Nous supposonsonnueslesdénitionsduproduitsalaireet produit vetoriel.Nousutiliseronsessentiellementles propriétés(oudénitions)suivantes

(1)

orienté : aluls de distanes, d'aires, de volumes, d'angles...

ChantalMenini

19 mai2009

Avantdevouslanerdansetexposéassurez-vousquevoussavezdénirequ'estuneorientation.

Nous supposonsonnueslesdénitionsduproduitsalaireet produit vetoriel.Nousutiliseronsessentiellementles

propriétés(oudénitions)suivantes:

−

→a ·−→b =k−→akk−→bkcos (−→a ,−→b)^et ^labilinéaritéduproduitsalaire.

−

→a ∧−→b êst ôrthogonal^à−→a êt−→b ^;k−→a ∧−→bk=k−→akk−→bk |sin (−→a ,−→b)|^.

Danstoutequisuitonsupposeral'espaemunid'unrepèreorthonormédiret(O,−→ı ,−→ ,−→k)^.^Nous^supposons^qu'il

existe unproduit salaireassoiéàlanormeet travailleronsavee produit salaire(nousnous plaçonsdon dans

unespaeeulidienorientédedimension3).

1 Calul de distanes.

Commençonsparrappellerladénition deladistaned'unpointM ^àûne^droiteôu^àûn^planD d(M,D) = inf{M N, N ∈ D}.

Si l'on appelle H ^le ^projeté ôrthogonal ^de M ^sur D âlors ^pour ^tout ^point N ^de ^la ^droite ôu ^du ^plan, M N² = M H²+HN² êtM N êst ^minimal^pourN =H^,^d'où, d(M,D) =M H^.

1.1 Distane d'un point à une droite.

1. DroiteD^dontônônnaitûn^pointAêt ûn^veteur^direteur −→u ^: d(M,D) = k−−→

AM∧ −→uk k−→uk .

Sil'onappelleH ^le^projeté^orthogonal^deM ^surD^alorsd(M,D) =M H^.

−−→AM∧ −→u = (−−→AH+−−→HM)∧ −→u =−−→HM∧ −→u ^puisque −−→AH ^et −→u ^sontolinéaires.Etk−−→HM∧ −→uk=HM× k−→uk

puisque

−−→HM ^et−→u ^sontorthogonaux.

2. DroiteD^dontônônnaitûn^pointAêt ^deux^veteurs^normaux^non ôlinéaires−n→1 êt−n→2 ^:

d(M,D) =k−−→AM∧(−→n1∧ −n→2)k k−→n1∧ −n→2k .

C'estuneonséquenedurésultatpréédentpuisque−→u =−n→1∧ −n→2 ^est^un^veteur^direteur^de^la^droiteD^.

Remarque.Onrappellequelesystème

a1x+b1y+c1z=d1

a2x+b2y+c2z=d2

dénitunedroitedanslerepère(O,−→ı ,−→ ,−→k)^si^et^seulement^si^les^veteurs−→n1(a1, b1, c1)^et−n→2(a2, b2, c2)^sont

nonolinéaires(elarevientàdirequelerangdusystème est2). Alors−n→1 ^et−n→2 ^sont^deux^veteurs^normaux

nonolinéairesdeladroite.

(2)

1. PlanP ^dontônônnaitûn^pointA êtûn^veteur^normal−→n ^: d(M,P) = |−−→

AM· −→n| k−→nk .

Sil'onappelleH ^le^projeté^orthogonal^deM ^surP ^alorsd(M,P) =M H^.

−−→AM· −→n = (−−→

AH+−−→

HM)· −→n =−−→

HM· −→n ^ar−−→

AH ^et−→n ^sontorthogonaux.Puis|−−→

HM· −→n|=HMk−→nk^ar−→n ^et

−−→HM ^sontolinéaires.

2. PlanP ^dontônônnaitûn^pointA êt^deux^veteurs^direteurs−u→1 êt−→u2^:

d(M,P) = |−−→AM·(−→u1∧ −→u2)| k−→u1∧ −→u2k .

C'estuneonséquenedurésultatpréédentpuisque−→n =−→u1∧ −→u2^est ^un^veteur^normal^du^planP^.

Remarque.

−−→AM·(−→u1∧ −u→2) = [−u→1,−u→2,−−→

AM] ^le^produit ^mixte^('est^ledéterminantdanslabase(−→ı ,−→ ,→− k)^de (−→u1,−→u2,−−→

AM)^).

