G10138. Jeu, set et match
On adopte pour le jeu de tennis ce mod`ele tr`es simple : quand deux joueurs A etB s’affrontent, on consid`ere comme fixes les probabilit´es (respective- ment p etq= 1−p) queA etB gagnent une manche.
Dans ce mod`ele simple, que valent :
a/ La probabilit´e P queA gagne la partie (de trois manches gagnantes) ? b/ le nombre moyen de manches par parties ?
Qu’en est-il pourp= 50% ; 55% ; 60% ; 70% ; 80% ; 90% ?
Solution
a/ Les s´equences des manches donnant la victoire `a A sont : AAAde probabilit´e p3;
AABA, ABAA, BAAA, de probabilit´e 3p3q au total ;
AABBA, ABABA, ABBAA, BAABA, BABAA,BBAAA, de probabilit´e totale 6p3q2;
DoncP =p3(1 + 3q+ 6q2).
b/ La contribution des parties gagn´ees parAau nombre moyen de manches estα= 3p3+ 4·3p3q+ 5·6p3q2) = 3p3(1 + 4q+ 10q2).
Pour les parties gagn´ees par B, il suffit d’´echanger p et q pour obtenir β= 3q3(1 + 4p+ 10p2). La moyenne demand´ee est alors
m=α+β = 3(p3+q3) + 12pq(p2+q2) + 30p2q2(p+q), et commep+q = 1, en posantpq=x,
m= 3(1−3x) + 12x(1−2x) + 30x2 = 3(1 +x+ 2x2).
Les valeurs num´eriques sont donn´ees par le tableau suivant.
p(%) P(%) m
50 50 4,13
55 59,3 4,11 60 68,3 4,07 70 83,7 3,89 80 94,2 3,63 90 99,1 3,32 On constate que
a/ la probabilit´e de gagner la partie est plus forte que celle de gagner une manche et croˆıt plus vite que cette derni`ere ;
b/ au moins pour 50%≤p≤64% le nombre moyen de manches varie tr`es peu : de 4,13 `a 4,01 ; il n’est inf´erieur `a 4 que pourp≥64,55%.
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