Mardi 4 janvier 2010.
Mathématiques. TS. 1 heure.
Calculatrice interdite.
Exercice 1 (3.5 pts)
Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1 = (3 − 2i)(1 − i) z2 = 1
3 - i z3 = 3 - 2i 1 - i z4 = (1 − i)² z5 = 3i+4 z6 = (3 2 )(1+ i +i) Exercice 2 (2 pts)
Déterminer le module et un argument des complexes suivants :
z1 = −5 z2 = 63i z3 = -2(1 − i)
Exercice 3 (3 pts)
Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants : z1 = 3 + i z2 = 3(-1 + i)
1 - i 3 z3 = sin(π/6) + i cos(π/6) Exercice 4 (3 pts)
a. Calculer le module et un argument de z = ( 3 - i)10 . b. En déduire sa forme algébrique.
Exercice 5 (4 pts)
Dans un repère (O ; u→ , v→) orthonormé positif du plan, A, B et C sont les points d’affixes respectives : a = −1 + i, b = 3 − i et c = −2 − i.
a. Déterminer les affixes des vecteurs AB→ et AC→ b. Calculer AB et AC
c. Déterminer une mesure de (AB→ ; AC→ ). Peut-on en déduire la nature du triangle ABC ? d. Déterminer une mesure de l’angle orienté (u→ ; OA→ ).
Exercice 6 (2 pts)
Dans un repère (O ; u→ , v→) orthonormé direct du plan, déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : a. |z – 2 + i| = |z + 3i|
b. |z + 4 – i| = 2
Exercice 7 (2.5 pts)
Pré-requis : Forme algébrique d’un nombre complexe et de son conjugué.
a. Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur, si et seulement si : z− = − z.
b. Démontrer que pour tout nombre complexe z et z’, on a l’égalité : z z× = ×' z z'.
Corrigé du Test
Exercice 1 (3.5 pts)
Donner la forme algébrique des complexes suivants :
z1 = (3 − 2i)(1 − i) = 3 – 3i – 2i – 2 = 1 – 5i z2 = 1
3 - i = 3 + i
(3 - i)(3 + i) = 3 + i 10 z3 = 3 - 2i
1 - i = (3 - 2i)(1 + i)
(1 - i)(1 + i) = 3 + 3i - 2i + 2 2 = 5 + i
2 z4 = (1 − i)² = 1 – 2i + i² = -2i z5 = 3i+4 = 4 – 3i z6 = (3 2 )(1+ i + = +i) (3 2 )(1i +i)= z1
Exercice 2 (2 pts)
Déterminer le module et un argument des complexes suivants : z1 = −5: |z1| = 5 donc
cos(argz1) = -1
sin(argz1) = 0 d’où arg z1 = π + 2kπ z2 = 63i |z2| = 63 donc cos(argz2) = 0
sin(argz2) = 1 d’où arg z2 = π 2 + 2kπ z3 = −2(1 − i) |z3| = 2 2 donc
cos(argz3) = -1/ 2
sin(argz3) = 1/ 2 d’où arg z3 = 3π 4 + 2kπ Exercice 3 (3 pts)
Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants :
> z1 = 3 + i |z1| = 2 donc
cos(argz1) = 3/2
sin(argz1) = 1/2 d’où arg z1 = π
6 + 2kπ et z1 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6))
> z2 = 3(-1 + i) 1 - i 3 = z
z' avec z = -3 + 3i et z’ = 1 - i 3 -> |z| = 18 = 3 2 donc
cos(argz) = -1/ 2
sin(argz) = 1/ 2 d’où arg z = 3π
4 + 2kπ -> |z’| = 2 donc
cos(argz') = 1/2
sin(argz') = - 3/2 d’où arg z’ = −π
3 + 2kπ -> |z2| = |z|
|z'| = 3 2
2 et arg z2 = arg z − arg z’ + 2kπ = 3π 4 + π
3 + 2kπ = 13π
12 + 2kπ = −11π
12 + 2kπ z2 = 3 2
2 (cos (−11π
12 ) + i sin (−11π 12 ))
> z3 = sin(π/6) + i cos(π/6) = cos(π 2−π
6 ) + i sin(π 2−π
6 ) donc z3 = cos π
3 + i sin π 3
Exercice 4 (3 pts)
a. Calculer le module et un argument de z = ( 3 - i)10 . on pose a = 3 − i
|a| = 2 donc a = 2[ 3/2 − i/2] = 2[cos (−π/6) + i sin (−π/6)] et donc arg a = − π/6 + 2kπ
> |z| = |a10| = |a|10 = 210 (= 1024)
> arg z = arg (a10) + 2kπ = 10× arg (a) + 2kπ = −10π/6 + 2kπ = −5π/3 + 2kπ = π/3 + 2kπ b. En déduire sa forme algébrique.
z = 1024(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 1024(1/2 + i 3/2) = 512 + 512 i 3
Exercice 5 (4 pts)
Dans un repère (O ; u→ , v→) orthonormé positif du plan, A, B et C sont les points d’affixes respectives : a = −1 + i, b = 3 − i et c = −2 − i.
a. Déterminer les affixes des vecteurs AB→ et AC→ : zAB→ = b − a = 4 − 2i et zAC→ = c − a = −1 − 2i
b. Calculer AB et AC : AB = | zAB→ | = 2 5 et AC = | zAC→ | = 5
c. Déterminer une mesure de (AB→ ; AC→ ). Peut-on en déduire la nature du triangle ABC ? (AB→ ; AC→ ) = arg c - a
b - a + 2kπ or c - a
b - a = -1 - 2i
4 - 2i = 1 + 2i
-4 + 2i = (1 + 2i)(-4 - 2i)
(-4 + 2i)(-4 - 2i) = … = -i
2 et arg -i
2 = − π/2 + 2kπ donc (AB→ ; AC→ ) = −π/2 + 2kπ on en déduit que la triangle ABC est rectangle (indirect) en A (non isocèle).
d. Déterminer une mesure de l’angle orienté (u→ ; OA→ ).
(u→ ; OA→ ) = arg a + 2kπ = 3π/4 + 2kπ (voir 3. : a = 1/3 z)
Exercice 6 (2 pts)
Dans un repère (O ; u→ , v→) orthonormé direct du plan, déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : a. |z – 2 + i| = |z + 3i|
|z – 2 + i| = |z + 3i| ⇔ |z − zA| = |z − zB| avec A d’affixe zA = 2 − i et B d’affixe zB = −3i
⇔ AM = BM donc l’ensemble cherché est la médiatrice de [AB]
b. |z + 4 – i| = 2
|z + 4 – i| = 2 ⇔ |z − zC| = 2 avec C d’affixe zC = −4 + i
⇔ CM = 2 donc l’ensemble cherché est le cercle de centre C et rayon 2.
Exercice 7 (2.5 pts)
Pré-requis : Forme algébrique d’un nombre complexe et de son conjugué.
a. Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur, si et seulement si : z−−−− = −−−− z.
Soit z = x + iy.
−z = − z ⇔ x – iy = −x – iy ⇔ x = −x ⇔ x = 0 ⇔ z est un imaginaire pur.
l’équivalence est démontrée.
b. Démontrer que pour tout nombre complexe z et z’, on a l’égalité : z z× = ×' z z'. Soit z = x + iy et z’ = a + ib
z × z’ = (x + iy)(a + ib) = (ax – by) + i(ay + bx) donc = (ax – by) − i(ay + bx) z–
= x – iy et z'–
= a – ib z–× z'–
= (ax – by) – i(ay + bx) =
