1 Les espaces L

Université Paris-Dauphine 2021-2022

Cours “Intégrale de Lebesgue et Probabilités” Novembre 2020

Chapitre 5 - Les espaces L^p et L^p sur un espace mesuré

Table des matières

1 Les espacesL¹ etL¹ 1

2 Les espacesL^p etL^p, 1< p <∞ 2

3 Les espacesL^∞ etL^∞ 4

4 Espace de Hilbert et dualité dans L² etL² 5

5 Théorème de Radon-Nikodym 9

Sont écrites enrougeles parties hors programme.

Dans ce chapitre et sauf mention explicite du contraire, on fixe un espace mesuré(E,A, µ).

1 Les espaces L

et L

On a vu au chapitre 2 que l’ensembleL¹:=L¹(E,A, µ)des fonctions à valeurs réelles intégrables est un espace vectoriel. On rappelle également que pourf ∈ L¹, on définit

kfk1:=

Z

E

|f|dµ.

L’applicationk · k1:L¹→R+ est une semi-norme au sens où

kf+gk1≤ kfk1+kgk1, kλfk1=|λ|kfk1 ∀f, g∈ L¹, ∀λ∈R, mais seulementf = 0p.p. ssikfk₁= 0.

Lemme 1.1. Soit (f_n) une suite de L¹ telle que la série X

kf_nk₁<∞. Alors la série Pf_n converge dans L¹.

Preuve du Lemme 1.1. Il s’agit d’un résultat (Théorème III.4.1) d’un chapitre précédent.

Lemme 1.2. SoitE un espace vectoriel (semi)normé. Toute suite de Cauchy deE est convergente si, et seulement si, toute série (semi)normalement convergente deE est convergente.

Preuve du Lemme 1.2. Nous n’utiliserons pas le sens direct, sa preuve est donc omise. Supposons donc que toute série (semi)normalement convergente de E est convergente et montrons queE est complet. On noteN la (semi)norme deE. Soit(fn)une suite de Cauchy deE. En utilisant le critère de Cauchy, on peut alors définir une suite extraite(fn_k)qui satisfait

N(fn_k+1−fn_k)≤ 1

2^k, ∀k≥1.

On observe alors que

∞

X

k=1

N(fn_k+1−fn_k)≤1,

soit donc que la série de termes(f_nk+1−f_nk)_k est (semi)normalement convergente. Cette série est donc convergente d’après l’hypothèse faite surE. Il existe ainsig∈ E tel que

fn_k−fn₁ =

k−1

X

j=1

(fn_k+1−fn_k)→g lorsque k→ ∞

au sens de la (semi)norme N. En d’autres termes, en posantf :=fn₁+g, on a démontré N(f_nk−f)→0 lorsque k→ ∞.

En revenant à la définition d’une suite de Cauchy, on en déduit que c’est toute la suite (fn) qui converge versf au sens de la (semi)normeN.

Théorème 1.3 (de Riesz-Fischer dans L¹). L’espace L¹ est “complet” : si (fn) est une suite de Cauchy au sensL¹, il existe f ∈ L¹ tel quefn→f au sens L¹.

Preuve du Théorème 1.3. Il suffit de combiner les lemmes 1.1 et 1.2.

Définition 1.4. On définit la relation d’équivalence∼surL¹parf ∼g sif =g presque partout.

On définit L¹:=L¹/∼l’ensemble des classes d’équivalence.

Théorème 1.5 (de Riesz-Fischer dans L¹). L’espace L¹ est un espace de Banach : muni de la norme k · k₁, c’est un espace vectoriel normé complet.

2 Les espaces L

et L

, 1 < p < ∞

Définition 2.1. On définit L^p := L^p(E,A, µ) comme l’ensemble des fonctions f mesurables à valeurs réelles telles que|f|^p est intégrable. Pour f ∈ L^p, on définit

kfk_p:=Z

E

|f|^pdµ1/p

.

