D1960 – Une riche configuration [*** à la main]
Problème proposé par Dominique Roux
On donne 3 points A , B , C sur un cercle (O). Les tangentes à ce cercle en A , B , C forment un triangle A'B'C'. On sait que les droites AA' , BB' , CC' ont un point commun K.
Le cercle (KBC) recoupe les côtés AB et AC en respectivement Ba et Ca et recoupe les tangentes en B et C en respectivement A'b et A'c.
De même le cercle (KCA) recoupe BC et BA en Cb et Ab et recoupe les tangentes en C et A en B'c et B'a.
Enfin le cercle (KAB) recoupe CA et CB en Ac et Bc et recoupe les tangentes en A et B en C'a et C'b.
1) Montrer que les 6 points Ab,Ac,Bc,Ba,Ca,Cb sont cocycliques et que BaCa = CbAb = AcBc.
2) Montrer que les 6 points A'b,A'c,B'c,B'a,C'a,C'b sont cocycliques et que B'aC'a = C'bA'b = A'cB'c.
Solution proposée par Bernard Vignes
Trois lemmes permettent de résoudre les deux questions : Lemme n°1
Les droites AA’,BB’ et CC’ sont concourantes au point K qui est le point de Gergonne du triangle A’B’C’.
Démonstration
Par construction le cercle circonscrit au triangle ABC est le cercle inscrit du triangle A’B’C’.
Pour chacun des sommets de ce dernier, les deux tangentes déterminent deux segments, du sommet aux points de contact, de longueurs égales :A’B = A’C, ainsi que B’A = B’C et C’A
= C’B.On a : A’B/C’B × B’C/A’C × C’A/B’A = 1.La relation de Céva est donc vérifiée.et les céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) sont bien concourantes en K, nommé point de Gergonne.
(Voir par exemple : http://www.jlsigrist.com/gergonne.html).
Lemme n°2
Les droites BaCa,CbAb et AcBc sont respectivement parallèles aux droites B’C’,C’A’ et A’B’.
Démonstration
Le quadrilatère AA Bc B est inscrit dans le cercle (AKB). On a donc la relation d’angles c
BBcA = c BAA = c BAC (angles repérés en rouge dans la figure supra). Comme la droite A’B’ est tangente en C au cercle circonscrit à ABC, on a BCA’ = BAC.
D’où BBcA = c BCA’. La droite AcBcest donc parallèle à la droite A’B’ . Même démonstration pour les droites BaCaetCbAbqui sont parallèles aux droites B’C’ et C’A’.
Lemme n°3
- Les points A' ,c B ,a B et c C' sont alignés ainsi que les points a C' ,b A ,b A et c B' et les c points A' ,b C ,b C et a B' . a
- Les droites AbAc,BaBcet CaCb sont respectivement parallèles aux droites BC,CA et AB.
- Les droites A'bA'c,B'aB'cet C'aC'b sont respectivement parallèles aux droites BC,CA et AB.
Démonstration :
Par construction le triangle B’AC est isocèle de sommet B’.On en déduit B’A = B’C.
D’autre part le point B’ a même puissance par rapport aux cercles (AKB) et (BKC) : B’A × B’C' = B’K × B’B = B’C × B’a A' . c
Il en résulte que B’C' = B’a A' . Le triangle B’c C'a A' est isocèle de sommet B’ et la droite c A'cC' est parallèle à la droite AC. a
Le quadrilatère ABBcC' est inscrit dans le cercle (AKB). On a donc a AC'a B = c ABC.
Comme la droite A’B’ est tangente en C au cercle circonscrit à ABC, on en déduit B’AC =
ABC. D’où AC'a B = c B’AC = ABC (angles repérés en marron dans la figure supra). La droite C'a B est parallèle à la droite AC . Il en est de même de la droite c A'c Ba parallèle à cette même droite AC. Les quatre points C' ,a B ,c B et a A' sont alignés. c La droite A'cC'a qui porte les points B et a B est parallèle à AC. Il en est de même de la c droite BaBc.Même démonstration avec les droites AbAcet CaCb parallèles respectivement à BC et AB.
Enfin, dans le cercle (BKC), on a A’B×A'A'b = A’C ×A'A'c. Comme par construction, A’B
= A’C,on a A'A'b= A'A'c. Le triangle A'A'bA'c est isocèle de sommet A’ et sa base A'bA'c est parallèle à BC. Même démonstration pour B'aB'cet C'aC'b parallèles respectivement à AC et AB.
Q₁
D’après le lemme 2, la droite CbAbétant parallèle à C’A’ ,on a les relations d’angles :
c b bC B
A = AbCbB =A’BC = BAC (angles repérés en rouge dans la figure supra).
D’après le lemme 3, la droite BaBc étant parallèle à la droite AC , on a les égalités :
ABaBc =AbBaBc = BAC (angles repérés en rouge dans la figure supra).
D’où AbCbBc = AbBaBc.Les quatre points B ,a B ,c A et b C sont donc cocycliques. b On démontre de la même manière que les quatre points (B ,a B ,c A ,c C ) sont cocycliques de a même que les quatre autres groupes de quatre points (A ,b A ,c B ,a C ), (a A ,b A ,c B ,c C ), b (C ,a C ,b A ,c B ) et (c C ,a C ,b A ,b B ). Deux de ces groupes ont trois points en commun, par a exemple, les deux groupes (B ,a B ,c A ,b C ) et (b C ,a C ,b A ,b B ) ont les points a C ,b A ,b B en a commun. Les cinq points A ,b B ,a B ,c C et a C sont donc cocycliques. De même (b B ,a B ,c Ac ,C ) et (a A ,b A ,c B ,a C ) ont les trois points a A ,c B ,a C en commun . Il en résulte que les six a points A ,b A ,c B ,a B ,c C et a C sont cocycliques. b
Les trois cordes BaCa,CbAb et AcBc sont égales car elles sont vues sous le même angle à l’intérieur du cercle qui passe par les six points A ,b A ,c B ,a B ,c C et a C .Par exemple,l’angle b
a b aA C
B dont l’arc sous-tend la corde BaCa est tel que BaAbCa= BaAbCb+CbAbCa
= ABC'+CbBaCa= C'AB+CbBaCa= AbBaCa+CbBaCa= AbBaCb, angle dont l’arc sous-tend la corde CbAb.
De la même manière,l’angle AcCbBc dont l’arc sous-tend la corde AcBc est tel que
c b cC B
A = AbCbBc+AbCbAc= AcBcCb+AbBcAc avec AbCbBc= AcBcCb et
c b bC A
A = AbBcAc. Q₂
Le recours aux lemmes 2 et 3 permet comme précédemment de démontrer la cocyclicité des six points A'b,A'c,B'a,B'c,C'a,C'b par le biais de la cocyclicité de groupes de quatre points.
Considérons, par exemple, les quatre points B'a,B'c,C'a,C'b. Comme AbAc est parallèle à BC et que B'aB'cest parallèle à CA, on a C'bB'cB'a = ACB et comme C'aC'b est parallèle à AB, on a C'bC'aB'a= C’AB = ACB. D’où C'bB'cB'a= C'bC'aB'a qui prouve que les quatre points B'a,B'c,C'a,C'b sont cocycliques.
Mêmes types de raisonnement avec les groupes de quatre points (A'b,A'c,B'a,B'c), (A'b,A'c,C'a,C'b),(A'c,B'a,B'c,C'a),etc...
Les cordes A'bC'b,A'cB'c et B'aC'a sont égales car elles sont sous-tendues par les arcs d’angles A'bB'cC'b,A'cC'bB'c et B'aA'bC'aqui sont égaux entre eux.