ANALYSE III, 2007-2008 Exercices–semaine du 25 f´ evrier 2008
TD 2
Les r´eponses aux questions ci-dessous doivent ˆetre justifi´ees.
1. Soit
fm(x) = sin(mx)
x (m∈N0)
et soitum la distribution associ´ee `afm. Etudier la convergence de cette suiteum dansD0(R) 2. Soient les fonctionnelles d´efinies par
ϕ7→
+∞
X
m=−∞
Z
R
e2iπmxϕ(x)dx, ϕ7→
+∞
X
m=−∞
ϕ(m)
et not´ee respectivement
+∞
X
m=−∞
e2iπmx,
+∞
X
m=−∞
δm. Montrer que
+∞
X
m=−∞
e2iπmx=
+∞
X
m=−∞
δm
dansD0(R).
3. R´esoudre dansD0(R) (Y d´esigne la fonction caract´eristique de [0,+∞[):
Du=uY, xDu=uY, xDu=δ0, Du=vp(1/x), xu=u, x2u=u.
4. Simest un naturel strictement positif et Ω un ouvert deRn, on d´efinit l’espace de SobolevHm(Ω) comme
´
etant l’ensemble des ´elements u de D0(Ω) dont les d´eriv´ees Dku (k = 0, . . . , m) sont des distributions associ´ees `a des fonctions deL2(Ω).
On consid`ere Ω =]−1,1[ et la distribution uassoci´ee `a la fonction f(x) = x+|x|2 . Quel est le plus grand naturelmtel queu∈Hm(Ω)?