Lemme 2.2 (Inégalité de Young). Pour p, q ∈ (1,∞) deux exposants conjugués (cela signifie 1/p+ 1/q= 1), on a

uv≤1 pu^p+1

qv^q, ∀u, v >0.

Le cas d’égalité dans l’inégalité de Young impliqueu^p=v^q =uv. On notera souvent p⁰:=q.

Preuve 1 du Lemme 2.2. Comme la fonctionlogest concave, on a log1

pu^p+1 qv^q

≥1

plogu^p+1

qlogv^q = log(uv).

On déduit l’inégalité de Young de la propriété de croissance de la fonction log.

Preuve 2 du Lemme 2.2. Pourv >0fixé, la fonction ϕ(u) :=1

pu^p+1

qv^q−uv satisfait

ϕ⁰(u) =u^p−1−v, ϕ⁰⁰(u) = (p−1)u^p−2>0.

Elle est donc strictement convexe et atteint son minimum en l’uniqueu^∗>0 tel queϕ⁰(u^∗) = 0.

On calcule alorsu^∗=v^p−11 et

ϕ(u)≥ϕ(u^∗) =1

pv^p−1p +1

qv^q−v^p−11 v= 0, puisque les trois exposants sont égaux.

Théorème 2.3 (Inégalité de Hölder). Soientf, g deux fonctions mesurables etp, q∈(1,∞)deux exposants conjugués. Alors

Z

|f g|dµ≤Z

|f|^pdµ1/pZ

|g|^qdµ1/q

.

En particulier, f g∈ L¹ sif ∈ L^p,g∈ L^p0, et

kf gk1≤ kfkpkgkp⁰. (2.1) Le cas d’égalité dans l’inégalité de Hölder implique |f|^p/kfk^p_p=|g|^q/kgk^q_q.

Preuve du Théorème 2.3. Lorsque les deux intégrales dans le terme de droite de l’inégalité sont finies et non nulles, on pose

u:= |f| R

|f|^pdµ1/p, v:= |g|

R

|g|^qdµ1/q

et l’inégalité de Young implique Z |f|

R

|f|^pdµ^1/p

|g|

R

|g|^qdµ^1/qdµ≤1 p

Z |f|^p

R |f|^pdµdµ+1 q

Z |g|^q

R|g|^qdµdµ= 1,

d’où on conclut. Dans le cas contraire, l’inégalité est “triviale” : le terme de droite vaut+∞(resp.

0) si l’un des deux termeskfk_p oukgk_q vaut+∞et l’autre est différent de0 (resp. au moins l’un des deux termes est égal à0). Le cas d’égalité dans l’inégalité de Hölder correspond au cas d’égalité dans l’inégalité de Young pour les fonctionsuet v définies ci-dessus, et il suffit de traduire cette condition en termes de fonctionsf et g.

Théorème 2.4 (Inégalité de Minkowski). Pour toutf, g∈ L^p, on a kf+gkp≤ kfkp+kgkp.

En particulier, l’ensemble L^p est un espace vectoriel et l’application k · k_p : L^p → R+ est une semi-norme au sens où la condition d’inégalité triangulaire est vérifiée, mais on a seulementf = 0 p.p. si kfkp= 0.

Preuve du Théorème 2.4. On écrit Z

|f+g|^p ≤ Z

|f| |f +g|^p−1+ Z

|g| |f+g|^p−1

≤ Z

|f|^p1/pZ

|f+g|^{p0(p−1)1/p0} +Z

|g|^1/pZ

|f+g|^{p0(p−1)1/p0} ,

en utilisant l’inégalité de Hölder pour établir la seconde inégalité où donc p⁰ désigne l’exposant conjugué dep. En observant quep⁰(p−1) =p, la dernière inégalité s’écrit également

kf +gk^p_p≤(kfkp+kgkp)kf+gk^p/p_p ⁰, d’où on conclut en remarquant quep−p/p⁰= 1.

