Feuille d’exercices n

Feuille d’exercices n

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Exercice 1. Soit pM, dq un espace métrique. Montrer que pour tousu, v, xPM, on a |dpx, vq dpx, uq| ¤dpu, vq.

Exercice 2. Montrer que dans un espace métriquepM, dqon aunicité de la limite : une suite pxnq de points deM ne peut pas converger vers deux points différents.

Exercice 3. SoitpM, dqun espace métrique, oùdest la distance discrète. Déterminer les boules ouvertes deM.

Exercice 4. Soit pM, dqun espace métrique quelconque.

(1) On fixe un pointu₀ PM. Pour uP E, on définit une fonctionf_u :M ÑRen posant f_upxq dpx, uq dpx, u₀q pour tout x P M. Montrer que la fonction fu est bornée.

(2) Montrer que l’applicationu ÞÑfu est une isométrie depM, dq dans `⁸pMq; autrement dit, que pour tousu, v P M, on a

}f_vf_u}8 dpu, vq.

(3) Conclure que M est isométrique à une partie d’un espace vectoriel normé, autrement dit qu’il existe une isométrie bijective deM sur une partieM€d’un evn.

Exercice 5. Soit M un espace métrique, et soit px_nqnPN une suite de points de M convergeant vers un pointa PE. Montrer que l’ensemble K tau Y tx_n; n PNuest un compact de M.

Exercice 6. Soit pE, dq un espace métrique, et soit px_nqnPN une suite de Cauchy dans E. Montrer que si la suite px_nq possède une sous-suite convergente, alors elle est convergente.

Exercice 7. Soient E et F deux espaces métriques. Montrer que si f :E ÑF est une applicationuniformément continue, alorsf change les suites de Cauchy en suites de Cauchy.

1

Exercice 8. On note `¹pNq l’ensemble de toutes les suite de nombres complexes u pupiqqiPN telles que la série °

upiq est absolument convergente. Pour u P `¹pNq, on pose

}u}1 ¸⁸

i0

|upiq|. (1) Vérifier que} }1 est une norme sur`¹pNq.

(2) Montrer que pour toute suite de nombres complexes u pupiqqiPN et pour tout constanteC PR , on a l’équivalence suivante :

uP `¹pNq et }u}1 ¤C ðñ

@N PN :

¸N i0

|upiq| ¤ C .

(3) Soitpu_nqn¥0 une suite de Cauchy d’éléments de`¹pNq. Montrer que pour tout iPN, la suite pu_npiqqn¥0 est convergente dans C.

(4) Montrer que `¹pNqest complet pour la norme } }1.

Exercice 9. On note Lip₀pRq l’ensemble de toutes les fonctions lipschitziennes f : RÑR vérifiant fp0q 0.

(1) Montrer que Lip₀pRq est un espace vectoriel.

(2) Montrer qu’on définit une norme sur Lip₀pRq en posant }f} sup

"

|fpyq fpxq|

|yx| ; x, y P R, xy

* .

(3) Montrer que pour toute fonction f : R Ñ R telle que fp0q 0 et toute constanteC PR , on a l’équivalence suivante :

f PLip₀pRq et }f} ¤C ðñ @x, y P R : |fpyq fpxq| ¤C|yx|. (4) Montrer qu’on a|fpxq| ¤ }f} |x| pour toutef P Lip₀pRq et pour tout xP R;

et en déduire que si pf_nqest une suite de Cauchy dans Lip₀pRq, alors la suite pf_nqconverge simplement sur R.

(5) Montrer que Lip₀pRq est un espace de Banach.

Exercice 10. On considère l’espace Cpr0,1sq muni de la norme }f}1

»1 0

|fptq|dt.

(1) Montrer que l’on a effectivement un espace vectoriel normé.

(2) On veut montrer que cet espace n’est pas complet. Pour n¥2, on considère la fonctionf_n:r0,1s ÑRvalant 1sur

0,¹_2n¹

, valant1sur₁

2 1 n,1

, et affine sur r¹_{2 n}¹,¹_{2 n}¹s.

(a) Montrer que pf_nq est une suite de Cauchy pour la norme} }1.

(b) On veut montrer que la suite pfnq n’est pas convergente. Pour cela, on raisonne par l’absurde en supposant que la suite converge au sens de la norme } }1 vers une fonction f PCpr0,1sq.

