Examen du 12 Mai 2016

Universit´e d’Artois

Facult´e des sciences Jean Perrin Licence de Math´ematiques ModuleVariable complexe

Examen du 12 Mai 2016

Dur´ee : 4h

Questions de cours.

(1) Soit Ω un ouvert de C. Montrer que siu∈ C²(Ω), alors ∆u= 4 ∂²u

∂z∂¯z·

(2) Soita >1. R´esoudre dansC l’´equation cosz=a. (On pourra poser w=e^iz.) (3) Trouver les rayons de convergence des s´eries enti`eres ^P

n≥0 3n

n

zⁿ et ^X

n≥1

cos(1 n)ⁿ²zⁿ. (4) SoitK ⊆Cun domaine ´el´ementaire. CalculerI(a) =

Z

∂K

dz

z−a poura∈C\K.

(5) D´eterminer les fonctions holomorphesf :C→Cv´erifiant∀n∈N : f(2⁻ⁿ) = 4⁻ⁿ. (6) Soitf une fonction holomorphe dans un disqueD(0, R). On suppose quef s’annule en un point z₀ ∈D(0, R). Pour r < R, on pose M(r) = sup{|f(z)|; |z|=r}. En appliquant le principe du maximum `a g(z) = _z−z^f(z)

0, montrer que si |z₀|< r < R, alors|f(0)| ≤ _r−|z^M(r)

0||z₀|.

(7) D´eterminer le d´eveloppement en s´erie de Laurent de f(z) = _z−3¹ + _z−5¹ dans la couronne{2<|z−1|<4}.

(8) Soit K =D(0,3). Calculer l’int´egraleI =^R_{∂K z}2+2z−8^z+1 dz en utilisant le th´eor`eme des r´esidus.

(9) D´eterminer le nombre de z´eros de P(z) = z⁵ + 15z³ −2z² + 31 dans le disque D(0,2), puis dans la couronne {2≤ |z| ≤4}.

(10) Montrer qu’on a |sinu| ≤ e^|u| pour tout u ∈ C; puis montrer que la formule f(z) = ^P∞

n=0 sin(nz)

nⁿ d´efinit une fonction holomorphe surC.

(11) Soit P un polynˆome (`a coefficients complexes) et soit α > 0. Montrer que la formulef(z) =^R₀^∞P(t)e^−tαzdt d´efinit une fonction holomorphe dans le demi-plan U ={z∈C; Re(z)>0}.

(12) Soit (nk)k∈Nune suite strictement croissante d’entiers positifs, et soit (ck) une suite born´ee de nombres complexes. Montrer que la formulef(z) =

∞

Q

k=0

(1+ckz^nk) d´efinit une fonction holomorphe sur le disqueD=D(0,1).

1

2

Exercice 1. Soitf :C→Cune fonction enti`ere. On suppose qu’on a f(z+ 1) =f(z) =f(z+i) pour toutz∈C.

(1) On note Q le carr´e de sommets, 0, 1, 1 +i, i. Montrer que pour tout z ∈ C, on peut trouver un pointwz∈Qtel quef(z) =f(wz).

(2) Pourquoi la fonctionf est-elle born´ee sur le carr´e Q?

(3) Montrer que f est constante.

Exercice 2. On noteD le disqueD(0,1) etU le demi-plan{u∈C; Re(u)>0}.

(1) Soitφ:D→Cd´efinie par φ(z) = ^1−z_1+z· (a) Montrer que φ(D)⊆U.

(b) Montrer que φest une bijection deDsur U et d´eterminer sa r´eciproque.

(2) Soitf une fonction holomorphe surU. On suppose qu’on a f(U)⊆U etf(1) = 1.

En appliquant le lemme de Schwarz `a la fonctionφ⁻¹◦f ◦φ, montrer que

∀u∈U :

1−f(u) 1 +f(u)

≤

1−u 1 +u .

Exercice 3. Le but de l’exercice est de calculer les int´egrales I =

Z ∞ 0

log(x)

1 +x² et J = Z ∞

0

log(x)² 1 +x² dx .

(1) On note L la d´etermination du logarithme dans C\ iR⁻ obtenue en prenant l’argument dans ]− ^π₂,^3π₂ [, et on pose

f(z) = L(z)² 1 +z²· (a) D´eterminer le r´esidu de f au point i.

(b) V´erifier que pour toutx >0, on a f(−x) = log(x)²

1 +x² − π²

1 +x² + 2iπ log(x) 1 +x²·

(c) Pourr >0, on noteγr : [0, π]→Cle chemin d´efini par γr(t) =re^it. Montrer que ^R_γ

rf(z)dz tend vers 0 quandr →0 et quandr→ ∞.

(2) Pour 0< ε <1< R, dessiner soigneusement le domaine ´el´ementaire Kε,R ={z∈C; Im(z)≥0 etε≤ |z| ≤R}.

(3) D´eterminer les valeurs de I et J en appliquant le th´eor`eme des r´esidus `af. (4) Bonus. Retrouver la valeur de I en utilisant le changement de variableu= 1/x.