Pavages : du jeu ` a la mati`ere
Thomas Fernique
Laboratoire d’Informatique de Paris Nord
24`eme congr`es MATh.en.JEANS du grand Sud
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1 Ap´eriodicit´e
2 Quasicristaux
3 Ind´ecidabilit´e
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Pavages
pavage : dessin losange, dessin random dimer (une couleur)
Pavages p´ eriodiques
ex plan discret 1,1,1 sans ombrage
Du global au local
vertex atlas ou tuiles indent´ees : force le mˆeme pavage
Du local au global ?
prop : on peut tjrs d´ecrire localement un pavage p´eriodique.
r´eciproque ?
ex vertex-atlas Penrose (ou tuiles indent´ees, plus simple)
Pavages ap´ eriodiques
dessin Penrose. prop : carac localement, mais invariant par aucune translation (mˆeme si semble se r´ep´eter).
Prenons de la hauteur
ombrer le 3 vers 2 : discr´etisation d’un plan dansR3
“ombrer” (en RGB ?) Penrose : discr´etisation d’un plan irrationnel dansR5 (cris dans la salle. . . ).
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Cristaux
def A : motif d’atomes copi´e sur r´eseau (sch´ema)
def B : diagramme de diffraction essentiellement discret (ordonn´e)
Ondes ´ electromagn´ etiques
vague, son, onde electro-magn´etique notion longueur d’onde
schema : repr´esentation des max vs sinusoide (clair sur les vagues) dessin : vague, sable sur tambour, poste radio, radiographie. . . t´el´e : transforme ondes radio en ondes sonores et lumineuses.
Diffusion Rayleigh
onde ´electromagn´etique rencontre atome : r´e´emission d’une onde dans toutes les directions
dessin : onde plane, atome avec nuage, onde sph´erique r´e´emise
Interf´ erences
ajouter plusieurs atomes au sch´ema pr´ec´edent : interf´erences rajouter ´ecran : diagramme de diffraction
atomes ordonn´es : sommation en masse dans certaines directions, annulation dans d’autres, donc pics lumineux sur l’´ecran
atomes d´esordonn´es : sommation al´eatoire, bruit blanc sur l’´ecran
Quasicristaux
1982 : d´ecouverte mat´eriau dont le diagramme de diffraction essentiellement discret mais qui est non p´eriodique ! i.e. Def B plus large que def A.
Def A abandonn´ee en 1992. Quasicristaux : def B mais pas A, i.e., les “nouveaux” cristaux.
Classification ?
ce qu’on voudrait : classifier toutes les structures possibles, comme pour les cristaux (classif de Bravais-Fedorov). Comment ?
dessin : classif Mendele¨ıev
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Approche exhaustive
formuler pb ?
Etant donn´ees contraintes locales, essayer de paver le plan, du moins des carr´es de plus en plus grands. . .
prop : on bloque un jour ssi pas de pavage (sens direct trivial, r´eciproque par compacit´e)
NP-compl´ etude
bcp combinaison
ex `a 1 million de dollars : Eternity 2
en fait : pb NP-complet : si on sait le r´esoudre vite, on sait r´esoudre toute une collection de pbs - ceux dits NP-complets - par exemple casser le cryptage d’une banque.
pb `a 1 million de dollars : peut-on r´esoudre vite un pb NP-complet ?
Finitude ?
mais ¸ca c’est encore l bon cas : si on finit !
rq : si on trouve un carr´e p´eriodicisable (dessin), r´epondre oui ! mais on sait (pavage ap´eriodique) pas forc´ement tjrs le cas. . . autre approche ?
La d´ efaite d’All` egre
th (1964, Berger) : pas de programme qui r´eponde toujours.
pb dit ind´ecidable.
Ingr´ edient N
◦1 : le probl` eme de l’arrˆ et
th : pas de programme qui d´ecide si un autre programme (pass´e en argument) s’arrˆetera
preuve triviale : ´ecrire programme qui foire
Ingr´ edient N
◦2 : les pavages qui calculent
simuler d´eroulement programme par pavage sur grille.
ligne t : etat m´emoire au temps t
existence d’un pavage du plan ssi programme ne termine pas difficult´e principale : initier le calcul (ici intervient l’ap´eriodicit´e)