Exerie. Soienta, b, c^trois ^réels^non^nuls êt P ^le^plan ^passant^par^les^pointsA(a,0,0)^,B(0, b,0)êt C(0,0, c)^.Ôn

note h=d(O,P)^, ^montrer^que _h¹2 = _a¹2 +_b¹2 +_c¹2^.

Solution : Une équation duplan P êst ^xa + ^y_b +^z_c = 1 ^(trois ^points ^non âlignés ^dénissent ûnûnique ^plan). Îlên

déoule queleveteur

−

→n(1/a,1/b,1/c)^est^un^veteur^normal^du^plan.

Ave equipréèdeh= ^|

−−→ OA·−→n|

k−→nk = √ ¹

1/a²+1/b²+1/c²

et lerésultatannoné.

Onremarqueraquel'onpeutaussiutiliserquelesveteurs

−−→AB^et−→AC ^sont^deux ^veteurs^direteurs^non^olinéaires

duplanP^.

1.3 Distane entre deux droites non oplanaires.

Proposition1.1 SoientD ^etD^′ ^deux^droites ^non oplanaires. D^(resp. D^′⁾ ^passant^par^le ^pointA^(resp.A^′⁾ ^et^de

veteur direteur

−

→u ^(resp.−→

u^′^).Âlors^la ^distane êntreês^deux^droites êst d(D,D^′) =|−−→

AA^′·(−→u ∧−→ u^′)| k−→u ∧−→

u^′k = |[−→u ,−→ u^′,−−→

AA^′]| k−→u ∧−→

u^′k .

Preuve.Commençonsparmontrerqu'ilexisteune uniquedroite∆ perpendiulaireàD^etD^′^.

Si ∆ ^existe^alorsnéessairement

−

→v =−→u ∧−→

u^′ êstûn^veteur^direteur^de êtte^droite ^. Âlors∆ âppartientâu^plan P ^passant^parAêt^de^veteurs^direteurs−→u êt−→v^.^De^même∆âppartientâu^planP^′ ^passant^parA^′ êt^de^veteurs

direteurs

−

→u^′ ^et −→v ^et∆∈ P ∩ P^′^.

Réiproquement,onsidéronsles plansdénisi-dessus. Cesplans nesontpasparralèlespuisque lesveteurs

−

→u ^et

−

→u^′ ^sont^libres^(en^eetV ect(−→u ,−→v) =V ect(−→

u^′,−→v)^équivaut^à−→u ^et−→

u^′ ^liés^puisque−→u ^et −→

u^′ ^sontorthogonauxà

−

→v^).

Leurintersetionestdonunedroitequel'onnote∆^,^d'où^l'uniitéêt^'estûneperpendiulaireommuneàDêtD^′

(pourquoi?).

Calulons maintenantd(D,D^′) = inf{M M^′, M ∈ DM^′∈ D^′}^,^notonsI=D ∩∆ ^etI^′=D^′∩∆^alors^: M M^′2=k−−→M I+−−−→

I^′M^′k²+II^′2

et M M^′ ^est^minimal^pour−−→M I+−−−→

I^′M^′ =−→0 ^e^qui ^équivaut^à−−→M I=−→0 ^et−−−→

I^′M^′=−→0 ^puisque−−→M I ^est^olinéaire^à−→u

et

−−−→I^′M^′ ^est^olinéaire^à−→

u^′^.^On^vient^don^de^montrer^que d(D,D^′) =II^′. II^′ = |−−→

AA^′ · ⁻^→^v |

(3)

2.1 Calul d'aires.

2.1.1 Aired'un triangle.

Proposition2.1 L'aire dutriangle ABC ^estAABC =¹₂k−−→AB∧−→ACk^.

Preuve.SoitH ^le^pied^de^la^hauteur^du^triangleîssue^deCâlors^l'aire^du^triangleêst

A^ABC = ¹₂HC×AB=¹₂k−−→ABkk−→ACk|sin (−−→AB,−→AC)|= ¹₂k−−→AB∧−→ACk^.

Exerie.SoientABC ûn^triangleêtB^′ ∈[AB]^,C^′ ∈[AC]^;^montrer^que^le^rapport^desâires^des^trianglesABC êt A^′B^′C^′ êst^égalâu^produit^du^rapport^des^longueurs^desôtés.

Solution:AA^′B^′C^′ = ¹₂k−−−→

A^′B^′∧−−→

A^′C^′k= ¹₂kÂ_AB^′^B^′−−→AB∧Â_AC^′^C^′−→ACk=Â_AB^′^B^′Â_AC^′^C^′AABC^.

