CHAPITRE 16

CHAPITRE 16

POLYNÔMES

I L’ensembleK^[X] . . . . 3

I.1 Définitions . . . . 3

I.2 Degré d’un polynôme . . . . 6

II Divisibilité et division euclidienne dansK^[X] . . . . 10

II.1 Diviseurs et multiples. . . . 10

II.2 Division euclidienne. . . . 11

III Racines d’un polynôme . . . . 13

III.1 Fonctions polynomiales et évaluation . . . . 13

III.2 Notion de racine et conséquences . . . . 14

III.3 Polynôme scindés – Application au calcul de la somme et du produit des racines d’un polynôme 19 IV Dérivation dansK^[X]. . . . 23

IV.1 Dérivée formelle d’un polynôme. . . . 23

IV.2 Formule de Taylor polynomiale . . . . 25

IV.3 Caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine par les polynômes dérivés . . . . 25

V Décomposition en facteurs irréductibles deC^[X]etR^[X] . . . . 27

V.1 Polynômes irréductibles deK^[X] . . . . 27

V.2 Factorisation dansC^[X] . . . . 27

V.3 Factorisation dansR^[X] . . . . 28

VI Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles . . . . 31

VI.1 Notion de fraction rationnelle . . . . 31

VI.2 Décomposition en éléments simples . . . . 32

Extrait du programme

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES

a) Ensemble des polynômes à une indéterminée

EnsembleK^[X]. La construction deK[X] est hors programme.

Combinaison linéaire et produit de polynômes, formule du binôme.

Degré, coefficient dominant, polynôme unitaire. EnsembleKn[X] des polynômes de degré au plusn.

Degré d’une somme, d’un produit. Le produit de deux polynômes non nuls est non nul.

Composition.

b) Divisibilité et division euclidienne Divisibilité dansK[X], diviseurs, multiples.

Théorème de la division euclidienne. Algorithme de la division euclidienne.

c) Fonctions polynomiales et racines

Fonction polynomiale associée à un polynôme. Racine (ou zéro) d’un polynôme, caractérisation en termes de divisibilité.

Lien avec l’introduction aux équations algébriques de la section « Nombres complexes ».

Méthode de Horner pour l’évaluation polynomiale.

Le nombre de racines d’un polynôme non nul est majoré par son degré.

Détermination d’un polynôme par la fonction polynomiale associée.

Multiplicité d’une racine.

Polynôme scindé.

Expressions de la somme et du produit des racines d’un polynôme scindé en fonction de ses coefficients.

Les fonctions symétriques élémentaires sont hors programme.

d) Dérivation

Dérivée formelle d’un polynôme. PourK=R, lien avec la dérivée de la fonction polynomiale associée.

Opérations sur les polynômes dérivés : combinaison linéaire, produit.

Formule de Leibniz.

Formule de Taylor polynomiale.

Caractérisation de la multiplicité d’une racine par les polynômes dérivés successifs.

e) Polynômes irréductibles deC^[X]etR^[X]

Théorème de d’Alembert-Gauss. La démonstration est hors programme.

Polynômes irréductibles deC^[X]. Théorème de décomposition en facteurs irréductibles dansC^[X].

Caractérisation de la divisibilité dansC[X] à l’aide des racines et des multiplicités.

Factorisation deXⁿ−1 dansC^[X].

Polynômes irréductibles deR[X]. Théorème de décomposition en facteurs irréductibles dansR^[X].

Deux racines complexes conjuguées d’un polynôme deR^{[X] ont} même multiplicité.

f) Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles Expression de la décomposition en éléments simples surC^etR^des

fonctions rationnelles à pôles simples.

La démonstration est hors programme.

Dans le cas où le dénominateur possède une racine multiple ou un facteur irréductible de degré 2, la forme cherchée doit être fournie.

Application au calcul de primitives, de dérivéesk-ièmes.

POLYNÔMES I. L’ENSEMBLEK^[X]

Dans tout le chapitre,K^désigneR^ouC^.

I. L’ensemble K ^{[X ]}

I.1. Définitions

Définition 16.1 – Polynôme à une indéterminée

On appellepolynôme à une indéterminée à coefficients dansK, toute expression de la forme :

n

X

k=0

a_kX^k,

oùn∈N, pour toutk∈ ‚0,nƒ,a_k∈K^etX est un symbole formel appeléindéterminée du polynôme.

Les élémentsa₀, . . . ,a_nsont appelés lescoefficients de P=

n

X

k=0

a_kX^k.

L’ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients dansK^{est noté}K^[X].

Deux polynômes sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coefficients.

1. Notez bien que dans le polynôme

n

X

k=0

a_kX^k, certains coefficients peuvent être nuls.