Lemme 2.5. Soit(f_n) une suite de L^p telle que la sérieX

kfnkp<∞. Alors la série Pf_n(x) est absolument convergente dansL^p.

Preuve du Lemme 2.5. On considère une série (f_n)qui est normalement convergente au sens de k · k_p. On définit la fonction mesurable et positive

g(x) :=

∞

X

n=1

|fn(x)|.

En utilisant successivement le théorème de Beppo Levi et l’inégalité de Minkowski, on a kgkp= sup

N≥1

N

X

n=0

|fn|

_p≤ sup

N≥1 N

X

n=0

kfnkp<∞.

On en déduit |g| < ∞ p.p., soit donc que la série (fn(x)) est absolument convergente, donc convergente, pour toutx∈A∈A,µ(A^c) = 0. On pose

f(x) := lim

N→∞FN(x), FN(x) :=

N

X

n=1

fn(x), ∀x∈A, f(x) := 0, ∀x∈A^c.

On observe alors que|FN −f|^p →0 p.p. et|FN−f|^p≤2^p(|FN|^p+|f|^p)≤2^p+1g^p, de sorte que F_N →f dansL^p grâce au théorème de convergence dominée.

Théorème 2.6 (de Riesz-Fischer dansL^p). L’espaceL^p est un espace “complet”.

Preuve du Théorème 2.6. Il suffit de combiner les lemmes 2.5 et 1.2.

Définition 2.7. On définitL^p:=L^p/∼l’espace des classes d’équivalence pour la relation d’équi- valence “égalité presque partout”, de sorte que l’espaceL^p est un espace de Banach.

3 Les espaces L

et L

Définition 3.1. On définit L^∞ l’ensemble des fonctions f à valeurs réelles mesurables telles que

|f| ≤C presque partout pour un certain C≥0. On définit

kfk_∞=supess|f|:= inf{C; |f(x)| ≤C ∀x∈A, µ(A^c) = 0}.

Présentons quelques propriétés élémentaires :

(1) |f| ≤ kfk∞ p.p pour tout f ∈ L^∞, puisque (passage à la limite dans la mesure d’une suite croissante d’ensembles)

µ({|f|>kfk_∞}) = limµ({|f| ≥ kfk_∞+ 1/n}) = 0.

(2)kf+gk∞≤ kfk∞+kgk∞ pour toutf, g∈ L^∞, puisque

|f+g| ≤ |f|+|g| ≤ kfk∞+kgk∞ p.p..

(3)Inégalité de Holder.Pourf ∈ L^∞, g∈ L¹, on a Z

|f g|dµ= Z

A

|f g|dµ≤ kfk∞

Z

A

|g|dµ, oùA∈A est tel que|f(x)| ≤ kfk_∞,∀x∈A,µ(A^c) = 0, ce qui implique

kf gk1≤ kfk∞kgk1. (3.1)

Théorème 3.2 (de Riesz-Fischer dansL^∞). L’espace L^∞ est un espace vectoriel « complet » au sens de la semi-norme k · k∞.

Preuve du Théorème 3.2. Pourf, g∈ L^∞ etλ∈R, on a

|f+λg| ≤ kfk∞+|λ| kgk∞<∞ p.p.,

ce qui montre queL^∞ est un espace vectoriel. Si(fn)est une suite de Cauchy au sens L^∞, on a par définition

∀ε >0, ∃Nε, ∀n, m≥Nε, kfn−fmk∞< ε, et donc également

∀ε >0, ∃Nε, ∀n, m≥Nε, ∃Aε,n,m∈A, ∀x∈Aε,n,m, |fn(x)−fm(x)|< ε, avecµ(A^c_ε,n,m) = 0. On définit alors

A:= \

ε∈Q^∗+

\

n,m≥N_ε

Aε,n,m∈A,

de sorte que µ(A^c) = 0parσ-sous-additivité de la mesure µet

∀ε∈Q^∗+, ∃N_ε, ∀n, m≥N_ε, ∀x∈A, |f_n(x)−f_m(x)|< ε.

