Département des sciences économiques Ecole des sciences de la gestion ´ Université du Québec à Montréal

(1)

ECO 4272: Introduction `a l’ ´ Econom´etrie Examen final

Steve Ambler

Département des sciences économiques Ecole des sciences de la gestion ´ Université du Québec à Montréal

c 2014, Steve Ambler Automne 2014

Consignes importants

1. Ecrivez lisiblement.´

2. Justifiez vos réponses. La majorité des points seront attribuées pour le raisonnement.

3. Je ne pourrai accorder des pointspour une mauvaise r´eponse sans justi- fication. Voir le point 2.

4. La documentation n’est pas permise.

5. Ne simplifiez pas vos r´eponses. Cela va me permettre de suivre plus faci- lement votre raisonnement. Voir le point 2.

6. Les calculatrices ne sont pas permises. Voir le point 5.

7. Si je vous demande si une statistique calculée est significative, sans consulter les tables, vous pouvez donner une réponse approximataive. Je vous donne par contre les deux égalité suivants : Φ (−1.96) ≈ 0.025 et Φ (−2.57) ≈ 0.005, où la fonctionΦ (·)est la loi normale centrée réduite cumulée.

(2)

1 R´eponses courtes (20 points)

1. Une question pour vérifier que vous avez lu les notes de cours. Considérez le modèle de régression multiple suivant :

Y_i =β₀+β₁X_1i+β₂X_2i+u_i,

qui donne des coefficients estim´es βˆ₀,βˆ₁ etβˆ₂. Vous purgez l’effet deX₂ surY en estimant le mod`ele

Y_i =γ₀+γ₁X_2i+_i.

Appelons les résidus de l’estimation de ce modèleˆ_i. Vous purgez l’effet deX2 surX1en estimant le modèle

X_1i =α₀+α₁X_2i+ω_i.

Appelons les résidus de l’estimation de ce modèleωˆ_i. Considérez maintenant le modèle de régression linéaire donné par

ˆ

_i =δ₀+δ₁ωˆ_i+ε_i

Comment est-que les estim´esβˆ₁etδˆ₁se comparent ? Justifiez votre r´eponse.

2. Est-il possible de tester l’hypoth`ese jointe suivante : H₀ :β₁ =β₂ = 0 contre

H₁ :β₁ <0et/ouβ₂ >0.

Expliquez en d´etail.

3. De quoi d´epend l’impact de l’ajout d’une variable sur leR¯²? Expliquez en d´etail.

4. Le biais dû à une variable omise dépend seulement de la corrélation entre la variable omise et la variable incluse. Vrai ou faux ? Expliquez en détail.

(3)

2 Estimateur MCO (20 points)

Soit le modèle de régression suivant avec deux variables explicatives à part la constante :

Y_i =β₀+β₁X_1i+β₂X_2i+u_i.

Réécrivons le modèle pour se débarasser de la constante en soustrayant les moyennes

´echantillonnales : Y_i−Y¯

=β₁ X_1i−X¯

+β₂ X_2i−X¯

+ (u_i−u)¯ , que nous pouvons ´ecrire sous forme matricielle comme

Y =Xβ+u= [X₁ X₂] β₁

β₂

+u

ou

Y ≡

Y₁−Y¯

, Y₂−Y¯

, . . . , Y_n−Y¯0

, Xj ≡

Xj1−X¯j

, Xj2−X¯j

, . . . , Xjn−X¯j

0

, j = 1,2 et

u≡[(u1−u)¯ ,(u2−u)¯ , . . . ,(un−u)]¯ ⁰,

1. Écrivez le problème de minimisation à résoudre (en notation non matricielle) pour trouverβˆ1etβˆ2.

2. Écrivez les conditions du premier ordre pour résoudre le problème de minimisation, toujours sous forme non matricielle.

3. R´e´ecrivez les conditions du premier ordre sous forme matricielle.

4. ´Ecrivez la solution finale pourβˆ₁etβˆ₂sous forme matricielle. Vous pouvez utiliser la formule suivante pour inverser une matrice de dimensions2×2:

A₁₁ A₁₂

A₂₁ A₂₂

−1

= 1

A₁₁A₂₂−A₁₂A₂₁

A₂₂ −A₁₂

−A₂₁ A₁₁

5. ´Ecrivez cette solution sous forme de variances et covariances ´echantillonnales.

(4)

3 Mod`ele de r´egression multiple (45 points)

Soit mod`ele de r´egression multiple suivant :

Y_i =β₀+β₁X_1i +β₂X_2i+β₃X_3i+u_i.

