{ (x y z, , )∈ℝ3|x+ + =y z 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de ℝ3.

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Exercice 1 -

On pose ^F=

{ (

^{x y z, ,}

)

^{∈ℝ3|x+ + =y z 0}

}

. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de ℝ³.

Les deux lois impliquées sont bien sûr classiquement la lci + dans ℝ³ et la lce × avec un élément de ℝ_. . inclusion : par définition, F⊂ℝ³.

. élément neutre de + ^:

(

^{0 0 0, ,}

)

^∈F

. F est-il un espace vectoriel ? .

(

^F,+

)

groupe abélien :

. stabilité :

(

^{x y z, ,}

) (

^{, , ,a b c}

)

^∈F⇒

(

^{x y z, ,}

) (

^{+ a b c, ,}

) (

^{= +x a y, +b z, + ∈c}

)

^F

car x+ + + + + = + + + + + = + =a y b z c x y z a b c 0 0 0 . associativité et commutativité : évidentes

. élément neutre :

(

^{0 0 0, ,}

)

^∈F ; inverse de

(

^{x y z, ,}

)

^:

(

^{− − − ∈x, y, z}

)

^F

. stabilité par la lce × ^:

( ) ( ) ( )

( )

, , et , , , ,

car 0 0

x y z F x y z x y z F

x y z x y z

λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

∈ ∈ ⇒ = ∈

+ + = + + = × = ℝ

. distributivité de × ^sur + : immédiate Donc F est un sous-espace vectoriel de ℝ³. Exercice 2 -

L’ensemble ℝ^ℕ des suites réelles est un espace vectoriel sur ℝ. Montrer que le sous-ensemble S_{a b,} des suites définies par récurrence par u_n+2=au_n+1+bu_n en est un sous-espace vectoriel.

Montrons trois points importants :

. élément neutre de + : la suite nulle, qui fait bien partie de S_{a b,} . inverse de

( )

u_{n n}∈S_{a b}, :

( )

−u_{n n}∈S_{a b},

. stabilité par la lce × et par la lci + :

( ) ( ) ( ) ( )

(

^,

) ( ) ( )

,

, , ,

. .

2 2 1 1

1 1

et

Donc

n n a b n n n n n n

n n n n n n n a b

u v S n u v au bu av bv

a u v b u v u v S

λ µ λ µ λ µ

λ µ λ µ λ µ

+ + + +

+ +

∈ ∈ ⇒∀ ∈ + = + + +

= + + + + ∈

ℝ ℕ

.

Exercice 3 -

1) Ecrivez le vecteur

(

^{1 2 5, ,−}

)

comme combinaison linéaire des vecteurs

(

^{1 1 1 , , ,}

) (

^{1 2 3 et , ,}

) (

^{2 1 1,− ,}

)

^.

Les coefficients a, b, c de cette (ces ?) combinaison(s) sont les solutions du système : / /

2 1

3 1 3 2

2 1 2 1 2 1 8

2 2 3 1 3 1 19 5

3 5 2 6 2 5 8 8 5

a b c a b c a b c a

a b c L L b c b c b

a b c L L b c L L c c

+ + = + + = + + = =

   

   

+ − = − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −

   

 + + = − −  − = − −  = −  = −

   

2) Pour quelle valeur de k le vecteur

(

^{1 2,− ,k}

)

est-il combinaison linéaire de

(

^{3 0 2 et , ,}

) (

^{2,− −1, 5}

)

^?

Les coefficients a, b de cette (ces ?) combinaison(s) sont les solutions du système :

3 2 1 3 4 1 1

2 2 2

2 5 2 10 12

a b a a

b b b

a b k a k k

+ = + = = −

  

  

− = − ⇔ = ⇔ =

  

 − =  − = − =

  

.

Il n’y a qu’une combinaison possible, et seulement pour k = –12.

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Page 2

Exercice 4 -

On traitera ici de combinaisons linéaires créées par des coefficients réels.

1) Quel est l’espace engendré par

{ ( ) ( )

^{1 0, , ,0 1}

}

^?

Si a et b parcourent ℝ, ^a

( ) ( ) ( )

^{1 0, +b 0 1, = a b, parcourt ℝ2} tout entier. ^Vect

( ( ) ( )

^{1 0, , ,0 1}

)

^=ℝ2.

2) Quel est l’espace engendré par

{ (

^{1 0 1, , , , ,}

) (

^{1 0 1−}

) (

^{, , ,3 0 2}

) }

^?

Si a, b et c parcourent ℝ, ^a

(

^{1 0 1, ,}

) (

^{+b 1 0, ,− +1}

) (

^{c 3 0 2, ,}

) (

^{= + +a b 3 0c, ,a− +b 2c}

)

^∈ℝ3.