Par comlétude deR, on en déduit qu’il existef mesurable définie par f(x) = limf_n(x)si x∈A, f(x) = 0 six /∈A, telle que

∀ε∈Q^∗+, ∃Nε, ∀n≥Nε, ∀x∈A, |fn(x)−f(x)| ≤ε, soit donc également

∀ε∈Q^∗+, ∃Nε, ∀n≥Nε, kfn−fk∞≤ε.

Cela signifie quekfn−fk∞→0, et donc également quef ∈ L^∞(par inégalité triangulaire).

Définition 3.3. On définitL^∞:=L^∞/∼l’espace des classes d’équivalence pour la relation d’équi- valence “égalité presque partout”, de sorte que l’espaceL^∞ est un espace de Banach.

4 Espace de Hilbert et dualité dans L

et L

Définition 4.1. Un espace de Hilbert H est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire (ou d’un produit hermitien) tel que c’est un espace de Banach pour la norme associée.

Exemple 4.2. L’espace L²=L²(E,A, µ;R)muni du produit scalaire (f, g)_L2:=

Z

f g dµ, ∀f, g∈L², (4.1)

est un espace de Hilbert. L’espaceL²=L²(E,A, µ;C)muni du produit hermitiien (f, g)_L2:=

Z f g dµ,¯ ∀f, g∈L²,

est un espace de Hilbert.

Théorème 4.3(de projection). SoitM un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H.

Il existe une applicationpM :H →M, appelée projection orthogonale surM, telle que

∀f ∈ H, kf −pMfkH= inf

g∈Mkf −gkH. (4.2)

Cette application est caractérisée par

(f−p_Mf, g)_H= 0, ∀g∈M. (4.3)

Enfin,p_M est une application linéaire et1-Lipschitzienne.

On a un résultat assez semblable lorsqueM est remplacé par un ensemble convexe fermé non vide.

Preuve du Théorème 4.3. On rappelle l’identité du parallélogramme 1

2ka−bk²+1

2ka+bk²=kak²+kbk², ∀a, b∈ H.

• Considérons une suite(g_n)deM telle que

kf −g_nkH→I:= inf

g∈Ckf−gkH. Par identité du parallélogramme, on a

1

2k2f −g_n−g_mk²_H+1

2kgn−g_mk²_H=kf−g_nk²_H+kf −g_mk²_H. Par convexité deM, on en déduit

kg_n−g_mk²_H ≤2kf −g_nk²_H+ 2kf −g_mk²_H−4I²→0 lorsque n, m→ ∞.

La suite(gn)étant de Cauchy, elle converge vers une limite notéepMf ∈M, qui vérifie donc (4.2).

• Par définition et convexité deM, on a

kf−p_Mfk²_H≤ kf−(1−t)p_Mf−thk²_H, ∀h∈M, ∀t∈(0,1).

On fixeh∈M. En développant le terme de droite et après simplification, on a 0≤t(f−pMf, pMf−h)_H+t²kpMf−hk²_H, ∀t∈(0,1).

En divisant partet en passant à la limite t→0, on en déduit 0≤(f−pMf, pMf−h)_H. On conclut quepMf satisfait (4.3) en choisissantg:=±(pMf−h).

• Réciproquement, siu∈M vérifie

(f−u, g)_H= 0, ∀g∈M, alors pour touth∈M, on a

kf−hk²_H− kf−uk²_H=k(f −u) + (u−h)k²_H− kf−uk²_H=ku−hk²_H≥0.

Cela prouve bien queuest solution du problème de minimisation (4.2).

• Siu1et u2∈M satisfont

(f −u1, g)_H= 0, (f−u2, g)_H= 0, ∀g∈M,

alors en particulier en prenantg=u2−u1dans la première inégalité etg=u1−u2dans la seconde inégalité, il vient

ku2−u1k²_H = (f−u1, u2−u1)H+ (u2−f, u2−u1)H= 0.

