Devoir Surveill´e 1, MHT204, 15 f´evrier 2008

Devoir Surveill´e 1, MHT204, 15 f´evrier 2008

Exercice 1

Soit f : [0,1] −→ R une fonction continue telle que f(0) = f(1). Montrer que la fonction g d´efinie par

g(t) = f

t+1 2

−f(t) s’annule en (au moins) un point de l’intervalle [0,¹₂].

Exercice 2

Soit f la fonction d´efinie par f :]−π

4,π

2[→R; f(x) = sin(2x) 1. Quelle est l’image de l’intervalle ]−^π₄,^π₂[ par la fonction f? 2. Les bornes de f sont-elles atteintes dans ]− ^π₄,^π₂[ ?

Exercice 3

Soit θ un r´eel. On pose, pour tout entier n≥0, un = sinnθ

1. La suite (u_n)_n est-elle born´ee ? Admet-elle des sous-suites convergentes ? (justifiez votre r´eponse `a l’aide d’un th´eor`eme du cours)

2. On suppose, dans cette question, queθ =kπaveck un entier relatif. La suite (u_n)_n converge-t-elle ?

3. On suppose, dans cette question, queθ = ^π₄. Exhiber une sous-suite de (u_n)_nconver- geant vers−1 et une sous-suite convergeant vers

√ 2

2 . La suite (u_n)_n est-elle conver- gente ?

4. On suppose maintenant que λ= ^θ_π n’est pas un entier relatif, et que (un)n converge vers un r´eel u.

(a) En consid´erant la suite (sin(n+ 2)θ−sinnθ)_n, d´emontrer que la suite (cosnθ)_n tend vers 0.

(b) En consid´erant la suite (cos(n+ 2)θ−cosnθ)_n, d´emontrer que la suite (sinnθ)_n tend vers 0.

(c) D´eduire de a et b que la suite (sinnθ)_n diverge lorsque _π^θ n’est pas un entier relatif (on pourra consid´erer que sin²nθ+ cos²nθ= 1).

Remarque :On rappelle (gratuitement) que, pour tous p etq r´eels : sinp−sinq = 2 sinp−q

2 cosp+q

2 et cosp−cosq =−2 sin p−q

2 sinp+q 2