Est-ce qu’à tout vecteur de ℝ³ correspond un tel triplet

(

^{a b c, ,}

)

? Non, pas les vecteurs dont la deu- xième coordonnée est non nulle.

( ) ( ) ( )

(

^{1 0 1, , , , ,1 0 1 , , ,3 0 2}

)

Vect − est au maximum égal à l’ensemble, que nous noterons ℝ³_×2 des vec- teurs de ℝ³ dont la deuxième coordonnée est nulle.

Est-ce qu’à tout vecteur de ℝ³_×2 correspond un tel triplet

(

^{a b c, ,}

)

^?

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

, , .

, , , , , , , , , ,

3

Soit 0 2

1 0 1 1 0 1 3 0 2 0 3 0 2

1

3 3 2

2 2 5 1

2 5

v x y

v a b c x y a b c a b c

b x y c

a b c x a b c x

a b c y a c x y

a x y c

= ∈ ×

= + − + ⇔ = + + − +

 = − −

+ + = + + = 

  

⇔ ⇔ ⇔

− + = + = +

   = + −

ℝ

A tout vecteur de ℝ³_×2 correspond une infinité de triplets

(

^{a b c, ,}

)

: c peut être choisi librement, puis a et b peuvent être obtenus. ^Vect

( (

^{1 0 1, , , , ,}

) (

^{1 0}−¹

) (

^{, , ,3 0 2}

) )

=ℝ³×².

Par exemple : v=

(

^{5 0 1, ,}

)

∈ℝ³_×^2. v=a

(

^{1 0 1, ,}

) (

+b ^{1 0, ,}− +¹

) (

c 3 0 2 avec ^{, ,}

)

c=2^,a= −2^,b=1^. 3) Quel est l’espace engendré par 1 0 , 1 1

0 1 0 1

   

 

   

   

  ?

Montrer qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de ^M2

( )

^{ℝ .}

Si a et b parcourent ℝ, 2

( )

1 0 1 1

0 1 0 1 0

a b b

a b

a b +

     

+ = ∈

     

+

      M ℝ _.

Toute matrice de M2

( )

ℝ ne peut être combinaison linéaire de 1 0 1 1 0 1 et 0 1

   

   

   , puisque ces der- nières représentent des matrices dont le terme L2C1 est nul et dont les termes diagonaux sont égaux.

Nommons M2*

( )

ℝ l’ensemble des matrices possédant ces caractéristiques.

1 0 , 1 1

0 1 0 1

Vect   

   

   

  est au maximum égal à M2*

( )

ℝ _.

Est-ce qu’à toute matrice de M2*

( )

ℝ correspond une combinaison linéaire de 1 0 1 1 0 1 et 0 1

   

   

    ?

( )

* .

2

1 0 1 1

Soit A A

0 0 1 0 1

x y a b x a x y

a b

x b y b y

+ = = −

       

= ∈ =  +  ⇔ ⇔

= =

       

M ℝ

A toute matrice de M2*

( )

ℝ correspond un unique couple

( )

^{a b, .} , 2*

( )

1 0 1 1

0 1 0 1

Vect   

=

   

   

 

M ℝ _.

Par exemple : 5 1 ₂*

( )

. 1 0 1 1

A A 6

0 5 0 1 0 1

−

     

= ∈ =   − 

  M ℝ    

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Page 3

( )

*

2 ℝ

M est-il un sous-espace vectoriel de ^M2

( )

^{ℝ ?}

Montrons trois points importants :

. élément neutre de + : la matrice nulle de M2

( )

ℝ , qui fait bien partie de M2*

( )

ℝ . inverse de A ^∈M2*

( )

^{ℝ :− ∈A M2*}

( )

^ℝ

. stabilité par la lce × et la lci + :

( ) ( )

* *

, ₂ , ₂

A B et A B

0 0 0

x y z t x z y t

x z x z

λ µ λ µ

λ µ λ µ λ µ

λ µ

+ +

     

∈ ∈ ⇒ + =  +    = + ∈

ℝ ℝ ℝ

M M _.

4) Quel est l’espace engendré par 1 0 , 1 1 , 1 0

0 1 0 1 1 1

     

 

     

     

  ?

Si a, b et c parcourent ℝ, 2

( )

1 0 1 1 1 0

0 1 0 1 1 1

a b c b

a b c

c a b c

+ +

       

+ + = ∈

       

+ +

        M ℝ _.

Toute matrice de ^M2

( )

^ℝ ne peut être combinaison linéaire de 1 0 1 1 1 0

, et

0 1 0 1 1 1

     

     

     , puisque

ces dernières représentent des matrices dont les termes diagonaux doivent être égaux. Nommons

( )

2D= ℝ

M l’ensemble des matrices possédant ces caractéristiques.

, ,

1 0 1 1 1 0

0 1 0 1 1 1

Vect     

     

     

  est au maximum égal à M2D=

( )

ℝ _.