Exerie.SoientA^,B êtC ^trois^points^nonâlignés,ônônstruitA1^,B1 êtC1^de^sorte^queB ^milieu^de[A, A1]^,C

milieude[B, B1]êt A^milieu^de[C, C1]^montrer^queAÂ1B₁C₁= 7AÂBC^.

Solution :

−−−→A1B1∧−−−→A1C1 = (−−→A1B+−−→BB1)∧(−−→A1A+−−→AC1) = (−−→BA+ 2−−→BC)∧(2−−→BA+−→CA) = 7−−→BC∧−−→BA^en ^utilisant

que

−−→BA∧−→CA=−−→BA∧−−→CB=−−→BC∧−−→BA^et ^que−−→BC∧−→CA=−−→BC∧−−→BA^.

2.1.2 Aired'un parallélogramme.

Proposition2.2 L'aire duparallélogramme ABCD ^estAABCD=k−−→AB∧−−→ADk^.

Preuve.AABCD= 2AABD^.

Pourdémontrerque AABD =ABCD ôn^peut ûtiliser^la^symétrie ^deêntre ^leêntre^duparallélogrammeouenore utiliserque2ABCD=k−−→BC∧−−→BDkêt −−→BC∧−−→BD= (−−→BA+−→AC)∧(−−→BA+−−→AD) =−→AC∧−−→AD=−−→AB∧−−→AD^.

2.2 Calul de volumes.

2.2.1 Volumed'un parallélépipède.

Proposition2.3 SoientA^,B^,D êtI ^quatres^points^non ôplanaires êtP ^le^parallélépipède d'arêtes [AB]^,[AD] êt [AI]^.^Le^volume ^duparallélépipède P êstVP =|−→AI·(−−→AB∧−−→AD)|=|[−−→AB,−−→AD,−→AI]|^.

Preuve.Notons I^′ ^le^projetéôrthogonal^deI ^sur^le^plan P ôntenantA^,B êtD âlorsV^P =II^′× AÂBCD ôù^l'on

note C^le^point^déni^par−→AC=−−→AB+−−→AD^. II^′=|−→

AI· _k⁻^AB∧⁻_AB∧⁻⁻^→^→ ⁻^AD⁻_ADk⁻⁻^→^→ | ^d'oùV^P =|−→

AI·(−−→

AB∧−−→

AD)|=|[−−→

AB,−−→

AD,−→

AI]|^.

Uneautreformulationpossibleenutilisantladistaned'unpointàunplanest:V^P =II^′×A^ABCD=d(I,P^ABD)k−−→AB∧

−−→ADk=|−→

AI·(−−→

AB∧−−→

AD)|ôùPÂBD ^désigne^le^plan^passant^par^les^pointsA^,B êtD^.

2.2.2 Volumed'un tétraèdre.

Proposition2.4 SoientA^, B^,C êtD ^quatre^points ^non ôplanaires âlors ^le^volume ^du ^tétraèdre T ^déni ^parês

quatrepoints est

VT = 1

6|−−→AD·(−−→AB∧−→AC)|=1

6|[−−→AB,−→AC,−−→AD]|.

Preuve.Si onnoteD^′ ^le^projetéôrthogonal^de D ^sur^le^plan^passant^parA^,B êtC âlorsVT = ¹₃DD^′× AABC êt

lerésultatenutilisantqueA^ABC = ¹₂k−−→AB∧−→ACk^et^que|−−→AD·(−−→AB∧−→AC)|=|−−→

DD^′·(−−→AB∧−→AC)|=DD^′k−−→AB∧−→ACk

ar

−−→AD^′ ^et−−→AB∧−→AC ^sontorthogonauxet

−−→DD^′ ^et−−→AB∧−→AC ^sontolinéaires.

(4)

3.1 Angle géométrique.

Proposition3.1 Formules d'Al Kashi. SoitABC ûn^triangle, ôn ^note a =BC^,b =CA^, c =AB êtAb=\BAC

alors

a²=c²+b²−2cbcosA.b

Preuve.a²=k−−→BCk² = (−−→BA+−→AC)·(−−→BA+−→AC) =k−−→BAk²+k−→ACk²−2−−→AB·−→AC^.^Et^avel'expressionduproduit salaire

−−→AB·−→

AC=k−−→

ABkk−→

ACkcos\BAC ^nous^obtenons^l'égalité^annonée.

Exerie.Déterminerlamesuredel'angle géométrique\BAC ^i-dessous.

A

8

6 4 B C

Solution :Avele théorèmedePythagoreAB=√

8²+ 6²= 10^,AC =√

6²+ 4²=√

52^etBC =√

8²+ 4² =√ 80^.

