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Examen du 14 juin 2016

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Alg`ebre et Arithm´etique 1 Universit´e de Nice Ann´ee 2015-2016

Examen du 14 juin 2016

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Exercice 1 - (3 points) Soitnun entier >3.

1. Les nombresn,n+ 2,n+ 4 peuvent-ils ˆetre tous premiers ? 2. Les nombresn,n+ 2,n+ 6 peuvent-ils ˆetre tous premiers ?

Exercice 2 - (4 points) R´esoudre les ´equations diophantiennes, c’est-`a-dire trouver les couples d’en- tiers (x, y) v´erifiant

1. 36x+ 54y= 8.

2. 306x+ 657y= 9.

Exercice 3 - (3 points) R´esoudre le syst`eme suivant

5x≡1 mod 6 et 3x≡1 mod 5.

Exercice 4 - (3 points)

1. Donner la d´efinition de la fonction d’Eulerϕ(n) d’un entiern >0.

2. Calculer le nombre de g´en´erateurs du groupe (Z/240Z,+).

Exercice 5 - (3 points) D´eterminer l’ordre de la classe r´esiduelle 2 dans le groupe des inversibles (Z/85Z)∗.

Exercice 6 - (4 points)

1. Montrer que le polynˆomeX3+X+ 1 est irr´eductible dansF5.

2. Calculer l’inverse de la classe r´esiduelle X2+ 3X+ 2 dansF5[X]/(X3+X+ 1).

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Références

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