Master 1 EADM 2011-2012 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 8 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Alg` ebre 7 Th` eme Raisonnement
L’exercice propos´e au candidat Il s’agit de trouver le nombre pn de pes´ees n´ecessaires `a identifier `a coup sˆur une pi`ece falsifi´ee, plus l´eg`ere que les autres, dans un ensemble de n pi`eces. Chaque pes´ee, sur une balance `a fl´eau, permet de comparer deux ensembles de pi`eces quelconques et de d´eterminer s’ils ont le mˆeme poids ou bien lequel est le plus lourd, la pr´ecision de la balance
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etant sup´erieure au d´efaut de poids de la pi`ece falsifi´ee.
1. On suppose qu’on a `a notre disposition une pi`ece r´eglementaire. Montrer que la suite pn est croissante. D´eterminer p1 et p2.
2. Soit n = 2 a + b. Montrer que pn 6 1 + max(pa, pb).
3. Montrer qu’une seule pes´ee suffit pour d´eterminer, parmi trois ensembles de pi`eces poss´edant autant de pi`eces chacun, lequel contient la pi`ece fal- sifi´ee. En d´eduire une expression de p3 k en fonction de pk pour k > 0 entier naturel, calculer p3puis p9 et enfin p3k pour k > 0 entier naturel.
4. En ´ecrivant 3 k + 1 = 2 k + (k + 1) et 3 k + 2 = 2 (k + 1) + k, montrer que p3 k+1= p3 k+2= 1 + pk+1.
5. En supposant que 3k−1< n 6 3k, donner une expression pour pn. Une r´eponse d’´el`eve `a la question 2.
En comparant deux paquets de a pi`eces, si la balance penche d’un cˆot´e, je connais le paquet qui contient la fausse pi`ece, dans ce cas, pn= 1 + pa
puisqu’il suffit de trouver la fausse pi`ece parmi les a suspectes. Si la balance reste ´equilibr´ee, la fausse pi`ece est donc dans le tas de b pi`eces et dans ce cas, pn= 1 + pb.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Quelles sont les m´ethodes et connaissances mises en jeu ainsi que le ou les niveaux auxquels pourrait s’adresser cet exercice ?
2. Analysez la r´eponse de l’´el`eve.
3. `A l’aide du logiciel de votre choix, estimez par une simulation le nombre moyen de pes´ees pour d´eterminer la pi`ece falsifi´ee et non pas le nombre de pes´ees `a coup sˆur qui est calcul´e dans cet exercice.
4. Proposez quelques exercices sur le th`eme du raisonnement.
