Enoncé G286 (Diophante) Les cartes magiques
Ce jeu de “bataille” renouvelé se joue à deux joueurs avecncartes compor- tant chacune m symboles graphiques tous différents. Les cartes sont ainsi constituées que deux cartes quelconques ont toujours 1 symbole commun et 1 seul.
Les joueurs abattent simultanément chacun une carte. Le premier qui iden- tifie le symbole commun ramasse le pli. C’est donc un jeu d’acuité visuelle et de vivacité, mais cet aspect ne nous concerne pas ici.
Les questions qui intéressent le mathématicien sont :
1 - Avec m≥2 symboles par carte, calculer le nombre maximum de cartes qu’il est possible de fabriquer,
2 - Avec m ≥ 2 symboles par carte et n cartes, calculer le nombre total minimum sde symboles utilisés,
3 - Déterminer le cas optimal (m, n, s) qui combine le nombre maximum de cartes et le nombre minimum de symboles utilisés.
4 - Dans les cas optimaux, décrire explicitement pour les valeurs dem= 3, 4, 5 et 6 un mode de répartition des symboles selon les cartes.
Attention ! On ne demande pas que le symbole commun à deux cartes quelconques ne soit commun à aucune autre carte que ces deux-là. Ainsi, la configuration (les symboles sont remplacés par des nombres) : carte 1 : 2, 4, 5. . ., carte 2 : 4, 6, 7. . .,carte 3 : 1, 4, 8. . .est permise.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Supposons qu’un symbole Aapparaît danskcartes, qui affichent chacune m −1 autres symboles, tous distincts puisque ces cartes ont déjà A en commun. Lesn−kcartes sansAdoivent partager un symbole avec chacune des kpremières cartes, donc k≤m.
Soient ai,j (j = 1 àm−1) les symboles autres queA de la carte i(i= 1 à k). Il y a (m−1)2 choix (x, y) pour la paire de symboles (a1,x, a2,y) qui doit figurer sur toute carte sans A, et une même paire ne figure pas sur
deux cartes ; ainsi le nombre de cartes est
n≤k+ (m−1)2≤m+ (m−1)2 = 1−m+m2. Question 2
Formons le tableau comportantn lignes etscolonnes, et marquons d’une croix la case du tableau quand la carte correspondant à laligne contient le symbole correspondant à la colonne. Il y a doncmcroix par ligne.
Si 2 cartes avaient deux symboles en commun, on aurait 4 croix en rec- tangle dans le tableau. Chaque ligne contient Cm2 paires de croix, et ces paires doivent être toutes distinctes quand on considère l’ensemble desm lignes. Il faut que leur nombre totalnCm2 soit au plus égal au nombreCs2des paires que peuvent former lesssymboles. Ainsi (2s−1)2 ≥1+4nm(m−1), ce qui définit le plus petit nombres.
Question 3
Sin= 1−m+m2, majorant obtenu à la question 1,
1 + 4nm(m−1) = (1−2m+ 2m2)2, ce qui conduit à s= 1−m+m2 =n.
Question 4
Soit à former les cartes au-delà des m premières, contenant A et les ai,j. Sim−1 est un nombre premier, j’associe, pourr= 1 àm−1, le symbole am,j aux m−1 symboles ai,(j+ir) (modm−1) pour i= 1 à m−1 ; chaque couple (r, j) donne une carte.
m= 3,n=s= 7, cartesABC, ADE, AF GpuisBEF, CDF, BDG, CEG.
m = 4, n=s = 13, cartes ABCD, AEF G, AHIJ, AKLM puis BEHK, BF IL, BGJ M, CEIM, CF J K, CGHL, DEJ L, DF HM, DGIK.
Ce procédé ne fonctionne pas lorsquem−1 est composé, ce qui est le cas dem= 5, n=s= 21. Je ne sais pas dire si le problème est possible pour cette valeur dem.
m= 6, n =s= 31, l’alphabet ne suffit plus ; je n’explicite pas les cartes qui s’obtiennent par le procédé indiqué, puisque m−1 = 5 est premier.