2. En identifiant les éléments_λdeKaux polynômes_λX⁰, on a l’inclusionK⊂K[X]. Les polynômes_λX⁰, avec λ∈K, sont appeléspolynômes constants. On écrira alors :

n

X

k=0

a_kX^k=a₀+a₁X+a₂X²+ · · · +a_nXⁿ. 3. CommeR⊂C^{, on a}R^[X]⊂C^[X].

Autrement dit, tout polynôme à coefficients réels peut être vu comme un polynôme à coefficients complexes 4. Lepolynôme nulest le polynôme dont tous les coefficients sont nuls. On le note 0.

5. Pour des raisons techniques, lorsqueP=

n

X

k=0

a_kX^k, on convient de noter, pour toutk>n,a_k=0. Les éléments de la famille (a_k)_k∈Nsont encore appelés les coefficients deP. Notez bien qu’il n’y a qu’un nombrefinid’éléments non nuls dans la famille (a_k)_k∈N. Cette remarque ne sera utilisée que dans les démonstrations de certains résultats.

Remarque 16.1

Définition 16.2 – Addition de polynômes

SoientP=

n

X

k=0

a_kX^k etQ=

m

X

k=0

b_kX^k deux polynômes deK^[X]. Quitte à compléter le polynômePouQavec des coefficients nuls, on peut supposer quen=m.

On définit lasomme de P et Qpar :

P+Q=

n

X

k=0

(a_k+b_k)X^k.

I. L’ENSEMBLEK^{[X] POLYNÔMES}

SiP=1+X etQ=2+X+2X³, alorsP+Q=3+2X+2X³. Exemple 16.1

Des propriétés de l’addition des nombres réels et complexes découlent naturellement les propriétés suivantes.

Proposition 16.1 – Propriétés de l’addition des polynômes

1. L’addition estassociative:∀(P,Q,R)∈K^[X]×K^[X]×K^{[X], (P}+Q)+R=P+(Q+R). On oubliera alors les parenthèses

2. L’addition estcommutative:∀(P,Q)∈K^[X]×K^[X],P+Q=Q+P.

3. Le polynôme nul estélément neutrede l’addition :∀P∈K^[X],P+0=0+P=P.

1. SoitP=

n

X

k=0

a_kX^k un polynôme.

Le polynôme−P=

n

X

k=0

−a_kX^k vérifieP+(−P)=(−P)+P=0 et est appelél’opposé de P.

2. On peut alors définir la soustraction de polynôme : pour tout (P,Q)∈K^[X]×K^[X],P−Q=P+(−Q).

Remarque 16.2 – Opposé et soustraction

SiP=1+X etQ=2+X+2X³, alorsP−Q= −1−2X³. Exemple 16.2

Définition 16.3 – Multiplication par un scalaire

Soient_λ∈K^etP=

n

X

k=0

a_kX^k un polynôme deK^[X].

On définit leproduit de P par le scalaire_λ: λ.P=

n

X

k=0

λ×a_kX^k.

1. Lorsque_λ∈N^{, on a}λ.P=P+ · · · +P

| {z }

λfois

. 2. On a 0.P=0, 1.P=P et (−1).P= −P.

Remarque 16.3

SiP=1+X, alorse.P=e+e X. Exemple 16.3

Des propriétés de l’addition et de la multiplication des nombres réels et complexes découlent naturellement les propriétés suivantes.

Proposition 16.2 – Propriétés de la multiplication d’un polynôme par un scalaire 1. ∀λ∈K^,∀(P,Q)∈K^[X]×K^[X],λ.(P+Q)=λ.P+λ.Q.

2. ∀(_λ,_µ)∈K^2,∀P∈K^{[X], (}λ×µ).P=λ.(_µ.P).

3. ∀(_λ,_µ)∈K^2,∀P∈K^{[X], (}λ+µ).P=λ.P+µ.P.

POLYNÔMES I. L’ENSEMBLEK^[X]

Définition 16.4 – Multiplication de polynômes

SoientP=

n

X

k=0

a_kX^ketQ=

m

X

k=0

b_kX^k deux polynômes deK^[X]. On définit le produit deP etQpar :

P×Q=

n+m

X

k=0

c_kX^k, où c_k= X

0ÉiÉn 0ÉjÉm i+j=k

a_i×b_j

En notant pour touti>n,a_i=0 et, pour tout j>m,b_j=0, on a : c_k=

k

X

l=0

a_l×b_k−l.

On poseP⁰=1 et on définit par récurrence la puissancek-ième deP, aveck∈N^{, par :Pk+1}=P^k×P. On a : P^k=P× · · · ×P

| {z }

kfois

. Remarque 16.4 – Puissances de polynômes

SiP=1+X etQ=2+X+2X³, alorsP×Q=2+3X+X²+2X³etP³=1+3X+3X²+X³. Exemple 16.4

Des propriétés de l’addition et de la multiplication des nombres réels et complexes découlent naturellement les propriétés suivantes.

