Contrˆ ole de connaissance le 5 f´ evrier 2008

IMG 2007-2008 Groupe PM Universit´e Paris 8

Nom : Pr´enom : Num´ero d’´etudiant :

Contrˆ ole de connaissance le 5 f´ evrier 2008

Dur´ee : 3 heures

I. Soit (an)_n≥1une suite de nombres complexes. On pose, pour toutn∈N\ {0}, A_n=

n

X

k=1

a_k et B_n=

n

X

k=1

a_k k .

1) Montrer que, sizet wsont deux nombres complexes, alors |z| − |w|

≤ |z−w|.

2) En d´eduire que, si (an)n≥1converge dansCversa, alors (|an|)n≥1converge vers|a|.

3) Montrer que si la suite (A_n)_n≥1 est convergente dansC, alors lim

n→+∞a_n= 0.

4) Pour toutn∈N\ {0}, soitcn∈Rtel que|an| ≤cn et soitA^∗_n =

n

X

k=1

ck. Montrer que si la suite (A^∗_n)_n≥1 converge dansR, alors la suite (An)_n≥1converge dansC.

5) Montrer que, pour toutn∈N\ {0},

Bn =An

n +

n−1

X

k=1

Ak

k(k+ 1).

6) Montrer que la suite r´eelleXⁿ

k=1

1 k(k+ 1)

n≥1 converge dansRet d´eterminer sa limite.

7) En d´eduire que, si la suite (An)_n≥1 est born´ee, alors la suite (Bn)_n≥1 converge dansC. 8) Soitθ∈]0,2π[. Montrer que la suiteXⁿ

k=1

e^ikθ k

n≥1 converge dansC. (Indication : utiliser 7))

9) Montrer que la suiteXⁿ

k=1

1 k

n≥1 n’est pas convergente dansR. (Indication : montrer que ce n’est pas une suite de Cauchy)

II. On d´esigne parC[X] l’ensemble des polynˆomes complexes `a une variableX. Soit D:C[X]→C[X] l’application telle que

i) D(P+Q) =D(P) +D(Q) quels que soient P et QdansC[X], ii) D(aP) =aD(P) quels que soient a∈CetP ∈C[X],

iii) D(Xⁿ) =nXⁿ⁻¹quel que soitn∈N\ {0}, iv) D(1) = 0.

Sim≥1 est un entier, on d´esigne parD^m:C[X]→C[X] l’application compos´ee D◦D◦ · · · ◦D

| {z }

mcopies

. Enfin, on noteD⁰ l’application d’identit´e deC[X] vers lui-mˆeme.

1) D´eterminerD(X−1),D((X−1)²) et D((X−1)³).

2) L’applicationD est-elle injective ? Pourquoi ? 3) L’applicationD est-elle surjective ? Pourquoi ?

4) Montrer queD(X^n+m) =XⁿD(X^m) +X^mD(Xⁿ) quel que soit (m, n)∈N². 5) En d´eduire queD(P Q) =P D(Q) +QD(P) quels que soientP etQdansC[X].

(Indication : on commence par le cas particulier o`uP =Xⁿ) 6) En d´eduire que, pour tous les m∈N\ {0},P ∈C[X] etQ∈C[X],

D^m(P Q) =

m

X

i=0

C_mⁱ Dⁱ(P)D^m−iQ.

(Indication : r´ecurrence en m.)

7) Soienta∈Cetn∈Nquelconques, d´eterminerD((X−a)ⁿ). (Indication : utiliser 5)) 8) Montrer que, pour tout polynˆomeP∈C[X], il existeQ∈C[X] tel que

P(X)−P(a) = (X−a)Q(X).

9) SoientP ∈C[X], a∈Cet Q∈C[X] tel que (X−a)Q=P−P(a). Montrer que, pour tout entierm≥1, (m+ 1)D^mQ(a) =D^m+1P(a).

10) Montrer que, si P est un polynˆome de degr´endansC[X] et siaest un nombre complexe quelconque, alors

P =P(a) +DP(a)(X−a) +D²P(a)

2! (X−a)²+· · ·+DⁿP(a)

n! (X−a)ⁿ. (Indication : r´ecurrence en n)

11) (*) SoitP un polynˆome non-nul. On rappelle que la multiplicit´e d’une racineadeP est par d´efinition le plus grand entier naturel m∈Ntel que (X−a)^mdiviseP. Montrer que la multiplicit´e deaest ´egale au plus grand entier naturelm∈Ntel que

P(a) =DP(a) =· · ·=D^m−1P(a) = 0.