G = {A gagne le jeu}, An = {A gagne le n-i`eme ´echange

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees

IFP Ann´ee 2001-02

Devoir 1

A rendre dans la semaine du 20 octobre 2002` Ex 1. Probabilit´e de gagner un jeu sur son service au tennis

On consid`ere le mod`ele simplifi´e suivant du jeu de tennis¹ : le joueurA est au service et affronte B. Un «jeu» est constitu´e d’un certain nombre d’ «´echanges» et `a la fin de chaque «´echange», celui des deux joueurs qui a gagn´e l’´echange marque un point. Le joueur qui gagne le «jeu» est le premier `a totaliser au moins 4 points avec au moins deux points d’avance sur son adversaire. A peut donc gagner le jeu sur le score de 4 `a 0, 4 `a 1, 4 `a 2, 5 `a 3, 6 `a 4,. . . On suppose que tous les ´echanges sont ind´ependants et que lors de chaque ´echange la probabilit´e pour A de gagner le point reste constante et vautp. Notre objectif est de calculer en fonction de p la probabilit´e que A remporte le jeu. On introduit les notations d’´ev´enements suivantes.

G = {A gagne le jeu},

A_n = {A gagne le n-i`eme ´echange }, B<sub>n</sub> = {B gagne le n-i`eme ´echange },

E_i,j = {Au bout dei+j ´echanges,A a i points et B en a j}.

1) Expliquez la d´ecomposition

G=E_4,0∪E_4,1∪E_4,2∪ +∞

∪

k=3 E_k+2,k .

2) Calculer P(E_4,0), P(E_4,1) et P(E_4,2). Indication : on remarquera que E_4,1 = A₅∩E_3,1 etE_4,2 =A₆∩E_3,2 et on utilisera l’ind´ependance des ´echanges.

3) Expliquer pourquoi pour toutk ≥3, on a : E_k+2,k =E_3,3∩ k

∩

j=4 C_j

∩A_2k+1∩A_2k+2, o`u l’on a pos´eC_j := (A_2j−1∩B_2j)∪(B_2j−1∩A_2j).

4) Calculer P(E_3,3), puisr =P(C_j). En d´eduireP(E_k+2,k).

5) Montrer que les E_k+2,k sont deux `a deux disjoints et calculer P +∞

∪

k=3 E_k+2,k .

1Il n’est pas n´ecessaire de connaˆıtre les r`egles classiques du tennis pour faire cet exercice. Elles sont rappel´ees dans l’´enonc´e sous une forme permettant de simplifier les ´ecritures.

I.F.P. 2002–03, D.M. 1 Ch. Suquet

6) En d´eduire P(G).

7) L’´ev´enement N ={le jeu continue ind´efiniment sans vainqueur} s’´ecrit : N =E_3,3∩ +∞

∩

j=4 C_j . Montrer que sa probabilit´e est nulle.

8) Compte tenu du r´esultat de la question pr´ec´edente, pouvez vous donner sans calcul la valeur de P(G) lorsque p = 1/2 ? Utilisez cette r´eponse pour tester la formule trouv´ee `a la question 6.

Ex 2. Le lemme de Fatou pour les s´eries

1) Soient (a_n)n∈N et (b_n)n∈N deux suites de r´eels. Montrer que lim inf

n→+∞a_n+ lim inf

n→+∞b_n≤lim inf

n→+∞(a_n+b_n)

et que cette in´egalit´e est v´erifi´ee aussi lorsque (a_n)_ninN et (b_n)_ninN sont deux suites d’´el´ements de+.

2) En d´eduire le lemme de Fatou pour les s´eries : si (u_n,k)n∈N,k∈N est une suite double d’´el´ements de ₊,

+∞

X

k=0

lim inf

n→+∞u_n,k ≤lim inf

n→+∞

+∞

X

k=0

u_n,k.

3) Donner un exemple o`u l’in´egalit´e est stricte.

2