Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 11 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 12 Th` eme : Courbes de B´ ezier
L’exercice propos´e au candidat Nœud de tr`efle
1. On d´efinit la fonction θ 7→ r(θ) = (1 + 0, 2 × cos(3 θ/2))2 et C la courbe param´etr´ee d´efinie par M (θ) = r(θ) cos(θ), r(θ) sin(θ) avec θ ∈ R.
2. ´Etudier la p´eriodicit´e et les variations de la fonction r. En d´eduire les sym´etries de la courbe C ainsi que les points et les tangentes pour les angles θ valant 0, π/3, 2π/3 et π. Tracer la courbe C.
3. On d´esire remplacer cette courbe param´etr´ee par des arcs de courbes de B´ezier cubique, pour les angles θ dans l’intervalle [−0, 8; 2, 9] en radians ainsi que pour d’autres angles d´eduits par les sym´etries par rotation de la figure. En mod´elisant le probl`eme `a l’aide d’un logiciel de g´eom´etrie dyna- mique, estimez des valeurs raisonnables pour les quatre points d´efinissant chaque courbe de B´ezier.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 3.
Comme la fonction r est paire, la courbe est sym´etrique par rapport `a l’axe des ordonn´ees.
Comme r est p´eriodique de p´eriode 2π3, la rotation dont il est question est une rotation d’un tiers de tour. Il y a donc trois brins.
J’ai pris la corde pr`es du pre- mier point, je l’ai continu´ee pour faire la tangente, j’ai mis un point dessus. De mˆeme pour le troisi`eme point vis-`a-vis du dernier sommet.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Indiquer les comp´etences, les m´ethodes et les savoirs mis en jeu dans l’exer- cice.
2. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve, estimer les valeurs qu’il a pu prendre.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des courbes de B´ezier.