Proposition 16.3 – Propriété de la multiplication des polynômes

1. La multiplication estassociative:∀(P,Q,R)∈K^[X]×K^[X]×K^{[X], (P}×Q)×R=P×(Q×R). On oubliera alors les parenthèses.

2. La multiplication estcommutative:∀(P,Q)∈K^[X]×K^[X],P×Q=Q×P.

3. Le polynôme constant 1 estélément neutrede la multiplication des polynômes :∀P∈K^[X],P×1=1×P=P.

4. La multiplication estdistributivesur l’addition :∀(P,Q,R)∈K^[X]×K^[X]×K^{[X], (P}+Q)×R=P×R+Q×R.

Théorème 16.1

SoientPetQdeux polynômes deK^{[X] etn}∈N^. On a :

(P+Q)ⁿ=

n

X

k=0

Ãn k

!

.P^k×Q^n−k (Formule du binôme) et

Pⁿ−Qⁿ=(P−Q)×

n−1X

k=0

P^k×Q^n−1−k.

Démonstration

Les démonstrations sont similaires à celles données dans le chapitre CALCUL ALGÉBRIQUE. La formule du binôme de Newton s’obtient

par récurrence. La seconde formule s’obtient à l’aide d’une somme télescopique

I. L’ENSEMBLEK^{[X] POLYNÔMES}

Soitn∈N, on a : (X+1)ⁿ=

n

X

k=0

Ãn k

! X^k. Exemple 16.5

Définition 16.5 – Composition de polynômes

SoientP=

n

X

k=0

a_kX^ketQ=

m

X

k=0

b_kX^k. On définit lacomposée de P par Qpar :

P◦Q=

n

X

k=0

a_k.Q^k. Le polynôme composéP◦Qest aussi notéP(Q).

On écrira alors aussiP(X) pour désigner le polynômePet préciser qu’il est exprimé avec l’indéterminéeX. Remarque 16.5

SiP=1+X etQ=2+X+2X³, alorsP◦Q=1+Q=3+X+2X³etQ◦P=2+P+2P³=5+7X+6X²+2X³. Exemple 16.6

En généralP◦Q,^Q◦P.

Remarque 16.6

I.2. Degré d’un polynôme

Définition 16.6 – Degré d’un polynôme

SoitP=

n

X

k=0

a_kX^kun polynômenon nul.

On appelledegré de Ple plus grand indicektel quea_k,0. On note cet indice deg(P).

Ï Le coefficienta_deg(P)est appelécoefficient dominant de P. Par définition, le coefficient dominant deP est non nul.

Ï Le coefficienta₀ est appelécoefficient constant de P.

Ï Lorsque le coefficient dominant deP est 1, on dit queP est unpolynôme unitaire.

On adopte la convention : deg(0)= −∞(le degré du polynôme nul est−∞).

1. Soitn∈N. On a : deg¡

(X+1)ⁿ¢

=net (X+1)ⁿest unitaire.

2. Le produit den∈N^? polynômes de degré 1 est de degrén.

Exemple 16.7

De la définition de degré d’un polynôme, on déduit les caractérisations suivantes.

POLYNÔMES I. L’ENSEMBLEK^[X]

Proposition 16.4

1. Un polynôme est constant si, et seulement si, il est nul ou son degré est 0.

2. Un polynômeP est non nul si, et seulement si, deg(P)∈N^.

Par convention, siP,0, on pourra écrire : deg(P)> −∞. Remarque 16.7

Théorème 16.2 – Opération sur les degrés

SoientPetQdeux polynômes et_λ∈K. On note (a_k)_k∈N(resp. (b_k)_k∈N) les coefficients deP(resp.Q).

1. On a : deg(P+Q)Émax¡

deg(P), deg(Q)¢

. Plus précisément, a. Si deg(P),deg(Q), alors deg(P+Q)=max¡

deg(P), deg(Q)¢ . b. Si deg(P)=deg(Q) eta_deg(P)+b_deg(Q),0, alors deg(P+Q)=max¡

deg(P), deg(Q)¢ . c. Si deg(P)=deg(Q) eta_deg(P)+b_deg(Q)=0, alors deg(P+Q)<max¡

deg(P), deg(Q)¢ . 2. Si_λ,0, alors deg(_λ.P)=deg(P).

3. On a : deg(P×Q)=deg(P)+deg(Q).

4. On a : Si deg(Q)Ê1, alors deg(P◦Q)=deg(P)×deg(Q).

Démonstration

1. Cas 1 :PouQnul. Clair.

Dans la suite, on supposePetQnon nuls.

