Février 2010 TS2 Spécialité Maths Test n°3 : Similitude (1h)
EXO I.
Déterminer la forme réduite de la similitude directe s d’écriture complexe s z: '=i 3z− −z 1.
EXO II.
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct
(
O u v; ;)
. L’unité graphique est 2cm. On considère les points A, B, C, D d’affixes respectives a, b, c, d avec 1 ; 3 ; 3 3; 3 62 2 2
i i
a b e c i d e
π −π
= = = + = .
(1)
(a) Donner une forme exponentielle de c et la forme algébrique de d.
(b) Représenter les points A, B, C, D.
(2) Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre O qui transforme A en C.
(3)
(a) Montrer que les points D, A et C sont alignés.
(b) On note F et G les images respectives de D et C par s.
Montrer que les points C, F et G sont alignés.
Test n°3 : Corrigé
EXO I.
On a s z: '=z i
(
3 1− −)
1 cad l’écriture complexe de s est de la forme z’ = az +b avec a≠1 donc c’et une similitude directe de rapport i 3 1− =2, d’angle arg(
i 3 1− =)
23π et de centre d’affixe w telle que(
3 1)
1 ... 2 7i 3w=w i − − ⇔ ⇔ =w − − .
On obtient ainsi la forme réduite de s z: '− =w 2ei23π(z−w).
EXO II.
(a) Donner une forme exponentielle de c et la forme algébrique de d.
> 3 3 1 3 cos( ) sin( ) 3 6
2 2 6 6
c i i ei
π π π
= + = + =
> 3 6 1 3 6 1 3 3
2 2 2 4 4
i i
d e e c i
π π
= − = × = × = −
(b) Représenter les points A, B, C, D.
Plaçons B : b est de module 1 (car de forme eiθ ) donc il est sur le cercle de centre O et de rayon 1 unité.
Son argument est
3
π et cos 1
3 2
π
=
donc B est sur la verticale d’équation x = 0,5 (unité). Nous obtenons deux points potentiels. Comme sin 0
3 π
>
, B est le point du cercle et de la droite d’ordonnée positive.
Plaçons C : d’après son abscisse, on peut tracer la droite verticale d’équation x = 1,5 unité. Son ordonnée est 3
2 cad sin 3 π
donc celle de B : on trace donc l’horizontale qui passe par B et on obtient C.
C’est du même style pour D...
(2) Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre O qui transforme A en C.
S est de centre O : soit C O 3 i6
A O
z z c
Z c e
z z a
− π
= = = =
− .
Alors kS = Z = 3 et arg( )
s Z π6
θ = = (voir le 1).
(3a) Montrer que les points D, A et C sont alignés.
On a 1 3
2 AC +i
et 1 3
4 AD +i
−
: par conséquent, AC=2DA
et les vecteurs sont colinéaires donc les points sont alignés.
(3b) Montrer que les points C, F et G sont alignés.
On a s:
D F
C G
A C
→
→
→
: une similitude directe conserve l’alignement et les points D, C et A sont alignés (3a) ! Leurs images C, F et G sont donc aussi alignées.
