Examen du 14 mars 2016

Alg`ebre et Arithm´etique 1 Universit´e de Nice

L2 MATH Ann´ee 2015-2016

Examen du 14 mars 2016

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Exercice 1 - D´emontrer que pour tout entiern l’entiern¹³−nest divisible par 91.

Exercice 2 - R´esoudre les deux syst`emes de congruences 1. 5x≡2 mod 6 et 3x≡1 mod 5.

2. 2x≡1 mod 3 etx≡4 mod 6.

Exercice 3 - D´eterminer si les classes r´esiduelles suivantes sont inversibles dans l’anneauZ/63Z. Si oui, calculer leur inverse.

1. 12 2. 13 3. 14 4. 15

Exercice 4 - Calculer les deux derniers chiffres de 2016²⁰⁰².

Exercice 5 - Soitp un nombre premier et soitq un nombre premier divisant 2^p−1.

1. Montrer que la classe r´esiduelle 2 est inversible dansZ/qZ. 2. Donner l’ordre du groupe des inversibles (Z/qZ))^∗.

3. D´eterminer l’ordre de 2 dans (Z/qZ)^∗. 4. Montrer quepdiviseq−1.

5. BONUS : D´eduire du r´esultat pr´ec´edent une preuve du fait qu’il existe un nombre infini de nombres premiers.

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