(i) En observant que³_a

0|fptqf_nptq|dt¤ }ff_n}1 pour toutaP r0,1s et n P N, montrer qu’on a ³a

0|fptq 1| dt 0pour tout a P s0,¹₂r. Que peut-on en déduire pour la fonction f sur r0,¹₂r?

(ii) Conclure.

Exercice 11. Soit M s0,8r.

(1) M est-il complet pour la distance usuelle?

(2) Pouru, v PM, on pose

dpu, vq |vu| 1

v 1 u

. (a) Vérifier que d est une distance sur M.

(b) Montrer que d est topologiquement équivalente à la distance usuelle, autrement dit qu’une suite pu_nq „ M converge pour d si et seulement si elle converge pour la distance usuelle.

(3) Montrer que M est complet pour la distance d.

Exercice 12. Soit M r0,8r.

(1) M est-il complet pour la distance usuelle?

(2) Pour u, v P M, on pose dpu, vq _v¹_{1 u}¹₁. Montrer que d est une dis- tance sur M, et que d est topologiquement équivalente à la distance usuelle, autrement dit qu’une suitepu_nq „M converge pour d si et seulement si elle converge pour la distance usuelle.

(3) Montrer que l’espace métrique pM, dq n’est pas complet.

Exercice 13. On note c₀pNq l’ensemble des suites de nombres complexes tendant vers 0 à l’infini.

(1) Montrer que c₀pNq est un sous-espace vectoriel de `⁸pNq. (2) Montrer que c0pNq est complet pour la norme } }8.

Exercice 14. On note C0pRq l’ensemble des fonctions fontinues f :RÑR tendant vers 0 en8.

(1) Montrer que C0pRq est un sous-espace vectoriel de `⁸pRq. (2) Montrer que C0pRq est complet pour la norme } }₈.

Exercice 15. Soitpun nombre premier. On munitZde la distance p-adique, qui est définie comme suit : pour x, y P Z, on pose dpx, yq N_ppxyq avec N_ppnq p^vppnq où v_ppnq désigne le plus grand entier k tel que de p^k divise n lorsque n 0;

etN_pp0q 0.

(1) Justifier que pZ, dqest un espace métrique.

(2) Justifier que la suite x_m 1 p² p^2m (où m ¥1) est de Cauchy dans pZ, dq.

(3) L’espacepZ, dq est-il complet ?

Exercice 16. Soit E un espace vectoriel normé. On suppose que toute série nor- malement convergente à termes dans E est convergente. Le but de l’exercice est de montrer queE est complet.

(1) Soit pxnq une suite de Cauchy dans E. Montrer que pxnq possède une sous- suite pxn_kqtelle que }xn_k} ¤2^k pour toutk PN.

(2) Conclure en utilisant l’Exercice 6.

Exercice 17. Montrer qu’il existe une unique fonction f PCpr0,1sq vŕifiant:

@xP r0,1s : fpxq

»₈

0

cospxtq f xsinptq

4 t² dt.

Exercice 18. Soit pM, dq un espace métrique complet et soit Φ : M Ñ M. On suppose qu’il existe un entierd¥1telle que l’applicationΦ^dΦ Φ(composée d fois) est contractante.

(1) Montrer que Φadmet un unique point fixe.

(2) MOntrer que pour tout x0 P M, la suite pΦⁿpx0qqnPN converge vers le point fixe de Φ.

Exercice 19. Soit B ¥ 0, soit θ : r0, Bs Ñ r0, Bs une fonction continue, soit a : r0, Bs ÑR une fonction continue, et soit C P R. Pour toute fonctionf PCpr0, Bsq, on définit une fonction Φpfq:r0, Bs ÑR en posant

Φpfqpxq C

»_θpxq

0

aptqfptqdt pour tout xP ra, bs.

(1) On pose θ₁ θ, et on définit une suite de fonctions pθ_nqn¥1 en posant θ_{n 1}pxq ³θnpxq

0 dt. Montrer qu’il existe une constante M telle que, pour tout nPN, pour toutes f, g PCpr0, Bsqet pour tout xP r0, Bs, on a

|Φⁿpgqpxq Φⁿpfqpxq| ¤M|θ_npxq| }gf}₈.

(2) Dans cette question, on suppose qu’il existe un entiern0 tel que @xP r0, Bs :

|θ_n0pxq|  1. Montrer qu’il existe une unique fonction f PCpr0, Bsqtelle que

@xP r0, Bs : fpxq C

»_θpxq

0

aptqfptqdt.