Cas 2 : deg(P)<deg(Q). On a :P+Q= deg(Q)

X k=0

(a_k+b_k)X^keta_deg(Q)+b_deg(Q)=b_deg(Q),^0.

Donc, deg(P+Q)=deg(Q)=max¡

deg(P), deg(Q)¢ .

Cas 3 : deg(P)>deg(Q). De même, deg(P+Q)=deg(P)=max¡

deg(P), deg(Q)¢ . Cas 4 : deg(P)=deg(Q) eta_deg(P)+b_deg(Q),^{0. On a :P}+Q=

deg(P) X k=0

(a_k+b_k)X^keta_deg(P)+b_deg(Q),^0.

Donc, deg(P+Q)=deg(P)=max¡

deg(P), deg(Q)¢ .

Cas 5 : deg(P)=deg(Q) eta_deg(P)+b_deg(Q)=0. On a :P+Q= deg(P)

X k=0

(a_k+b_k)X^ket, pour toutkÊdeg(P),a_k+b_k=0.

Donc, deg(P+Q)<deg(P).

2. Clair.

3. Cas 1 :PouQnul. Clair.

Cas 2 :PetQnon nuls. On a :P= deg(P)

X k=0

a_kX^ketQ= deg(Q)

X k=0

b_kX^k. Le terme faisant apparaître la plus grande puissance deX obtenue en développantP×Q=¡

a₀+a1X+· · ·+adeg(P)X^deg(P)¢

ס

b₀+b1X+· · ·+bdeg(Q)X^deg(Q)¢

esta_deg(P)×bdeg(Q)Xdeg(P)+deg(Q). Or,a_deg(P)×b_deg(Q),0. Donc, deg(P×Q)=deg(P)+deg(Q).

4. On a : P◦Q= deg(P)

X k=0

a_k.Q^k. De plus, par le point précédent, deg(Q^k)=k×deg(Q). Donc, comme a_deg(P),0, par le point 1, deg(P◦Q)=deg(P)×deg(Q).

Soitn∈N^{?. On noteP}=(X+1)ⁿ−(X−1)ⁿ. Par la formule du binôme :

P=

n

X

k=0

Ãn k

! X^k−

n

X

k=0

Ãn k

!

(−1)^n−kX^k=

n

X

k=0

Ãn k

!

¡1−(−1)^n−k¢ X^k. Exemple 16.8

I. L’ENSEMBLEK^{[X] POLYNÔMES}

Le coefficient de Xⁿdans la somme est Ãn

n

!

¡1−(−1)ⁿ⁻ⁿ¢

=0.

Le coefficient de Xⁿ⁻¹ dans la somme est à n

n−1

!

¡1−(−1)^n−(n−1)¢

=2n,^0.

Donc, deg(P)=n−1 et le coefficient dominant deP est 2n.

Proposition 16.5

Le produit de deux polynômes non nuls est non nul. Soit, par contraposée :

∀(P,Q)∈K^[X]×K^[X],£P×Q=0=⇒P=0 ouQ=0¤ . Démonstration

On montre la contraposée.

SiP,^{0 etQ},0, alors deg(P)∈N^{et deg(Q)}∈N. Donc, deg(P×Q)=deg(P)+deg(Q)∈N^{. Donc,P}×Q,^0.

On dit queK^{[X] estintègre.}

Remarque 16.8 – Hors-programme

Corollaire 16.1

SoientPetQdeux polynômes deK^[X].

SiP×Q=P×R etP,^{0, alorsQ}=R.

Démonstration

On aP×(Q−R)=0. Donc,P=0 etQ−R=0. Or,P,^{0. Donc,Q}=R.

Exercice 16.1

Déterminer les polynômesP∈K[X] tels qu’il existeQ∈K[X] vérifiantP×Q=1.

Résolution

SoitP∈K^[X].

Analyse.On suppose qu’il existeQ∈K^[X] vérifiantP×Q=1.

D’où,P×Q,^{0, donc,PetQ}sont non nuls.

De plus, on a deg(P×Q)=deg(P)+deg(Q). Or, deg(1)=0.

Donc, deg(P)+deg(Q)=0. Comme deg(P) et deg(Q) sont des entiers naturels, on a deg(P)=0. Donc,Pest un polynôme constant non nul.

Synthèse.On suppose quePest un polynôme contant non nul. On écrit doncP=λ∈K^?. On peut alors définirQ=1

λ. Donc,P×Q=1.

Ainsi, les polynômesP∈K[X] tels qu’il existeQ∈K[X] vérifiantP×Q=1 sont les polynômes constants non nuls.