Cela prouveu₁=u₂ et l’unicité de la projection surM.

• Pourf1, f2∈ Hetλ∈R, on a

(f1−pMf1, g)H= 0, (f2−pMf2, g)H= 0, ∀g∈M, soit donc

(f1+λf2−(pMf1+λpMf2), g)H= 0, ∀g∈M.

Cela étant une caractérisation dep_M(f₁+λf₂), on a démontré la linéarité dep_M.

• Pourf ∈ Het en choisissantg:=pMf dans (4.3), il vient

kpMfk²_H−(f, pMf)H= (pMf−f, pMf)H= 0, et donc

kpMfk²_H= (f, pMf)H≤ kfkHkpMfkH. On en déduit immédiatement quep_M est1-Lipschitzienne.

Définition 4.4. Soit X un espace vectoriel normé. On appelle dual de X, on note X⁰, l’espace vectoriel normé des formes linéaires continues surX. Ainsi,ϕ∈X⁰, siϕ:X →Rest linéaire et

∃C≥0, ∀f ∈X, |ϕ(f)| ≤CkfkX. (4.4)

La norme surX⁰ est la norme d’opérateur définie par

kϕkX⁰ := inf{C≥0 satisfaisant (4.4)}= sup

f∈X\{0}

ϕ(f) kfkX

.

Exemples 4.5. Pourp∈[1,∞]et g∈ L^p0, l’application

L^p→R, f 7→ϕg(f) :=

Z f g dµ

est une forme linéaire continue surL^p. En effet, les inégalités de Hölder (2.1)et (3.1)nous disent Z

|f g|dµ≤ kfkpkgkp⁰,

de sorte queϕg(f)est bien définie. L’applicationϕg est alors évidemment linéaire et on voit qu’elle est continue en utilisant encore une fois les inégalités de Hölder (2.1)et (3.1).

Remarque 4.6. (1) Il convient de ne pas trop se formaliser sur le choix des espaces L^p ouL^p, puisque si U ∈L¹,u₁, u₂∈ L¹ avec u_i∈U et doncu₁=u₂ p.p., on a

Z

U dµ:=

Z

u1dµ:=

Z u2dµ.

En écrivantu∈ L^p(E,A, µ), on insiste sur le fait queuest une fonction définie en tout point de E, en écrivant u∈ L¹(E,A, µ), on insiste sur le fait queu est un vecteur d’un espace vectoriel normé.

(2) On note Φ :L^p0 →(L^p)⁰, l’applicationg7→Φ(g) :=ϕg définie dans l’exemple 4.5. On observe queΦest linéaire, puisque

ϕg₁+λg₂(f) = Z

f(g1+λg2)dµ= Z

f g1dµ+λ Z

f g2dµ=ϕg₁(f) +λϕg₂(f)

et qu’elle est injective puisque Φ(g) = 0 implique en particulier que 0 = ϕ_g(f) = kgk^p_p⁰0 et donc g = 0, en choisissant f := g|g|^p0−2 ∈ L^p lorsque p⁰ < ∞. Pour traiter la cas p⁰ = ∞, il faut supposer de plusµ σ-finie. En introduisant une suite(E_n)croissante de A telle que µ(E_n)<∞, E_n%E et la suite de fonctionsf_n :=g1_En, on a

Z

En

|g|²dµ=ϕ_g(f_n) = 0,

et donc encoreg= 0surE=∪En. On peut enfin démontrer quekϕgk(L^p)⁰ =kgk_Lp0 (le casp⁰<∞ se déduit du cas d’égalité dans l’inégalité de Hölder, le cas p⁰ =∞ est un peu plus fastidieux ...), de sorte queΦ :L^p0 →(L^p)⁰ est une application linéaire isométrique, soit doncL^p0 etΦ(L^p0)sont isomorphes et Φ(L^p0) est un sev fermé de (L^p)⁰. En « identifiant » L^p0 et Φ(L^p0), on notera donc parfoisL^p0⊂(L^p)⁰.

