IUP SID Analyse 2008-2009

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IUP SID Analyse 2008-2009

Examen du 14 Novembre 2008 de 7h45 ` a 9h45

Aucun document n’est autoris´ e. Les calculatrices sont autoris´ ees.

1 Int´ egration

Calculer les int´ egrales suivantes : Z 2

0 x ² + 5

x ² + 5x + 4 dx, (1)

Z

^π₂

0 cos xdx

sin ² x + 5 sin x + 4 , (2)

Z +∞

0 x ^k exp −x ⁴

4 dx pour k = 3, 7, 11. (3)

2 S´ eries

1) Pour quelles valeurs de α > 0 la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n = (1 + n ² ) ^−α , (n ∈ N ) est-elle convergente ?

2) Soit ρ un r´ eel donn´ e. On consid` ere la suite (v _n ) d´ efinie par v ₀ = 1 et v n+1 = ρv n , (n ∈ N ).

Pour quelles valeurs de ρ la s´ erie de terme g´ en´ eral (v _n ) est-elle convergente. D´ eterminer la limite de cette s´ erie lorsque ρ = 1/3.

3 D´ eveloppements limit´ es

1) Donner le d´ eveloppement limit´ e de f(x) = (1 − x) ⁻¹ ` a l’ordre 5 au point 1/3. En d´ eduire les valeurs des 5 premi` eres d´ eriv´ ees de f en 1/3.

2) En utilisant les d´ eveloppements limit´ es calculer

x→0 lim

e ^x − 2(1 + x) + cos x + sin x

x ⁴ .

IUP SID Analyse 2008-2009

IUP SID Analyse 2008-2009

Examen du 14 Novembre 2008 de 7h45 ` a 9h45

Aucun document n’est autoris´ e. Les calculatrices sont autoris´ ees.

1 Int´ egration

Calculer les int´ egrales suivantes : Z 2

0

x 2 + 5

x 2 + 5x + 4 dx, (1)

Z

0

cos xdx

sin 2 x + 5 sin x + 4 , (2)

Z +∞

0

x k exp −x 4

4

dx pour k = 3, 7, 11. (3)

2 S´ eries

1) Pour quelles valeurs de α > 0 la s´ erie de terme g´ en´ eral u n = (1 + n 2 ) −α , (n ∈ N ) est-elle convergente ?

2) Soit ρ un r´ eel donn´ e. On consid` ere la suite (v n ) d´ efinie par v 0 = 1 et v n+1 = ρv n , (n ∈ N ).

Pour quelles valeurs de ρ la s´ erie de terme g´ en´ eral (v n ) est-elle convergente. D´ eterminer la limite de cette s´ erie lorsque ρ = 1/3.

3 D´ eveloppements limit´ es

1) Donner le d´ eveloppement limit´ e de f(x) = (1 − x) −1 ` a l’ordre 5 au point 1/3. En d´ eduire les valeurs des 5 premi` eres d´ eriv´ ees de f en 1/3.

2) En utilisant les d´ eveloppements limit´ es calculer

x→0 lim

e x − 2(1 + x) + cos x + sin x

x 4 .

x ² + 5

x ² + 5x + 4 dx, (1)

sin ² x + 5 sin x + 4 , (2)

x ^k exp −x ⁴

1) Pour quelles valeurs de α > 0 la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n = (1 + n ² ) ^−α , (n ∈ N ) est-elle convergente ?

2) Soit ρ un r´ eel donn´ e. On consid` ere la suite (v _n ) d´ efinie par v ₀ = 1 et v n+1 = ρv n , (n ∈ N ).

Pour quelles valeurs de ρ la s´ erie de terme g´ en´ eral (v _n ) est-elle convergente. D´ eterminer la limite de cette s´ erie lorsque ρ = 1/3.

1) Donner le d´ eveloppement limit´ e de f(x) = (1 − x) ⁻¹ ` a l’ordre 5 au point 1/3. En d´ eduire les valeurs des 5 premi` eres d´ eriv´ ees de f en 1/3.

e ^x − 2(1 + x) + cos x + sin x

x ⁴ .