LYCÉE ALFRED KASTLER ACCPE 2nde 2014–2015
longueurs et volumes v
Rappels
• Le volume d’une pyramide (de base quelconque) est donné par : V = 1
3 ×aire de la base×hauteur
• Le volume d’une sphère de rayon r est donné par : V = 4
3 ×π×r3 Exercice 1
ABCDEF GH est un cube d’arête 6cm.
1. Calculer la longueur du segment[BD] puis celle de [HB].
2. Quelle est la nature du triangle ABD? Calculer son aire.
3. On admet que[DH]est la hauteur de la pyramide ABDH de base ABD. Déterminer le volume de la pyramide.
4. En considérant ADH comme base et [AB] pour hauteur,
retrouver le volume de la pyramide par un autre calcul. A B D C
E F
G H
Exercice 2
Le solide représenté ci-contre est constitué de deux parties :
• La partie supérieure est une pyramide régulière SABCD de sommet S, de base carrée ABCD et de hauteur [SO];
• La partie inférieure est un pavé droit ABCDEF GH.
On donne AB = 30, AE = 10 etSO = 30 (en centimètres).
1. Calculer le volume de la partie inférieure du solide.
2. Calculer le volume de la pyramide.
3. En déduire le volume total du solide.
4. Calculer les valeurs exactes deAO puis de AS.
A
B D C
E F
H G S
O
Exercice 3
ABCDEF GH est un cube dont l’arête mesure 2 cm.
M et N sont les centres respectifs des faces EF GH et BCGF. 1. CalculerEM.
2. En quoi le triangleAEM est-il rectangle ? 3. En déduire que AM =√
6 cm.
4. En utilisant le triangleBEG, calculer M N.
5. Calculer le volume de GEBF. A B
D C
E F
G
H M
N
Exercice 4
Le solide ci-contre est constitué de deux parties :
• Une demi-sphère de rayon r;
• Un cône de base un disque de rayon r et de hauteur h.
On considère ici que r= 10cm.
1. Exprimer le volume du cône en fonction de r et h.
Rappel : la formule est la même que celle pour une pyramide.
2. Quelle hauteurh faut-il donner au cône pour que son volume soit le même que celui de la demi-sphère ?
3. Quel est alors le volume total du solide ?
h
r
Exercice 5
On considère le cube ABCDEF GH représenté ci-contre en perspective cavalière. On donne EF = 5 cm. Le point I est le milieu de [EF].
1. Calculer les volumes des tétraèdresIF BGet IEAH.
2. Calculer le volume du prismeADHBCG.
3. En déduire que le volume de la pyramideIABGH est 125
3 cm3.
4. On admet que ABGH est un rectangle. Justifier que l’aire du rectangle ABGH vaut52√
2cm2. A B
D C
E F
G H
I
5. SoitS l’intersection des diagonales de ABGH.
On admet que [IS]est la hauteur de la pyramide IABGH.
(a) Placer le point S sur la figure et tracer la hauteur [IS].
(b) À l’aide des questions 3 et 4, calculer la valeur exacte de la hauteur IS.
Exercice 6
On considère un cône de rayon 1cm et de hauteur 3cm. On le coupe par un plan parallèle au disque de base. On obtient un tronc de cône de hauteur h.
1. Exprimer la hauteur et le rayon du disque de base du petit cône en fonction de h.
2. Développer l’expression
1− h 3
2
(3−h).
3. En déduire que le volume du tronc de cône est égal à πh
27(h2−9h+ 27).
3cm h
1cm