Théorème 4.7 (de représentation de Riesz - version abstraite). Etant donné un espace de Hilbert H, on peut identifier le dual deHavecH, soit doncH⁰=H. Plus précisément, siϕ∈ H⁰, il existe un unique vecteuru∈ Htel que

ϕ(g) = (u, g)_H, ∀g∈ H.

Preuve du Théorème 4.7. PosonsM :=ϕ⁻¹(0)qui est un sev fermé deH. SiM =Halorsϕ= 0 et on peut prendre u= 0. Dans le cas contraire, il existe f₀ ∈ H tel que ϕ(f₀)6= 0. En posant f := (pMf0−f0)/kpMf0−f0k_H, on a donc

f /∈M, kfkH= 1, (f, w) = 0, ∀w∈M.

Toutg∈ Hadmet une décompositiong=λf+w,λ∈R,w∈M, en posant λ:= ϕ(g)

ϕ(f), w:=g−λf, de sorte que

ϕ(w) =ϕ(g)−λϕ(f) = 0, doncw∈M.

En posantu:=ϕ(f)f, on en déduit

(u, g)H =ϕ(f)(f, λf+w) =ϕ(f)λkfk²_H=ϕ(g), pour toutg∈ H. C’était la relation souhaitée. L’unicité deuest immédiate.

Théorème 4.8 (de représentation de Riesz - version L²). L’espace L² est un espace de Hilbert lorsqu’il est muni du produit scalaire (4.1). Le dual de l’espaceL²s’identifie donc avec l’espaceL² lui-même. Soyons plus précis et considérons une forme linéaire et continue ϕsur L² au sens où ϕ:L²(µ)→Rest linéaire et

∃C∈R+, ∀g∈L², |ϕ(g)| ≤Ckgk2.

Alors, il existef ∈ L², unique (à une modification sur un ensemble négligeable près), telle que

∀g∈L², ϕ(g) = Z

f g dµ.

Preuve du Théorème 4.8. Il suffit de remarquer que le Théorème 4.7 s’applique.

5 Théorème de Radon-Nikodym

Définition 5.1. Soitpune fonction positive mesurable. La fonction d’ensemblesν:A →[0,+∞], notéeν =p µet définie par

ν(A) = Z

A

p(x)dµ(x), ∀A∈A,

est une mesure (utiliser le Théorème de convergence monotone de Beppo Levi), appelée mesure de densité (ou de poids)ppar rapport à la mesure µ. On dit alors queν est de baseµ.

Définition 5.2. Soient(E,A)un espace mesurable et deux mesuresµ, ν. On dit queν est abso- lument continue par rapport à la mesure µ, on note ν << µ, si tout ensemble négligeable pour µ est négligeable pour ν, ou en d’autres termes

(A∈A, µ(A) = 0) ⇒ ν(A) = 0.

Théorème 5.3 (de Radon-Nikodym). Soientµetν deux mesures positivesσ-finies sur un même espace mesurable(E,A)(pour une même suite croissante(En)deE). La mesureν est de baseµ si, et seulement si, elle est absolument continue par rapport à la mesure µ.

Preuve du Théorème 5.3. L’implication (ν est de baseµ) entraine (ν est absolument continue par rapport à la mesureµ) est claire. Nous montrons l’implication réciproque, et cela uniquement dans le casµ(E)<∞etν(E)<∞, l’extension au cas de mesuresσ-finies est laissée au soin du lecteur.

