Test 03 - vecteurs

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Test 03 - Vecteurs Calculatrice interdite – 1h.

Les réponses devront être justifiées.

Exercice 1 (4.5 points)

A, B et C désignent 3 points non alignés.

Les tracés seront effectués dans la figure ci-dessous.

1a. Représenter le vecteur u=CA+BA . 1b. Tracer le point N tel que u=NC

. 2. Représenter le vecteur v=2AC+CB

. 3. Démontrer que v= −u

.

Exercice 2 (4 points)

ABC est un triangle, les points I et J sont tels que 1 AI=3AB

et JA=3CA . 1. Exprimer les vecteurs IC

et BJ

en fonction de AB et AC

. 2. Les droites (IC) et (BJ) sont-elles parallèles ?

Exercice 3 (6 points)

Soit ^R⁼

(

^{O u v}^{, ,}

)

un repère orthonormé du plan. On désigne par A(3 ;-2), B(5 ;2) et C(-1 ;5).

1. Déterminer la nature du triangle ABC.

2. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point D défini par BD=BA+BC . 3. Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.

Exercice 4 (5.5 points)

1. Soit A(-5 ;-1), B(0 ;1

3) et C(1 ;3). Les points A, B et C sont-t-ils alignés ? 2. Soit I(2 ;1). Déterminer les coordonnées du point D tel que AI=ID

. 3. Soit E(3 ;-1). Quelle est la nature du quadrilatère ACDE ?

BONUS : Exercice 5 (2 points)

Les questions sont indépendantes.

1. Soit A(-2 ;3) et B(3 ;-1). Déterminer le réel x tel que M(x ;x-1) soit sur (AB).

2. Soit u

(2x ;2) et v

(3 ;x). Déterminer le ou les valeurs de x pour lesquelles u

et v

sont colinéaires.

B

C A

(2)

2

Test 03 – Vecteurs - Corrigé Calculatrice interdite – 1h.

Exercice 1

A, B et C désignent 3 points non alignés.

Les tracés seront effectués dans la figure ci-dessous.

1a. Pour représenter le vecteur u=CA+BA

, on translate par exemple le vecteur CA

pour le mettre à l’origine A : il suffit alors d’appliquer la relation de Chasles pour déterminer u

.

1b. Le point N tel que u=NC

est alors placé comme ci-contre.

2. On raisonne de la même manière pour construire le vecteur v=2AC+CB . 3. Démontrons que v= −u

: il ne s’agit pas de « dire » que ces vecteurs sont de même direction, de sens opposé et de même norme, mais il faut le démontrer !

On a 2

Chasles

v= AC+CB=AC+AC+CB= AC+AB= −CA−BA

donc on a bien

v= −u

.

Exercice 2

1. Exprimons les vecteurs IC

et BJ

en fonction de AB et AC

. D’après la relation de Chasles : 1

AI=3AB

donc

1 1

3 3

AC+CI= AB⇔CI= AB−AC

donc 1

IC= −3AB+AC

. De même : JA=3CA

donc JB+BA=3CA⇔JB= −BA+3CA d’où 3

BJ= −AB+ AC .

2. D’après les relations vectorielles précédentes, BJ=3IC

donc les vecteurs BJ

et IC

sont colinéaires ce qui signifie par définition que leurs directions (BJ) et (IC) sont parallèles.

Exercice 3

Vous pourrez faire une figure pour vous aider.

Soit ^R⁼

(

^{O u v}^{, ,}

)

un repère orthonormé du plan. On désigne par A(3 ;-2), B(5 ;2) et C(-1 ;5).

1. Le triangle ABC semble être rectangle en ..

Utilisons le théorème de Pythagore.

On a 2 4 6

, , .

4 7 3

AB  AC−  et BC− 

     

     

Par conséquent, AB² = + =2² 4² 20, AC² = −( 4)²+ =7² 65,et BC² = −( 6)²+ =3² 45.