Définition 16.7 – Ensemble des polynômes de degré inférieur àn Soitn∈N^{. On note}Kn[X] l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal àn.

On a, pour toutn∈N^{, 0}∈Kn[X]. On a également :K^[X]= [

n∈N

Kn[X].

Remarque 16.9

POLYNÔMES I. L’ENSEMBLEK^[X]

Proposition 16.6

Soitn∈N. L’ensembleKn[X] est stable par combinaison linéaire :

∀(_λ,_µ)∈K^2,∀(P,Q)∈Kn[X]²,_λ.P+µ.Q∈Kn[X].

Démonstration

Il suffit d’utiliser les opérations sur les degrés.

II. DIVISIBILITÉ ET DIVISION EUCLIDIENNE DANSK^{[X] POLYNÔMES}

II. Divisibilité et division euclidienne dans K ^{[X ]}

II.1. Diviseurs et multiples

Définition 16.8 SoientAetBdeux polynômes deK^[X].

On dit queB divise A, ou queBest undiviseurde A, ou queAest unmultipledeB, lorsqu’il existeC∈K^[X]

tel queA=B×C. On note alorsB|A.

SiB|AavecA,0, alors deg(B)Édeg(A).

En effet, on a A=B×C. Or,A,^{0, doncBetC}sont non nuls. Donc, deg(A)=deg(B)+deg(C)Êdeg(B).

Remarque 16.10

Ï (X−2)×(X+1)²ne divise pas (X−2)×(X+1).

Ï Tous les polynômes divisent le polynôme nul. En effet, pour toutP∈K^{[X], 0}=P×0.

Ï Le seul polynôme divisé par le polynôme nul est le polynôme nul.

Exemple 16.9

Proposition 16.7 – Transitivité SoientA,BetCtrois polynômes deK^[X].

SiA|BetB|C, alorsA|C.

Démonstration

On aB=A×QetC=B×Q⁰avec (Q,Q⁰)∈K^{[X]2. Donc,C}=A×Q×Q⁰. DoncA|C.

Proposition 16.8

SoientA,BetCtrois polynômes deK^[X].

Alors,

∀(P,Q)∈K^[X]×K^{[X], hC}|AetC|B =⇒ C|(A×P+B×Q)i .

Démonstration

On aA=C×Q₁etB=C×Q₂avec (Q₁,Q₂)∈K^{[X]2. Donc,A}×P+B×Q=C×(Q₁×P+Q₂×Q). DoncC|(A×P+B×Q).

Proposition 16.9

SoientA,B,CetDquatre polynômes deK^{[X]. SiA}|BetC|D, alorsA×C|B×D.

Démonstration

Immédiat en revenant à la définition.

POLYNÔMES II. DIVISIBILITÉ ET DIVISION EUCLIDIENNE DANSK^[X]

Proposition 16.10 – Polynômes associés SoientAetBdeux polynômes deK^[X].

AdiviseBetBdiviseAsi, et seulement si, il existe_λ∈K^{? tel queA}=λ.B.

Dans ce cas, on dit que les polynômesAetBsontassociés.

Démonstration

On aA=P×BetB=Q×Aavec (P,Q)∈K^[X]2. Cas 1 :A=0. Dans ce cas,B=0. Donc,λ=1 convient.

Cas 2 :A,^{0. On aA}=P×B,^{0, donc,B},^{0 etP},0. On en déduit queQ,^0.

D’où, deg(A)=deg(P)+deg(B) et deg(B)=deg(A)+deg(Q).

Donc, deg(P)+deg(Q)=0. Or, deg(P) et deg(Q) sont des entiers. Donc, deg(P)=0.

On en déduit quePest un polynôme constant et est non nul. Donc,λ=P∈K^?convient.

II.2. Division euclidienne

Théorème 16.3 – Division euclidienne SoientAetBdeux polynômes deK^{[X] avecB},^0.

Il existe unique couple (Q,R) de polynômes deK[X] tel que :

A=B×Q+R et deg(R)<deg(B) . On appelleQlequotientetRlerestede la division euclidienne deAparB.

Démonstration

Existence :SiAest le polynôme nul alors (Q,R)=(0, 0) convient.

On montre le résultat pour les polynômesAnon nul en procédant par récurrence. Pour toutn∈N^{, on noteH}n: « pour tout polynôme de degrén, il existe un couple (Q,R)∈K^[X]×K[X] tel queA=B×Q+Ret deg(R)<deg(B) ».

On noteB= m X k=0

b_kX^koùb_m,0 est le coefficient dominant deB.

Initialisation.n=0. SoitAun polynôme de degré 0.

• Si deg(B)Ê1, alors (Q,R)=(0,A) convient.

• Si deg(B)=0, alorsm=0 etB=bm∈K^?. D’où, (Q,R)= µA

B, 0

¶

convient.