Ave laformuled'AlKashi

cos\BAC=52 + 100−80 2×10√

52 ≃0.5

et \BAC≃60^◦^.

3.2 Angle dièdre.

SoientP1 êt P2 ^deux^demi-plans^séants^selonûne^droite D âlors^pour^tout ^planP perpendiulaireàD ^l'angle

nonorientédesdemi-droitesobtenuesommeintersetiondesdemi-plansetdeP ^estindépendantduhoixdeP^,^et

angle est appelé angle dièdre desdemi-plansP1 êt P2^. ^NotonsA ûn^point^de ^la^droiteD^, −→u1 ^(resp.−u→2⁾ûn^veteur

normédesortequelademi-droiteintersetiondeP ^etP1^(resp.P2⁾^soit^d'origineA^et^dirigée^par−→u1^(resp.−→u2^).^Soit

−

→v ûn ^veteur ^normé^direteur ^de D ^tel^que (−→v ,−→u1,−→u2) ^soit ûne ^base ^direte. Ûne ^mesure ^de ^l'angle ^dièdre A ^des

deux demi-plansestdonunemesurel'anglenon orientédesveteurs

−

→u1^et −→u2^.

Soient

−

→e1 ^(resp.−→e2⁾ ûn^élément ^normé^de V ect(−→v ,−→u1) ^(resp.V ect(−→v ,−u→2)⁾ ôn^va ^donnerûne ^relation êntre ^l'angle

dièdreAêt^l'angle^nonôrienté^des^veteurs−→e1 êt−→e2^.^Notonsa= (−→\e1,−→e2)^,a1= (−→\v ,−→e1)êta2= (−→\e2,−→v)^,V ect(−→v ,−u→1)

et V ect(−→v ,−→u2)^sont^munis^del'orientationinduiteparlabasedirete(−→v ,−→u1,−u→2)^.^Alors

−

→e1 = cosa1−→v + sina1−→u1

−

→e2 = cosa2−→v + sina2−→u2

et cosa=−→e1· −→e2 = cosa1cosa2k−→vk+ sina1sina2−→u1· −u→2 ^ar^les^veteurs−→v ^et−u→1 ^(resp.−→u2⁾^sontorthogonaux.Les veteursétantsnormésonendéduit

cosa= cosa1cosa2+ sina1sina2cosA.

Commeappliationsnousavonslealul d'angledièdredesfaesdepolyèdresréguliers.

1. Le tétraèdre régulier : on prend pour −→e1^, −→e2 êt −→v ^des ^veteurs ^direteurs ^de ^trois ârètes îssues ^d'un ^même

sommet alors a = a1 = a2 = ^π₃ êt cosA = ¹₃ ^(résultat ^que ^l'on ^peut ^retrouverên ûtilisant ^que ^les ârètes

opposéesd'untétraèdreréguliersontorthogonales).

2. Leube:cosA= 0^résultat^qui ^ne^nous^surprend^pas^vraiment.

3. L'otaèdrerégulier (8faes qui sontdes triangleséquilatéraux):on onsidèredeux faes séantes,−→v ^est ^sur

−

→ −→ ^π

(5)

4.1 Orthogonalité

Proposition4.1 SoientA^,B^,C êtD ^quatre^pôints ^de ^l'espae, âlors

−−→AB·−−→CD+−→AC·−−→DB+−−→AD·−−→BC= 0.

Preuve.C'estuneonséqueneimmédiatedelabilinéaritéduproduitsalaire,

−−→AB·−−→CD = −−→AB·(−−→AD−−→AC)

−→AC·−−→

DB = −→

AC·(−−→

AB−−−→

AD)

−−→AD·−−→BC = −−→AD·(−→AC−−−→AB)

Corrolaire 4.2 1. Leshauteursd'untriangle sont onourrantes.

2. Dansuntétraèdresideuxouplesd'arêtesopposées sontformésd'arêtesorthogonalesalors letroisièmeouple

d'arêtesopposées estaussi formé d'arêtesorthogonales.

4.2 Puissane d'un point par rapport à un erle.

Proposition4.3 Soient C ûnêrle ^de êntre O êt ^rayon R^, A ûn ^point ^du^plan êt ∆ ûne ^droite ^passant ^pâr A^,

oupantC ^enM ^etM^′ (éventuellementonfondus),alors leréelP(A) :=−−→AM·−−→

AM^′ ^estindépendantde ∆^.P(A)^est

appelé puissanede A ^par^rapport âuêrle C êt^de ^plusP(A) =OA²−R²^.

