Devoir n
◦3 S3PC 1
ersemestre 2008-2009
A rendre la semaine du 1 Décembre 2008.
Exercice 1. On considère le côneC1 dansR3 déni par :
C1={(x1, x2, x3)|x21+x22 ≤x23, 0≤x3≤1},
etS1 le solide homogène égal au côneC1 avec la densité constante ρ(x)≡1surC1. 1) Calculer la masse du solideS1.
2)Soit X1 le centre de gravité du solideS1. Montrer que X1 est sur l'axeOx3, puis calculerX1. SoitC2 la demi-boule :
C2={(x1, x2, x3)|x21+x22+x23≤1, x3≤0},
etS2 le solide homogène égal à la demi-bouleC2 avec la densité constante ρ(x)≡1 surC2. 3) Calculer la masseM2 deS2.
Indication : on pourra d'abord calculer la masse de la boule entière de rayon 1.
4) SoitX2 le centre de gravité du solideS2. Montrer que X2 est sur l'axeOx3 puis calculerX2. 5) SoitS le solide formé de la réunion deS1 etS2. Calculer le centre de gravitéX deS.
Figure 1 le culbutoS Tourner la page
Exercice 2. SoitC1, C2 ⊂R3 les cylindres de révolution d'axes respectifsOx1 etOx2, c'est à dire :
C1 ={(x1, x2, x3)|x22+x23 ≤1}, C2 ={(x1, x2, x3)|x21+x23 ≤1}.
Figure 2 les cylindresC1 etC2
1) SoitC =C1∩C2 l'intersection de ces deux cylindres, c'est à dire :
C={(x1, x2, x3)|x22+x23 ≤1, x21+x23≤1}.
Vérier que :
C ={(x1, x2, x3)| −1≤x3 ≤1, x21 ≤1−x23, x22≤1−x23}.
2) Calculer le volume deC :
Vol(C) =
Z Z Z
C
dx1dx2dx3.
Indication : intégrer une variable après l'autre dans un ordre bien choisi.