Donc,H₀est vraie.

Hérédité.Soitn∈N. SupposonsH₀, . . . ,H_nvraie et montrons queH_n+1est vraie. SoitAun polynôme de degrén+1.

• Si deg(A)<deg(B), alors (Q,R)=(0,A) convient.

• Supposons deg(A)Êdeg(B). On notea_n+1le coefficient dominant deA. Le polynôme : A−a_n+1

b_m X^n+1−m×B

est de degré inférieur ou égal àn. Par hypothèse de récurrence, il existe, (Q₁,R₁)∈K^[X]×K[X] tel que : A−a_n+1

bm

X^n+1−m×B=Q₁×B+R₁. avec deg(R₁)<deg(B). Ainsi, en posantR=R₁etQ=Q₁+a_n+1

bm X^n+1−m, on a A=B×Q+R et deg(R)<deg(B).

ÏUnicité :Soient (Q₁,R₁)∈K^[X]×K^{[X] et (Q}2,R₂)∈K^[X]×K[X] tels que :

A=B×Q1+R₁, A=B×Q2+R2, deg(R₁)<deg(B) et deg(R₂)<deg(B).

Alors, (Q₁−Q2)×B=R₂−R1.

Supposons par l’absurdeQ₁,^Q2. Alors, deg(Q₁−Q₂)∈Net par propriété des degrés, deg¡

(Q₁−Q₂)×B¢

=deg(Q₁−Q₂)

| {z } n∈N

+deg(B)Êdeg(B).

II. DIVISIBILITÉ ET DIVISION EUCLIDIENNE DANSK^{[X] POLYNÔMES}

Or, deg¡

(Q₁−Q2)×B¢

=deg(R₂−R₁)Émax(deg(R₁), deg(R₂))<deg(B). Contradiction. AinsiQ₁=Q₂. PuisR₁=R₂.

La division euclidienne de X³−2X²+3 parX−1 est :X³−2X²+3=(X−1)×(X²−X−1)+2.

Exemple 16.10

Théorème 16.4

SoientAetBdeux polynômes deK^{[X] avecB},^0.

Le polynômeBdiviseAsi, et seulement si, le reste de la division euclidienne deAparBest nul.

Démonstration

(⇒). On suppose queBdiviseA. Donc,A=B×Q+0 avecQ∈K[X] et deg(0)<deg(B).

Donc, le reste de la division euclidienne deAparBest nul.

(⇐). On suppose que le reste de la division euclidienne deAparBest nul.

On aA=B×Q+0 avecQ∈K^{[X]. Donc,BdiviseA.}

Exercice 16.2 SoitP∈K^[X].

On suppose que le reste dans la division euclidienne deP par (X−1) est 3 et que le reste dans la division euclidienne deP par (X+2) est−1.

Déterminer le reste dans la division euclidienne dePpar (X−1)×(X+2).

Résolution

On écrit la division euclidienne dePpar (X−1)×(X+2).

Il existe (Q,R)∈K^[X]×K^{[X] tel queP}=(X−1)×(X+2)×Q+Ret deg(R)<deg¡

(X−1)×(X+2)¢

. D’où, deg(R)É1.

On écritR=a+b X. On cherche alorsaetb.

De plus, en évaluant l’égalité dans la division euclidienne en 1 et en−2, il vientP(1)=R(1)=a+betP(−2)=R(−2)=a−2b.

Pour détermineraetb, il suffit donc de connaîtreP(1) etP(−2).

Or, le reste dans la division euclidienne dePpar (X−1) est 3.

Donc, il existe un poynômeQ₁tel queP=(X−1)×Q₁+3.

En évaluant en 1, il vientP(1)=3.

De même, comme le reste dans la division euclidienne dePpar (X+2) est−1, on aP=(X+2)×Q₂−1, oùQ₂est un polynôme.

D’où, en évaluant en−2, il vient,P(−2)= −1.

On est alors amené à résoudre le système :

½ a + b = 3 a − 2b = −1.

On trouve :a=5 3etb=4

3. Donc,R=5

3+4 3X.

Exercice 16.3

SiAetB,0 sont deux polynômes à coefficients réels, alors les restes et les quotients de la division euclidienne deAparBdansR^{[X] et dans}C[X] sont les mêmes.

POLYNÔMES III. RACINES D’UN POLYNÔME

III. Racines d’un polynôme

III.1. Fonctions polynomiales et évaluation

Définition 16.9 – Fonction polynomiale associée à un polynôme SoitP=

n

X

k=0

a_kX^kun polynôme deK^[X].

Lafonction polynomiale associée à P est la fonction notéePeet définie par : Pe: K → K

x 7→

n

X

k=0

a_k×x^k.