(3) Dans cette question on prendθpxq x.

(a) Montrer que l’hypothèse de la question précédente est vérifiée, et identi- fier la fonction f.

(b) On suppose de plus que la fonction a est constante. Calculer Φⁿp1qpxq pour tout n P Net pour tout xP r0, Bs, et retrouver une formule “bien connue” pour la fonction f.

Exercice 20. Soit E un espace vectoriel normé, et soit K „E une partie non vide, convexe et compacte. Soit également f : K Ñ K une application 1-lipschitzienne.

Le but de l’exercice est de montrer que f possède un point fixe.

(1) On fixe un point x₀ PK et pour n PN, on définitf_n:K ÑE par f_npxq 1

nx₀

1 1 n

fpxq. (a) Montrer que fnpKq „ K.

(b) Montrer que f_n possède un unique point fixe x_n PK.

(2) Démontrer le résultat souhaité.

Exercice 21. Soit K un espace métrique compact, et soit f :K ÑK. On suppose qu’on adpfpxq, fpyqq  dpx, yqpour tousxydansK. En considérant l’application ϕ :K ÑR définie par ϕpxq dpx, fpxqq, montrer que f admet un point fixe; puis montrer que ce point fixe est unique.

Exercice 22. Soit ϕ : R Ñ R une fonction dérivable vérifiant ϕpxq ¡ 0 et 2   ϕ¹pxq  0 pour toutxPR.

(1) Donner un exemple de telle fonctionϕ.

(2) On pose fpxq x ϕpxq. Montrer que la fonction f vérifie |fpyq fpxq|  

|yx| pour tous xy dans R, mais que f n’admet pas de point fixe.

Exercice 23. Dans cet exercice, H est un espace de Banach réel, et on suppose de plus que la norme de H provient d’un produit scalaire, noté x , y. (Un tel espace H s’appelle un espace de Hilbert.) On se donne également une partie non vide, convexe et fermée C „H, et un pointxPH. On pose

distpx, Cq inft}xu}; uPCu.

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un et un seul point u P C tel que }xu} distpx, Cq.

(1) Vérifier que si u, u¹ PH, alors xu u¹

2

² 1

2 }xu}² }xu¹}² 1

4}uu¹}².

(2) Déduire de (1) qu’il existeau plus un pointuPC tel que}xu} distpx, Cq. (3) On posed distpx, Cq, et pour nPN, on définit

Fn

"

uPC; }ux} ¤d 1 n

* En utilisant (1), montrer que diampF_nq ¤ _n⁴2

8d n (4) Conclure en utilisant le théorème des fermés emboités.

Exercice 24. Soit d une distance sur Q. On suppose que d est topologiquement équivalente à la distance usuelle, ce qui signifie qu’une suite pxnq „ Qconverge pour d si et seulement si elle converge pour la distance usuelle. Le but de l’exercice est de montrer quepQ, dq n’est pas complet.

(1) Montrer que tout singleton tauest d’intérieur vide dans pQ, dq. (2) Conclure en utilisant le théorème de Baire.

Exercice 25. Le but de l’exercice est de montrer que l’espace vectoriel RrXs n’est complet pour aucune norme.

(1) Soit E un evn, et soit F „ E un sous-espace vectoriel strict (i.e. F E).

Montrer que F est d’intérieur vide dans E.

(2) Soit } } une norme sur RrXs. Pour n P N, on note RⁿrXs l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Montrer que Fn est fermé dans pRrXs,} }q.

(3) Conclure en utilisant le théorème de Baire.

Exercice 26. Soit f : R Ñ R une fonction continue. On suppose que pour tout t¡0 fixé, on alim_nÑ8fpntq 0.

(1) Soitε¡0. En considérant les ensembles F_k tt ¥0; @n¥k : |fpntq| ¤ εu et en utilisant le théorème de Baire, montrer qu’on peut trouvert un intervalle ouvertsa, br (avec 0 a  b) et un entier k₀ tel que

@n¥k₀ @t P sa, br: |fpntq| ¤ ε.

(2) Avec les notations de (1), montrer que l’ensemble ”

n¥k0sna, nbr contient un intervalle de la forme sA,8r.

(3) Montrer qu’on a lim_xÑ8fpxq 0.