CC2 - Topologie A (25/10/2017)

CC2 - Topologie A (25/10/2017)

Premier Semestre 2017-2018

La bar`eme est seulement indicatif.

Exercice 1. (4 pt.) Soitf : [0,1]→Rune application continue telle quef(1) = 0.

(a) On d´efinit la suite de fonctions(g_n)_n∈N, o `ug_n : [0,1]→ R, parg_n(x) =xⁿf(x), pour toutx∈[0,1]. Montrer queg_nconverge uniform´ement sur l’intervalle[0,1]. Donner la limite.

(b) On d´efinit la suite de fonctions(hn)n∈N, o `uhn : [0,1]→ R, parhn(x) = f(xⁿ), pour toutx ∈[0,1].

Montrer quehn converge simplement sur l’intervalle[0,1]. Que peut-on dire def si la convergence est uniforme ?

Exercice 2. (5 pt.) On consid`ere l’ensemble X =n

f ∈C([0,1],R) :f(1) = 0o .

Pour tout(f, g)∈X², on d´efinit l’ensemble A(f, g) =n

x∈[0,1] : f(y) =g(y)pour touty∈[x,1]o et l’applicationd:X×X →Rdonn´ee pard(f, g) = infA(f, g).

(a) Montrer quedest bien d´efinie et qued(f, g)∈A(f, g).

(b) Montrer que(X, d)est un espace m´etrique. La distancedest-elle induite par une norme?

(c) Soit

d_∞(f, g) = sup

x∈[0,1]

|f(x)−g(x)|

la distance infini. D´emontrer queid1 : (X, d)→(X, d∞)etid2 : (X, d∞)→(X, d), dont l’application sous-jacente est l’identit´e, ne sont pas continues.

Exercice 3. (6 pt.) Soit`<sup>∞</sup> ⊆R<sup>N</sup>l’ensemble de suites r´eelles born´ees et soitd: `^∞×`^∞ →Rl’application d´efinie par

d

(an)n∈N,(bn)n∈N

=X

n∈N

|bn−an| 2ⁿ .

(a) Montrer que(`^∞, d)est un espace m´etrique.

(b) Prouver qu’il existe un ensemble d´enombrableS⊆`<sup>∞</sup>dense dans(`^∞, d). (c) Soitd∞:`<sup>∞</sup>×`^∞→Rdonn´ee par

d_∞

(an)_n∈N,(bn)_n∈N

= sup

n∈N

|bn−an|.

Montrer qu’il existe une suite(xn)_n∈N∈(`<sup>∞</sup>)<sup>N</sup>qui converge pourdmais pas pourd<sub>∞</sub>. (d) L’espace m´etrique(`^∞, d)est-il complet?

Exercice 4. (5 pt.) On dit qu’un espace m´etrique(E, d)estm´etriquement homog`enesi pour tousx, y∈Eil existe une isom´etrie bijectivef :E→Etelle quef(x) =y.

(a) SoitE1 =Sⁿ ⊆ Rⁿ⁺¹la sph`ere unit´e munie de la distance induite par la distance euclidienne deR<sup>n+1</sup>. Montrer queE1est m´etriquement homog`ene.

(b) SoitE2 ⊆Rⁿ la boule unit´e (centr´ee autour de l’origine0_Rⁿ deRⁿ) munie de la distance induite par la distance euclidienne deRⁿ. Montrer que toute isom´etrie bijectivef deE2satisfait quef(0_Rⁿ) = 0_Rⁿ. En d´eduire queE2n’est pas m´etriquement homog`ene.