G 162. Gagne en solo.
A, B et C disposent respectivement de a, b et c pièces de 1 € , a ≤ b ≤ c ≤ 20, et décident de faire des parties de « Gagne en solo » selon les règles suivantes : dans une partie, chacun lance l’une de ses pièces et le joueur dont le résultat du lancer (pile ou face) est différent des deux autres est le gagnant qui empoche les deux pièces de ses voisins. Si le même côté apparaît trois fois, il n’y a pas de gagnant. Ils continuent de jouer jusqu’à la ruine du premier d’entre eux. Avant qu’ils ne commencent à jouer, A qui est le plus matheux des trois joueurs a calculé que l’espérance mathématique du nombre de parties jouées vaut exactement 25.
En déduire a, b et c.
Solution proposée par Michel Lafond
La seule solution est a = 5 b = 6 c = 15
Notons E (a, b, c) l’espérance du nombre de tours joués avec les effectifs de pièces (a, b, c) au départ, et en ignorant les tours nuls (où il n’y a pas de gagnant) pour terminer une partie.
[a n’est pas nécessairement l’effectif des pièces de A, etc. De toutes façons, E (a, b, c) ne dépend pas de l’ordre des effectifs]
Il est clair que E (1, 1, c) = 1 puisqu’à l’issue du premier tour (non nul) il y aura nécessairement un joueur sans pièce. On posera aussi par commodité E (a, b, c) = 0 si l’un des effectifs est nul.
Voyons comment calculer E (a, b, c) pour tous les triplets (a, b, c) tels que a + b + c = S [S ≥ 3 fixé] : Prenons par exemple S = 7. Il y a 4 triplets à considérer :
E (1, 1, 5) = 1 E (1, 2, 4) = x E (1, 3, 3) = y E (2, 2, 3) = z.
L’arbre des possibilités montre qu’on a les trois équations suivantes :
x = E (1, 2, 4) = 1 + y = E (1, 3, 3) = 1 + z = E (2, 2, 3) = 1 + 1+
C’est un système linéaire dont les solutions sont x = 8 / 5 y = 9 / 5 z = 12 / 15.
On constate que x = E (1, 2, 4) =
y = E (1, 3, 3) = z = E (2, 2, 3) = Dans les 3 cas, E (a, b, c) = (1)
Et ceci est général car :
(1) est vraie si l’un des effectifs est nul ;
Pour a = 1 et b = 1 on a E (1, 1, c) = 1 = (1) est encore vraie ;
Pour les autres situations, le système linéaire à résoudre (S ≥ 3 fixé) a une solution unique.
Or toutes ses équations ont la forme :
E (a, b, c) = 1 + Et ces équations sont toutes satisfaites en utilisant (1) puisque :
Le système linéaire entier est donc satisfait par (1).
Le nombre moyen de tours (non nuls) à jouer pour terminer une partie avec les effectifs de pièces (a, b, c) au départ est , mais il y a (en moyenne toujours) un tour nul sur 4, c’est-à-dire qu’il y a un tour nul pour 3 tours non nuls.
Le nombre moyens de tours réels (en comptant les nuls), est donc par hypothèse.
Il reste donc à résoudre
a ≤ b ≤ c ≤ 20 implique Donc
Cela laisse peu de cas à envisager, et le seul rescapé est le triplet (5, 6, 15). CQFD
