ANALYSE III, 2008-2009 Exercices–semaine du 02 mars 2009
TD 2
Les r´eponses aux questions ci-dessous doivent ˆetre justifi´ees.
1. D´eterminer les distributionsudeD0(R) qui v´erifient les ´equations suivantes (Y d´esigne la fonction car- act´eristique de [0,+∞[):
(a) xu= 0, xu= 1, xu=δ0, xu=u, x2u=u (b) Du=uY, xDu=uY, xDu=δ0
(c) Du+u= 0, Du+u=δ0
2. Simest un naturel strictement positif et Ω un ouvert deRn, on d´efinit l’espace de SobolevHm(Ω) comme
´
etant l’ensemble des ´elements u de D0(Ω) dont les d´eriv´ees Dku (k = 0, . . . , m) sont des distributions associ´ees `a des fonctions deL2(Ω).
On consid`ere Ω =]−1,1[ et la distribution uassoci´ee `a la fonction f(x) = x+|x|2 . Quel est le plus grand naturelmtel queu∈Hm(Ω)?