Preuve. Notons N ^le ^symétrique ^de M^′ ^par ^rapport âu êntre O ^du êrle, ^lorsqu'il ^n'est ^pas âplati ^le ^triangle M N M^′ êst^retangle ênM êt −−→AM·−−→

AM^′ =−−→AN·−−→

AM^′^.^Cette^égalité êstênore^lairement^vériée^siN =M ôu^si M =M^′^.Âinsi^dans^tous^lesâs

−−→AM·−−→

AM^′ = (−→

AO+−−→

ON)·(−→

AO+−−−→

OM^′)

= (−→AO+−−→ON)·(−→AO−−−→ON)

= AO²−ON²=OA²−R².

4.3 Coordonnées baryentriques.

Proposition4.4 SoientABC ûn ^triangle ^non âplati êt M ûn^point^du ^plan. Âlors^les ôordonnées^de M ^dans ^le

repèreane (A, B, C)^sontproportionnelles auxaires orientées destriangles M BC^,M CA^etM AB^.

Preuve. Le plan est onsidéré omme unsous espae ane de l'espae an que le produit vetoriel ait unsens.

(−−→AB,−→AC) êst ûne ^base ^du ^plan ^vetoriel âssoié, ôn ^hoisit l'orientation de sorte qu'elle soit direte. Ainsi les veteurs

−−→M A∧−−→M B^,−−→M B∧−−→M C êt−−→M C∧−−→M A^sontôlinéaires^à−−→AB∧−→AC^,^nousâppelonsâireôrientée^les^réels^notés

respetivementA(M AB)^, A(M BC)êt A(M CA)^tels ^que−−→M A∧−−→M B=A(M AB) ⁻ÂB∧⁻^→ ^−→ÂC

k−−→ AB∧−→

ACk

,et...

SoitM ûn^point^du^planâlors^sesôordonnéesbaryentriquesdanslerepère(A, B, C)^sontproportionnellesà(α, β, γ)

telsque

α−−→M A+β−−→M B+γ−−→M C=−→0.

(6)

En faisantleproduitvetorielave,respetivement,

−−→M A^,−−→M Bêt −−→M Cônôbtient

β−−→M A∧−−→M B−γ−−→M C∧−−→M A = −→0 α−−→M A∧−−→M B−γ−−→M B∧−−→M C = −→0 α−−→M C∧−−→M A−β−−→M B∧−−→M C = −→0.

Ce qui peutse traduireomme lefait que le produit vetoriel duveteurde oordonnées (α, β, γ) ^ave ^le ^veteur

deoordonnées(A(M BC),A(M CA),A(M AB))êst^égalâu^veteur^nul.^Ces^deux^veteurs^sont^donôlinéairesôu

enoreleursoordonnéessontproportionnelles.

5 Commentaires.

Mêmesien'estpaslebutdelaleçonilestindispensabledebienavoirlesidéeslairesonernantlesdénitions

hoisiespourleproduitsalaireet leproduitvetorielainsiqueleursonséquenes.

Ces appliations peuvent illustrer les leçons sur le produit salaireet le produit vetoriel(et vie et versa).

Ellespeuventaussiêtrelethèmed'exeriespourlesdossiers.

Pouraluler les volumes du parrallélépipèdeet du tétraèdre nous utilisons sans lesdémontrer lesformules

V^P =II^′× AÂBCD ^pour^leparrallélépipèdeet V^T = ¹₃DD^′× AÂBC ^pour^le^tétraèdre. Îlêst^bon^d'avoirûne

idéedelafaçondelesobtenir.Pourleparrallélépipèdeundéoupageetreollementsut,pourletétraèdreil

fautreouriraualulintégral.Danslesgrandeslignes:onhoisitunrepèreorthonormé(O,−→ı ,−→ ,−→k)^de^sorte

queO =D êt −→k ôlinéaireêt ^de^même ^sens^que −−→

DD^′^, ^alors^en ^notantA(h)^l'aire^de ^la^setion^du^tétraèdre

aveleplan d'équationz=h^nous^avons

V^T = Z DD^′

0 A(h)dh=A^ABC Z DD^′

0

h DD^′

² dh

parhomothétiedeentre D êt^rapport _DD^h_′ êt ^le^résultatânnoné.

Ladernièreappliationàl'angledièdren'estpassimple,ànemettrequesionlamaitrisevraimentbien.

6 Bibliographie.

AudinM.,Géométrie,EDPSienes.

MonierJ-M.,GéométriePCSI-PTSI,Dunod.

LombardPh.,Géométrieélémentaireetalul vetoriel,Topiqueséditions.