Test 02 Décembre 2009
Faites en sorte que vos raisonnements soient clairs et bien rédigés. Barême indicatif. Durée : 1h – Calculatrice interdite. Traiter les exercices dans l’ordre de votre choix.
Exercice 1 – 5 points
Justifier que 82002+2 est divisible par 11.
Exercice 2 – 5 points 1. Enoncer le théorème de Fermat.
2. En déduire que pour tout nombre premier p, ap ≡a
( )
p , où a est un entier naturel.3. Prouver que ∀ ≥a 2, a7−a est divisible par 42
Exercice 3 [France 2009, 10 points]
Corrigé du test n°2
Exercice 1 – 5 points
1. Nous savons que
( ) ( ) ( )
2 3
8 8 11 8 2 11 8 6 11
≡
≡ −
≡
,
( )
( ) ( )
4 5
8 4 11
8 12 11 1 11
≡
≡ − ≡ − donc 810≡1 11
( )
, d’après les règles usuelles sur les congruences.2. Par ailleurs, 2002= ×10 200+2 donc 82002=
( )
810 200×82 et on a alors 82002≡( )
1200× −( ) ( )
2 11 ≡ −2 11( )
≡9 11( )
. Il s’ensuit que 82002+ ≡ +2 9 2 11( )
≡0 11( )
et donc 82002+2 est divisible par 11.Exercice 2 – 5 points
1. Petit théorème de Fermat :
« Si p est un nombre premier et que a est un entier premier avec p alors ap−1≡1
( )
p ».2. Soit donc p un nombre premier et a un entier naturel. Deux cas sont possibles.
> a est premier avec p : alors d’après le 1, ap−1 ≡1
( )
p et, soit en multipliant chaque terme par a, ap ≡a p( )
.> a est non premier avec p : cad qu’ils ont un diviseur commun différent de 1.
Mais p étant premier, ce diviseur commun est forcément p ! Donc p divise a et même p divise ap donc on a bien ap ≡a p
( )
(car congrus à 0 tous les deux).3. La décomposition de 42 en produit de facteurs premiers est 42= × ×2 3 7 : nous allons prouver que chacun de ces termes divise a7−a puis nous allons utiliser une conséquence du théorème de Gauss : (P) : « si (b|n et c |n avec pgcd(b ,c) = 1) alors bc | n ».
> Prouvons que 2 divise a7−a :
1. soit a est pair cad a≡0 2
( )
alors a7− ≡a 0 2( )
donc ce nombre est pair.2. soit a est impair cad a≡1 2
( )
alors a7− ≡ −a 1 1 2( )
≡0 2( )
donc ce nombre est pair.Dans tous les cas a7−a est divisible par 2.
> Prouvons que 3 divise a7−a :
1. soit a≡0 3
( )
alors a7− ≡a 0 2( )
donc ce nombre est divisible par 3.2. soit a≡1 3
( )
alors a7− ≡ −a 1 1 2( )
≡0 2( )
donc ce nombre est divisible par 3.3. soit a≡2 3
( )
alors a2 ≡4 3( ) ( )
≡1 3 donc a7− ≡a a6× −a a( )
3 ≡0 3( )
donc ce nombre est divisible par 3.Dans tous les cas a7−a est divisible par 3.
-> Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, d’après la propriété (P) rappellée ci-dessus, 6 | (a7−a).
> Par ailleurs, 7 étant premier, d’après le 2. on a 7 | (a7−a)
-> Comme 6 et 7 sont premiers entre eux, toujours d’après la propriété (P), 42 | (a7−a).
Exercice 3
1a. Soit (E) l’équation diophantienne 8x-5y = 3.
Il est clair que le couple
(
x y0, 0) ( )
= 1,1 est solution particulière de (E).Ainsi (x,y) est solution ssi 8x-5y = 8x0−5y0 ⇔8
(
x−x0) (
=5 y−y0)
(E’).Par conséquent, 5 divise 8 x
(
−x0)
et comme 5 est premier avec 8, d’après le théorème de Gauss on obtient 5 | x(
−x0)
donc il existe un relatif k tel que x−x0 =5k⇔ =x x0+5k.Subsituons cette valeur de x dans E’, il vient 8 5× k=5
(
y−y0)
⇔ =y y0+8k. Ainsi l’ensemble des solutions s de (E) est inclus dans{ (x0+5 ,k y0+8k)
,k∈ℤ}
.
L’inclusion réciproque étant évidente, on obtient les solutions voulues.
1b. Soit m tel que m = 8p+1 = 5q + 4.
(p,q) est solutions de (E) puisque 8p-5q = m-1 – (m-4) =3.
D’après 1a, p est donc de la forme p = 5k + 1 donc par subsitution, m = 8(5k+1) + 1 = 40k + 9.
On a donc bien m≡0 40
( )
.1c. Le plus petit m≥2000 est obtenu pour k = 50. On trouve alors que p = 251, q = 401 et m = 2009.
2a. On a
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
2 2 7 2 4 7 2 8 7 1 7
≡
≡
≡ ≡
donc par propriétés,
( )
23 k =23k ≡1 7( )
.2b. Comme
3
2009 2007 2
divisible par
= + , on a 22009 ≡22
( )
7 et comme 0≤ <4 7,’ est bien le reste de la division euclidienne par 7.3. Ecrivons N =a00b en base 10.
3a. On a
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
10 3 7
10 9 7 2 7 10 6 7 1 7
≡
≡ ≡
≡ ≡ − .
3b. N est divisible par 7 ssi N≡0 7
( )
⇔ ×a 103+ ≡b 0 7( )
⇔ − + ≡a b 0 7( )
⇔ ≡a b( )
7 .Les nombres N sont donc les suivants : 1001, 2002, …, 9009, ET 1008, 8001 et 2009, 9002 et 7000.