1. On peut donner une nouvelle définition defonction polynomiale. Une fonction f est polynomiale si, et seulement si, il existeP∈K[X] tel que f =P. Cette définition est équivalente à celle donnée dans le chapitre Fe ONCTIONS USUELLES.

2. La fonction polynomiale associée àPest parfois encore notéeP. Remarque 16.11

Proposition 16.11

SoientPetQdeux polynômes deK^{[X] et (}λ,_µ)∈K^{2. Alors,}

(_λã.P+µ.Q)=λ.Pe+µ.Qe P„×Q=Pe×Qe et „P◦Q=Pe◦Q.e Démonstration

Conséquence immédiate de la définition.

Dans l’expressionP„×Q, le produit est le produit de polynômes ; dans l’expressionPe×Q, le produit est le produit dee fonctions.

Les fonctions et les polynômes sont deux objets différents, cependant, la proposition précédente montre que les opérations définies sur les fonctions et les polynômes ont des propriétés similaires (commutativité du produit, distributivité, associativité de la somme,. . .).

Nous verrons plus loin que l’applicationP7→Peest bijective (pour le moment, on sait qu’elle est surjective) et permet de faire l’aller-retour entre les polynômes et les fonctions polynomiales.

Remarque 16.12 – Attention

Définition 16.10 – Évaluation Soient_α∈K^etP=

n

X

k=0

a_kX^kun polynôme deK^[X].L’évaluation de P en_αest la nombreP(e_α), noté aussiP(_α).

P(_α)=

n

X

k=0

a_k×α^k. Ce nombre est appelé lavaleur de P en_α, où l’évaluation dePen_α.

III. RACINES D’UN POLYNÔME POLYNÔMES

Un méthode naïve pour calculerP(_α)=

n

X

k=0

a_k×α^kconsiste à calculer successivement chaque terme de la somme.

Pour toutk∈ ‚0,nƒ, le calcul dea_k×α^k demandek+1 multiplications.

Au total, la méthode naïve nécessite

n

X

k=0

(k+1)=

n+1

X

p=1

p=(n+1)×(n+2)

2 multiplications etnadditions.

On peut critiquer la méthode naïve en observant qu’on effectue plusieurs fois les mêmes opérations lorsqu’on calcule les puissances de_α.

Laméthode de Hornerpermet de faire mieux en remarquant que : a₀+a_1α+ · · · +a_nαⁿ=a₀+α׳

a₁+αס

· · · +α×(a_n+2+α×(a_n−1+α×a_n)) . . .¢´ . Avec cette réécriture, le calcul deP(_α) ne demande plus que d’effectuernmultiplications etnadditions.

Python

1 def evalHorner(L,alpha):

2 """

3 Entrée : liste L = [a0,...,an] des coefficients de P et alpha un scalaire

4 Sortie : P(alpha)

5 Méthode de Horner

6 """

7 s = 0

8 n = len(L)

9 for i in range(n-1,-1,-1): # i = n-1, n-2,..., 1, 0

10 s = L[i] + alpha * s

11 return s

Remarque 16.13 – Méthode de Horner

Proposition 16.12

SoientPetQdeux polynômes deK^{[X] et}α∈K^{. Alors,}

(_λ.P+µ.Q)(_α)=λ×P(_α)+µ×Q(_α) et (P×Q)(_α)=P(_α)×Q(_α).

Démonstration

Conséquence immédiate de la définition.

III.2. Notion de racine et conséquences

Définition 16.11 – Racine d’un polynôme

SoitP un polynôme deK^{[X] et}α∈K. On dit que_αest une racine, ou un zéro, de P dansK^lorsqueP(α)=0.

Exercice 16.4

Montrer que tout polynôme de degré 3 deR^[X] possède au moins une racine réelle.

Résolution

SoitP=a₀+a₁X+a₂X²+a₃X³aveca₃,^0.

Quitte à changerPpar−P, on peut supposera₃>0.

POLYNÔMES III. RACINES D’UN POLYNÔME

Donc, on a : lim

x→+∞Pe(x)= +∞et lim

x→−∞P(x)e = −∞.

Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existeα∈R^{tel queP(}α)=0.

Proposition 16.13

SoientPun polynôme deR^{[X] et}α∈C^.

On a l’équivalence :_αest une racine dePsi, et seulement si,_αest racine deP.

Démonstration

On écritP= n X k=0

a_kX^koù (a₀, . . . ,an)∈R^{n+1. On a :}P(α)= n X k=0

a_kα^k. Or, lesa_ksont réels, donc,P(α)= n X k=0

a_kα^k=P(α).

