Comparer les deux courbes.
e) On admet que, pour tout , .
À l’aide de la calculatrice, et sans utiliser la touche exp, vérifier que , puis donner le plus petit entier pour lequel l’encadrement précédent est d’amplitude inférieure à .
Donner un encadrement de d’amplitude .
Méthodes et indications
Exercices de base Ex.B1
1. Utiliser les égalités suivantes valables pour tous réels et :
; et
2. a) et c) La suite est géométrique s’il existe un rée tel que, pour tout , ou s’il existe deux réels et tels que, pour tout , (dans ce cas la raison est ).
b) et d) Si est géométrique de raison et si alors
.
Ex.B2
1. a) Si est une fonction dérivable en alors
b) Montrer que est constante sur en calculant pour tout c) Remarquer que .
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) Étudier les variations de la fonction définie par . b) Démontrer que en raisonnant par l’absurde.
c) Supposer qu’il existe deux fonctions et vérifiant les hypothèses et démontrer que est constante.
d) Considérer la fonction définie par
. e) Appliquer l’égalité de d), pour et bien choisis.
Ex.A2
1. On va obtenir une approximation du nombre en utilisant la méthode d’Euler (1707-1783).
L’idée de la méthode est la suivante : pour tout et pour tout réel , on approxime par . On note .
a) Utiliser la dérivée de exp en (ou la tangente à la courbe au point d’abscisse ).
b) Prendre et
c) On peut voir les valeurs d’un variable a avec print(a). Si la variable est à l’intérieur d’une fonction, il faut écrire print(a) à l’intérieur de la fonction et exécuter la fonction
d) Utiliser deux nouvelles variables X1 et Y1 e) L’amplitude de l’encadrement est .
Si avec , alors est un encadrement de d’amplitude si et .
Corrigés
Exercices de base Ex.B1
1.
a) : b) : c) : d) : e)
: .
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’entier tel que l’égalité proposée soit vraie pour tout :
a) b) c) d) e)
2.
a) Pour tout , on a
donc la suite est géométrique de raison .
Remarque. On peut aussi écrire pour conclure puisqu’alors est de la forme .
b) On a
.
À l’aide de la calculatrice, on constate que le plus petit entier tel que est . c) Pour tout , on a
donc la suite est géométrique de raison (on a ).
d) On a
.
Ainsi
.
À l’aide de la calculatrice, on constate que le plus petit entier tel que
est .
Ex.B2 1.
a) On a
donc
ce qui prouve que est dérivable sur et que .
Soit
. Pour tout on pose et . a) Démontrer que la suite est géométrique et préciser sa raison.
b) Exprimer en fonction de et déterminer, à l’aide de la calculatrice, le plus petit entier tel que .
Pour tout on pose et .
c) Démontrer que la suite est géométrique et préciser sa raison.
d) Exprimer en fonction de et déterminer, à l’aide de la calculatrice, le plus petit entier tel que
.
On considère un corps radioactif.
Si est le nombre de noyaux présents dans le corps à l’instant alors, après un temps , diminue d’un nombre proportionnel à et à .
Il existe donc une constante (constante radioactive) telle que . a) Démontrer que la fonction est dérivable sur et que .
b) Soit la fonction définie sur par . Démontrer que, pour tout , . En déduire c) On suppose que .
À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier tel que .
b) La fonction est dérivable sur et on a
ce qui prouve que est constante sur . Ainsi, pour tout , on a .
On a donc .
c) On a . En remarquant que , on voit, à l’aide de la calculatrice, que le plus petit entier tel que est .
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) Soit . La fonction est dérivable sur car l’est et on a
donc est constante sur . Ainsi, pour tout , ou encore .
b) On en déduit que pour tout .
S’il existe tel que alors, comme , il existe un réel tel que ce qui est impossible d’après ce qui précède.
On en déduit que pour tout ce qui prouve que est strictement croissante sur . c) Supposons que deux fonction et vérifient avec et avec . D’après b), ne s’annule pas sur donc est dérivable sur .
On a donc est constante et, comme , on a
ou encore pour tout réel . d) Soit un réel quelconque.
Comme (voir b), la fonction telle que
est définie sur . Elle est même dérivable sur et
. De plus donc, d’après c), et on a pour tout réel .
e) En remplaçant par dans l’égalité précédente, on obtient et, en remplaçant par , on obtient soit
. Ex.A2
1. a) Soit . La tangente à la courbe de la fonction exp au point d’abscisse a pour équation . On peut donc approximer par et l’approximation est d’autant meilleure que est proche de .
En remplaçant par et par , on obtient . Remarque. On a
donc, en remplaçant par ,
et, en remplaçant par ,
. On peut donc approximer
et on retrouve le résultat précédent mais, là encore, l’approximation est d’autant meilleure que est proche de . b) En prenant et , on obtient donc .
c) Le code print(X) ajouté entre les lignes 4 et 5 affiche
[ 0. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ] quand on exécute la fonction euler
On obtient de même [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.] pour Y à la ligne 5 puis
[ 1. 1.1 1.21 1.331 1.4641 1.61051 1.771561 1.9487171 2.14358881 2.35794769 2.59374246]
à la ligne 9.
Pour tout , notons le point de coordonnées .
On a
et
donc on reproduit l’approximation de a) avec
de proche en proche à partir du point jusqu’au point .
La courbe obtenue est donc une approximation de la courbe de la fonction exp sur . e) On supprime la ligne 12 et on ajoute les lignes suivantes :
12 13 14 15 16 17 18
X1=linspace(0,1,101) Y1=linspace(0,0,101) Y1[0]=1
for i in range(100):
Y1[i+1]=Y1[i]+Y1[i]/100 plot(X1,Y1,color= "green") show()
On constate que la courbe verte est très proche de la courbe de la fonction exp (en bleu) et beaucoup plus proche que la courbe rouge.
f) En observant le tableau des valeurs de , on constate que pour donc .
L’amplitude de l’encadrement est . En observant les valeurs de on constate que l’amplitude est inférieure à pour . On a
ce qui donne .