Dans le triangle ABC, AB² + BC² = AC² donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (non isocèle ici).

A

C u B

N

A

C B v

A C

B I

J

(3)

3

2. Déterminons, par le calcul, les coordonnées du point D défini par BD=BA+BC .

On a 2 6 8

4 3 1

BA−  BC−  u− 

+ =

     

− −

     

. Soit x

D y

  

  : alors 5 2 BD x

y

−

 

 − 

 

. Alors BD=BA+BC

si et seulement si les vecteurs 5 2 BD x

y

−

 

 

−

 

et 2 6 8

4 3 1

BA−  BC−  u− 

+ =

     

− − −

     

ont même coordonnées.

Par conséquent : 5 8 3

2 1 1

x x

y y

− = − = −

 

⇔

 

− = − =

  .

Le point D a donc pour coordonnées (-3 ;1), ce qui doit correspondre à la lecture graphique de votre figure…

3. Le quadrilatère ABCD semble être un rectangle.

On a :

> 2 2

4 , 4

AB  et DC 

   

   

donc AB=DC

donc ABCD est un parallélogramme.

> or ABC est rectangle en B donc le parallélogramme est un rectangle.

Exercice 4

1. Soit A(-5 ;-1), B(0 ;1

3) et C(1 ;3). Les points A, B et C sont-t-ils alignés ?

Méthode : pour montrer que des points sont alignés, on peut montrer que les vecteurs correspondants sont colinéaires.

On a 5 4 3 AB

  

  

 

et 6

AC 4

  

: calculons le déterminant de ces vecteurs pour voir si leurs coordonnées sont proportionnelles.

On a ^det

(

^{AB AC}^,

)

^{= × − × =}^{5 4 6} ⁴₃ ¹² qui est non nul donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit I(2 ;1). Déterminer les coordonnées du point D tel que AI=ID

. Soit x

D y

  

  alors 7 2 2 7

2 1 1 2

x x

AI ID

y y

− − =

    

= ⇔  = − ⇔ − =

soit D(9 ;3).

3. Soit E(3 ;-1). Quelle est la nature du quadrilatère ACDE ?

On a 6

ED 4

  

et 6

AC 4

  

donc ED=AC

et le quadrilatère est un parallélogramme (non rectangle et non losange).

1 1

A

B C

D

1 1

A

C D

E

(4)

4

BONUS : Exercice 5

Les questions sont indépendantes.

1. Soit A(-2 ;3) et B(3 ;-1). Déterminer le réel x tel que M(x ;x-1) soit sur (AB).

Méthode : pour montrer que M est sur (AB) ; il suffit de vérifier que les poins A, B, M sont alignés, cad que les vecteurs AM et AB

sont colinéaires.

Pour cela, on peut vérifier que le déterminant de ces vecteurs est nul.

Par hypothèse

1 M x

x

 

 

−

 . On a 2

4 AM x

x +

 

 

−

 

et 5 AB 4

 

−

 

donc ^det

(

^{AM AB}^,

)

^{= −}⁴

⁽

^x^{+ −}²

^{) (}

⁵ ^x^{− = − +}⁴

⁾

⁹^x ¹²^.

Ainsi, M est sur (AB) ssi 12 4

9 12 0

9 3

x x

− + = ⇔ = = .

2. Soit u

(2x ;2) et v

(3 ;x). Déterminer le ou les valeurs de x pour lesquelles u et v

sont colinéaires.

De même que dans le 1, on calcule le déterminant : ^det

( )

^{u v}^, ⁼²^{x x}^{× − × =}^{3 2} ²^x²⁻⁶^.

Ces vecteurs sont colinéaires ssi ^det

( )

^{u v}^, ^{= ⇔}⁰ ²^x²^{− = ⇔}⁶ ⁰ ^x² ^{= ⇔ =}³ ^x ³^{ou x}^{= −} ³^.