Une estimation de ce modèle par MCO donne les résultats suivants : Coefficient Variable Estimé Ecart type´

βˆ₀ Constante 5.41 7.50

βˆ₁ X₁ 1.42 0.65

βˆ2 X2 -0.97 0.32

βˆ₃ X₃ 0.46 0.35 R² : 0.32

R¯² 0.31

SSR 23.48

F (3,3541) 13.95 Prob> F 0.0000

Le modèle a été estimésansl’optionrobuste. Donc, l’output pourrait être l’output standard généré par la commandesummary(·)enR.

1. Combien d’observations y a-t-il dans l’´echantillon ? Expliquez.

2. Commentez la significativit´e de chaque coefficient estim´e (individuelle- ment). Soyez explicites.

3. Décrivez de façon générale (une description en mots pourra suffire) comment détecter la présence d’observations aberrantes ou influentes après l’estimation du modèle.

4. Décrivez deux façons de tester l’hypothèse nulle que les erreurs du modèle sont homoscédastiques.

5. Quelle est l’hypothèse nulle testée par la StatistiqueF dans la deuxième partie du tableau ? Quelle est l’hypothèse alternative ?

6. ´Ecrivez cette hypoth`ese (jointe) sous forme matricielle.

7. Décrivez comment tester l’hypothèse que toutes les variables sauf la constante et la variableX₁sont non significatives, avec la matrice variance-covariance robuste. Quelle est l’hypothèse alternative ?

(5)

8. Serait-il possible de tester l’hypothèse de la sous-question précédente en estimant une version contrainte du modèle ? Quel serait le modèle estimé ? Quelle hypothèse doit tenir pour que cette approche soit valide ?

9. Expliquez bri`evement comment construire l’intervalle de confiance de 95%

pour l’impact deX2 sur la variable d´ependante.

10. Vous ajoutez une quatri`eme variable explicative au mod`ele, qui devient Y_i =β₀+β₁X_1i+β₂X_2i+β₃X_3i+β₄X_4i+ ˜u_i.

Vous r´eestimez le mod`ele. Vous trouvez que le coefficientβˆ₄ est positif et significatif, et que le coefficientβˆ₁reste significatif mais devient plus petit.

Donnez une explication (l’explication peut ˆetre en mots) pour ce qui arrive

`aβˆ₁

11. D´ecrivez ce qui arrive auR² lors de l’ajout de la variable et pourquoi.

12. D´ecrivez ce qui doit ou ce qui peut arriver au R¯² lors de l’ajout de la variable et pourquoi.

4 Modèles de régression non linéaires (25 points)

Soit le modèle de régression non linéaire suivant : Yi =β0+β1X1i+β2X1i2

+β3X2i+β4X1iX2i+ui

Vous avez estimé ce modèle et vous voulez prédire l’impact surY_id’une augmen- tation deX1i.

1. Est-ce que ce modèle est non linéaire dans les paramètres ? Expliquez clai- rement en donnant une réponse mathématique ainsi qu’en mots.

2. Dérivez une expression algébrique pour le changement prédit (∆Y ≡Y2−Y1) suite à un changement de la valeur de la première variable explicative de X₁₁ àX₁₂ (∆X₁ ≡ X₁₂−X₁₁), pour une valeur constante de la deuxième variable donnée par X₂₁. Notez que Y₂ donne la valeur de Y après le changement de la valeur de X1, et Y1 donne valeur initiale. X₁₁ donne la valeur initiale de X₁ et X₁₂ sa valeur après le changement. La valeur de X₂ reste constante. Vous pouvez utiliser l’approximation suivante :

2

(6)

=X₁₁²+ 2×∆X₁×X₁₁+ (∆X₁)²

≈X112

+ 2×∆X1 ×X11

si∆X₁ est suffisamment petit.

3. En écrivant∆Y /∆X₁sous la formeδ⁰β, écrivez une expression pour l’intervalle de confiance autour du changement prédit.

4. Écrivez un modèle équivalent qui permet de calculer l’écart type du changement prédit comme l’écart type d’un des coefficients estimés.

5. Écrivez sous forme matricielle l’hypothèse nulle jointe à tester qui permet de calculer l’écart type du changement prédit.

5 Convergence (15 points en bonus)

Dans le mod`ele que vous avez r´esolu dans la question (2) ci-dessus, supposez maintenant que

Cov(X₁ , X₂) = 0.

Autrement dit, la covariance (dans la population) entreX₁etX₂ est z´ero. Suppo- sez aussi que

Cov(X₁ , u) = 0 mais

Cov(X₂ , u)6= 0.

1. Montrez que

βˆ₁ −→^p β₁.

2. Montrez queβˆ₂ne converge pas en probabilit´e `aβ₂.

document cr´e´e le : 09/12/2014