Est-ce qu’à toute matrice de M2D=

( )

ℝ correspond une combinaison linéaire de

1 0 1 1 1 0

, et

0 1 0 1 1 1

     

     

      ?

( )

^.

2

1 0 1 1 1 0

Soit A A

0 1 0 1 1 1

D

a b c x a x y z

x y

a b c b y b y

z x

c z c z

=

+ + = = − −

 

         

= ∈ =  +  +  ⇔ = ⇔ =

         =  =

M ℝ

A toute matrice de M2D=

( )

ℝ correspond un unique triplet

(

^{a b c, ,}

)

^.

( )

, , 2

1 0 1 1 1 0

0 1 0 1 1 1 ^D

Vect      ₌

=

     

     

 

M ℝ _.

Par exemple : ^{A 5 1 2}

( )

^{. A 4 1 0 1 1 2 1 0}

2 5 ^D= 0 1 0 1 1 1

−

       

= ∈ =   − +  

       

M ℝ

Exercice 5 -

Dans ℝ³, montrer que ^Vect

( (

^{2 0, ,−1}

) (

^{, , ,3 2 −4}

) )

^=Vect

( (

^{1 2, ,−3}

) (

^{, , ,0 4 −5}

) )

^.

1. Version longue :

* Montrons que ^Vect

( (

^{2 0, ,−1}

) (

^{, , ,3 2 −4}

) )

^⊂Vect

( (

^{1 2, ,−3}

) (

^{, , ,0 4 −5}

) )

^.

Soit ^u=

(

^{a b c, ,}

)

^∈Vect

( (

^{2 0, ,−1}

) (

^{, , ,3 2 −4}

) )

. Est-ce que ^u=

(

^{a b c, ,}

)

^∈Vect

( (

^{1 2, ,−3}

) (

^{, , ,0 4 −5}

) )

^?

Il existe

( )

^{d e, tel que}

(

^{a b c, ,}

) (

^{=d 2 0, ,− +1}

) (

^{e 3 2, ,−4}

)

^.

Existe-t-il

(

^{f g,}

)

^{tel que d}

(

^{2 0, ,− +1}

) (

^{e 3 2 4, ,− =}

)

^f

(

^{1 2 3, ,− +}

) (

^{g 0 4, ,−5}

)

^?

Il faut

2 3 2 3

2 2 4

4 3 5 4 4

f d e f d e

e f g g e d

d e f g d e d e

= + = +

 

 

= + ⇔ = − −

 

− − = − − − − = − −

 

, donc

(

^{f g,}

)

^existe.

* Montrons que ^Vect

( (

^{1 2, ,−3}

) (

^{, , ,0 4 −5}

) )

^⊂Vect

( (

^{2 0, ,−1}

) (

^{, , ,3 2−4}

) )

^.

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Page 4

Il faut trouver cette fois un couple

( )

^{d e,} à partir d’un couple donné

(

^{f g,}

)

^.

2 3 3

2 2 4 2

4 3 5 3 5 3 5

f d e d f g

e f g e f g

d e f g f g f g

= + = − −

 

 

= + ⇔ = +

 

− − = − − − − = − −

 

, donc

( )

^{d e, existe.}

2. Version courte :

*

(

^{1 2, ,− =3}

) (

^{3 2 4, ,− −}

) (

^{2 0, ,−1 et 0 4}

) (

^{, ,− = ×5}

)

²

(

^{3 2, ,− − ×4}

)

³

(

^{2 0, ,−1}

)

Donc si un vecteur v est combinaison linéaire de

(

1 2 3 et 0 4^{, ,}−

) (

^{, ,}−5

)

, alors il est combinaison linéaire de

(

^{2 0, ,−1 et 3 2}

) (

^{, ,−4}

)

. Autrement dit : ^Vect

( (

^{1 2, ,−3}

) (

^{, , ,0 4 −5}

) )

^⊂Vect

( (

^{2 0, ,−1}

) (

^{, , ,3 2−4}

) )

^.

*

(

^{3 2 4, ,− = ×}

)

³

(

^{1 2, ,− −3}

) (

^{0 4, ,−5 et 2 0}

) (

^{, ,− = ×1}

)

²

(

^{1 2, ,− −3}

) (

^{0 4, ,−5}

)

Donc si un vecteur v est combinaison linéaire de

(

^{3 2, ,−4 et 2 0}

) (

^{, ,−1}

)

, alors il est combinaison linéaire de

(

1 2 3 et 0 4^{, ,}−

) (

^{, ,}−5

)

. Autrement dit : ^Vect

( (

^{2 0, ,−1}

) (

^{, , ,3 2 −4}

) )

^⊂Vect

( (

^{1 2, ,−3}

) (

^{, , ,0 4 −5}

) )

^.