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Les R` egles du Calcul Matriciel
D´ efinitions
Une matricem×nest une matrice `a m Lignes etn Colonnes (dimensionsLi×Co).
Le facteur situ´e au croisement de laii`eme ligne et de laji`eme colonne est not´eaij. La matrice peut ˆetre not´ee entre parenth`eses ou entre crochets :
M =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2j . . . a2n
... ... . .. ... . .. ... ai1 ai2 . . . aij . . . ain
... ... . .. ... . .. ... am1 am2 . . . amj . . . amn
= [aij] avec 16i6m et 16j6n
On appelle transpos´ee de la matriceM (qui est une matricem×n), la matricen×mnot´eeMT obtenue en rempla¸cant les lignes par les colonnes.
Si M = [aij] Alors MT = [aji] avec 16i6m et 16j6n
Produit de deux matrices quelconques
On peut faire le produit d’une matricem×npar une matricen×p, on obtient alors une matricem×p.
A×B=R ou aussi : [aik]×[bkj] = [rij] avec 16i6m ; 16k6n et 16j6p
Le facteur de laii`emeligne,ji`emecolonne deR, la matrice produit, est la somme des produits terme `a terme des facteurs de la ligneide la matriceApar les facteurs de la colonnej de la matriceB.
C’est `a dire : rij =
n
X
k=1
(aik×bkj)
D´ eterminant d’une matrice carr´ ee
Le d´eterminant d’unematrice carr´ee n×nest un nombre not´e entre deux barres verticales :
det (M) =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2j . . . a2n ... ... . .. ... . .. ... ai1 ai2 . . . aij . . . ain
... ... . .. ... . .. ... an1 an2 . . . anj . . . ann
avec 16i6m et 16j6n
On calcule ce d´eterminant en choisissant une ligne quelconque (ou une colonne quelconque) et en effectuant la somme des produits de chaquefacteur de cette ligne (ou colonne) par soncofacteur.
Exemples en choisissant soit la lignei, soit la colonnej : det (M) =
n
X
k=1
aik×cofacteur(aik) =
n
X
k=1
akj×cofacteur(akj)
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Cofacteur d’un facteur d’une matrice
Le cofacteur du facteur aij de M (une matrice carr´ee n×n) se calcule en multipliant par (−1)i+j le d´eterminant (n−1)×(n−1) obtenu en supprimant la ligneiet la colonnej de la matriceM.
On appelle matrice des cofacteurs ou aussi matrice adjointe de la matrice carr´ee M, la matrice not´ee Mf obtenue en rempla¸cant chaque facteur par son cofacteur.
Mf= [cofacteur(aij)] avec 16i6m et 16j 6n
Inverse d’une matrice carr´ ee
Si det(M)6= 0 On noteM−1 la matrice inverse de la matrice carr´ee M est : M−1= 1 det(M)MfT
Cas particuliers : Matrices 2×2 et Matrices 3×3
Produit de deux Matrices a b
c d
×
α β γ δ
=
aα+bγ aβ+bδ cα+dγ cβ+dδ
a b c d e f g h i
×
r s t u v w x y z
=
ar+bu+cx as+bv+cy at+bw+cz dr+eu+f x ds+ev+f y dt+ew+f z gr+hu+ix gs+hv+iy gt+hw+iz
D´eterminants
a b c d
=ad−bc et
a b c d e f g h i
=aei+dhc+gbf−gec−dbi−ahf
Inverses d’une Matrices2×2 Soit : M =
a b c d
; Mf=
d −c
−b a
et MfT =
d −b
−c a
La matrice inverse deM est : M−1= 1
det(M)MfT = 1
a b c d
d −b
−c a
=
d ad−bc
−b ad−bc
−c ad−bc
a ad−bc
Inverses d’une Matrices3×3
Soit : M =
a b c d e f g h i
et : Mf=
e f h i
−
d f g i
d e g h
−
b c h i
a c g i
−
a b g h
b c e f
−
a c d f
a b d e
M−1= 1
det(M)MfT = 1
a b c d e f g h i
e f h i
−
b c h i
b c e f
−
d f g i
a c g i
−
a c d f
d e g h
−
a b g h
a b d e
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