On poseσ=µ+ν, de sorteL²(σ) =L²(µ)∩L²(ν). L’application L²(σ)→R; f 7→

Z

E

f dν

est linéaire et continue. D’après le théorème de représentation de Riesz, il existeg∈ L²(σ)tel que Z

E

f dν= Z

E

f g dσ, ∀f ∈L²(σ). (5.1)

On ag∈[0,1]µ-p.p. puisque dans le cas contraire, on auraitσ(A)≥µ(A)>0pourA:={g≤ −ε}, ε >0assez petit, et donc

Z

A

dν = Z

A

g dσ≤ −εσ(A)<0,

ce qui est absurde, ouµ(B)>0 pourB:={g≥1 +ε}, ε >0 assez petit, et donc Z

B

dν= Z

B

g dσ ≥(1 +ε)Z

B

dν+ Z

B

dµ

>0,

ce qui est également absurde. Quitte à modifiergsur un ensembleµ-négligeable, on peut supposer g(x)∈[0,1]pour tout x∈E, ce que l’on fait désormais. On en déduit que ν =g σ =g(µ+ν).

PuisqueL^∞(µ)⊂L²(µ)(c’est ici que l’on utilise l’hypothèse µ(E)<∞), on a donc Z

f dν= Z

f g dµ+ Z

f g dν, puis

Z

f(1−g)dν= Z

f g dµ, (5.2)

pour toute fonction f ∈ L^∞(µ). L’identité (5.2) est donc également vraie pour toute fonction f ∈ M+, grâce à un argument d’approximation et en utilisant le théorème de convergence monotone dans les deux intégrales. En particularisant (5.2) aux fonctionsf caractéristiques d’ensemble, on obtient(1−g)ν =gµ. Une adaptation d’un argument précédent montre queg <1ν-p.p., puisque

dans le cas contraire on aurait ν(C) > 0 pour C := {g ≥ 1}, donc également µ(C) > 0 (c’est uniquement ici que l’on utilise l’hypothèseν << µ), et enfin

Z

C

dν= Z

C

g dσ≥ Z

C

dν+ Z

C

dµ >

Z

C

dν,

ce qui est absurde. En appliquant (5.2) à la fonctionf :=h/(1−g)∈ M+ avech∈ M+, on a Z

hdν= Z h

1−g(1−g)dν= Z h

1−gg dµ, ce qui prouve

ν= g 1−gµ, et donc queν est de baseµ.

Définition 5.4. Soient (E,A)un espace mesurable et deux mesures µ, ν. On dit que µetν sont étrangères, on noteν ⊥µ, si

∃F ∈A, µ(F) = 0, ν(F^c) = 0.

Théorème 5.5 (de Radon-Nikodym (suite)). Soientµ et ν deux mesures σ-finies sur un même espace mesurable(E,A). Il existe un unique couple (νa, νs) de mesures surA tel que

(i)ν =ν_a+ν_s; (ii) νa << µ,νs⊥µ.

Preuve du Théorème 5.5. On ne traite que le cas de mesures finies. On reprend la démonstration du Théorème 5.3 et les notations introduites dans la preuve de celui-ci. Le début de la preuve du Théorème 5.3 montre qu’il existeg∈ L²(σ)tel que ν=g(µ+ν)et0≤g≤1(après modification éventuelle sur un ensemble négligeable pour la mesureµ+ν) et que

Z

f(1−g)dν = Z

f g dµ, ∀f ∈ M+. (5.3)

On définit F := {x ∈ E;g(x) = 1}, ν^s := ν1F et ν^a := ν1F^c, de sorte que (i) est vérifié et ν^s(F^c) = 0. En choisissantf :=1_F dans (5.3), on a donc

µ(F) = Z

1Fg dµ= Z

1F(1−g)dν= 0,

de sorte que ν_s⊥µ. En choisissantf := (1−g)⁻¹ 1_Fc 1_A, A∈A, dans (5.3), il vient ν^a(A) =

Z

(1−g)⁻¹ 1F^c 1A(1−g)dν= Z

A

g

1−g1F^c dµ, de sorte que clairementν^a<< µ.