Examen du 17 Juin 2016

Universit´e d’Artois

Facult´e des sciences Jean Perrin Licence de Math´ematiques ModuleAnalyse 2

Examen du 17 Juin 2016

Dur´ee : 2h

Exercice 1. D´eterminer les primitives de f(x) = _(x−1)(x¹2+2x+3) sur ]1,∞[ .

Exercice 2. Soient a, b > 0. Calculer I(x) = ^R₀^xe^atcos(bt)dt pour tout x ∈ R, de deux fa¸cons diff´erentes :

(i) en effectuant 2 int´egrations par parties;

(ii) en ´ecrivant que cos(bt) est la partie r´eelle de e^ibt.

Exercice 3. Calculer I = ^R₀^π/2_2+cos^dt _tdt en posant x = tan(₂^t), et J = ^R₁⁸ _1+t^dt_1/3 en posant x=t^1/3.

Exercice 4. Soit ε >0, et soit f : [0, ε]→C une fonction de classeC³. On suppose qu’on af⁰(0) = f⁰⁰(0) = 0 et|f⁰⁰⁰(t)| ≤√

tpour toutt ∈[0, ε]. En utilisant la formule de Taylor, montrer que |f(ε)−f(0)| ≤ ₁₀₅⁸ ε^7/2.

Exercice 5. Pour n∈N^∗, on pose u_n=

Ç _n Q

k=1

k^k

å ¹

n2

. (1) V´erifier que ln(u_n) = _n^{1 Pn}

k=1 k

n ln^Äk_n^ä+¹₂ ^Ä1 + ¹_n^äln(n). (2) En d´eduire la limite de ln(u_n)− ¹₂ln(n) quand n→ ∞.

(3) Conclure qu’il existe une constanteC (`a d´eterminer) telle que u_n∼C√

n quand n→ ∞.

Exercice 6. Montrer que la fonction f d´efinie par f(t) = ln(lnt) est concave sur ]1,∞[, et en d´eduire que pour tous x, y >1, on a

ln

Åx+y 2

ã

≥^»ln(x) ln(y).