1 J 112 A la mode du taquin
Soit n ≥ 3. On considère un damier n x n dont les n2 cases contiennent initialement des zéros et un carré de dimension n ‒ 1 que l'on peut déplacer comme au jeu du taquin aux quatre coins du damier.
Une opération consiste à choisir l'une des quatre positions possibles du carré et dans chacune des cases appartenant à ce carré soit on ajoute + 1 soit on retranche ‒ 1.
Pour quelle(s) valeur(s) de n peut-on obtenir tous les entiers de 1 à n² à l'intérieur du damier après un nombre fini d'opérations?
Solution de Raymond Bloch.
Soient A,B,C,D les 4 cases de coin du damier n x n, et respectivement a,b,c,d les nombres d’opérations réalisées à partir de ces cases, et p=a+b+c+d le nombre total d’opérations conduisant à la présence des entiers de 1 à n2.
A B
C D
1- A la fin, les (n - 2)2 cases centrales auront été opérées p fois : une case centrale contiendra le nombre p si on a réalisé p fois +1, (p – 2) si on a réalisé (p – 1) fois +1 et une fois -1, et ainsi de suite (p – 4), (p – 6), … Les nombres des cases centrales auront donc tous la même parité que p.
2- Toutes les cases de la bordure entre A et B auront été actionnées (a+b) fois : elles contiendront donc l’un des nombres (a+b), (a+b-2), (a+b-4),…, tous de même parité que (a+b). Le même résultat s’applique pour les trois autres bordures avec les nombres (b+c), (c+d) et (d+a).
3- Si n=2k+1 est impair, la somme des entiers de 1 à n2 est impaire, et comme il y a n-1=2k cases dans le carré de dimension (n-1), les sommes ajoutées à chaque opération sont 2k, 2k-2, 2k-4, …, toutes paires. Il est donc impossible de réaliser l’objectif.
4- Si n=2k est pair, la somme des entiers de 1 à n2 est paire. Chaque opération ajoute 2k-1, 2k- 3, …, tous impairs : le nombre p d’opérations doit donc être pair.
Il s’en suit que les (n – 2)2 cases centrales contiendront toutes des nombres pairs P, et que les n2/2 nombres impairs I seront tous dans les bordures du damier, y compris éventuellement dans 1 ou 2 ou 3 cases de coin, selon l’une des 4 configurations possibles :
I P
P P soit un total de 2(n-2)+1 = 2n – 3 nombres impairs.
I I
P P soit un total de 2(n-2)+2 = 2n – 2 nombres impairs.
2
(*) I P
P I soit un total de 4(n-2)+2 = 4n – 6 nombres impairs.
I I
P I soit un total de 2(n-2)+3 = 2n – 1 nombres impairs.
Parmi ces 4 nombres (2n-1), (2n-2), (2n-3) et (4n-6), lesquels peuvent-ils être égaux à n2/2 où n ≥ 3 est entier ? L’équation du second degré obtenue n’a de solution que pour (4n – 6) nombres impairs : la solution unique est n = 6.
Nous sommes donc dans le cas de la configuration (*) : 36 opérations sont réalisées, ce qui place 16 des 18 nombres pairs de 2 à 36 dans le carré 4 x 4 central. L’une des bordures, par exemple la bordure inférieure, doit réaliser 35 opérations pour placer 35 dans une de ses cases : nous plaçons 17 et 18 respectivement dans les cases C et D.
Voici une configuration possible du damier 6 x 6 :
1 3 5 7 9 10
11 27
13 25
15 23
19 21
18 35 33 31 29 17
Les 16 nombres pairs de 2 à 36, autres que 10 et 18, sont placés dans le carré 4 x 4 central.