D’où,

αest une racine deP ⇐⇒ P(α)=0 ⇐⇒ P(α)=0 ⇐⇒ P(α)=0 ⇐⇒ αest une racine deP.

On retiendra que siP∈R[X], alors, pour tout_α∈C^,P(α)=P(_α).

Remarque 16.14

Théorème 16.5

SoitP un polynôme deK^{[X] et}α∈K. L’élément_αest une racine dePsi, et seulement si, (X−α) diviseP.

Démonstration

On sait que (X−α) divisePsi, et seulement si, le reste dans la division euclidienne dePparX−αest nul.

On effectue alors la division euclidienne dePpar (X−a). On a :P=(X−α)×Q+Roù (Q,R)∈K^{[X]2et deg(R)}<1. On en déduit que Rest un polynôme constant.

On évalue enα:P(α)=(α−α)×Q(α)+R(α). Donc, P(α)=R(α) . CommeRest constant, on a :R=0 si , et seulement si,R(α)=0.

D’où,

(X−α) diviseP ⇐⇒ R=0 ⇐⇒ R(α)=0 ⇐⇒ P(α)=0 ⇐⇒ αest racine deP.

SoientPune fonction polynomiale eta∈C^.

Le complexe_αest racine dePsi, et seulement si, il existeQune fonction polynomiale telle que :

∀z∈C^{, P(z)}=(z−α)×Q(z).

On dit qu’on a factoriséP(z) par (z−α).

Remarque 16.15 – Rappel : dans le chapitre NOMBRES COMPLEXESnous avions énoncé ce théorème sous la forme suivante.

Factoriser X³−X²−4X−6 parX−3.

Exemple 16.11

Méthode 16.1 – Factoriser un polynôme dont on connaît une racine SoitP∈K^{[X] et}αune racine deP.

On sait queX−αdiviseP. Pour déterminer le polynômeQ, on effectue la division euclidienne deP parX−α.

III. RACINES D’UN POLYNÔME POLYNÔMES

Définition 16.12 – Multiplicité d’une racine SoientPun polynômenon nuldeK^{[X] et}α∈K^.

On appellemultiplicité de_αle plus grand entiermtel que (X−α)^m diviseP.

On dit alors que_αestracine de multiplicité mdeP. On dit aussi quemest la multiplicité de_αdansP.

L’ensemble©

k∈N^¯¯(X−a)^k divisePª

est une partie deN, non vide (0 en est un élément) et est majorée par deg(P).

Donc, il possède un plus grand élément. Ceci justifie la définition de la multiplicité de_α. Remarque 16.16

2 est racine de multiplicité 3 deP=(X−2)³×(X+1)²×X⁵. Exemple 16.12

Proposition 16.14

SoientPun polynômenon nuldeK^[X],α∈K^etm∈N^?.

On a l’équivalence : (X−α)^m diviseP si, et seulement si,_αest racine de multiplicitéau moinsmdeP.

Démonstration

(⇒) On suppose que (X−α)^mdiviseP.

CommemÊ1, (X−α) divise (X−α)^m. Donc, par transitivité (X−α) diviseP. Par théorème,αest racine deP. De plus, par hypothèsem∈©

k∈N^¯¯(X−a)^kdivisePª

. Donc, par définition, la multiplicité deαest supérieure ou égale àm.

On suppose que la multiplicité deαest supérieure ou égale àm. Notonsrla multiplicité deα. Par définition (X−a)^rdiviseP.

Or, commemÉr, (X−a)^mdivise (X−a)^s.

Donc, par transitivité, (X−a)^mdiviseP.

SoitPun polynôme non nul.

1. On a l’équivalence :m=0, si et seulement si,_αn’est pas racine deP.

2. Une racine dePest une racine de multiplicité au moins 1 deP.

3. LorsquemÊ2, on dit que_αestracine multipledeP. 4. Lorsquem=1, on dit que_αestracine simpledeP. 5. Lorsquem=2, on dit que_αestracine doubledeP.

6. Lorsquem=3, on dit que_αestracine tripledeP...

Remarque 16.17

Théorème 16.6

SoientPun polynôme deK^{[X] non nul,}α∈K^etm∈N^?.

On a l’équivalence :_αest racine de multiplicité (exactement)mdePsi, et seulement si, il existeQ∈K^{[X] tel} queP=(X−α)^m×QetQ(_α),^0.

Démonstration

(⇒) On suppose queαest racine de multiplicité exactementmdeP.

Par définition, (X−α)^mdiviseP. Donc, il existe un polynômeQtel queP=(X−a)^m×Q.

Supposons par l’absurde queQ(α)=0.

On en déduit queX−αdiviseQ. Donc, (X−α)^m+1=(X−α)^m×(X−α) divise (X−a)^m×Q=P. Contradiction avec la maximalité dem.