MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 8 (du lundi 26 au vendredi 30 novembre) lyc´ee Chaptal
Structure d’anneau Arithm´ etique dans Z
I. Division
1. la relationhhdiviseiidansZ, ensemblesD(a) des diviseurs etaZdes multiples dea.
Division euclidienne dansZ.
2. d´ecomposition en baseS d’un nombre entier. CasS= 10 etS= 2.
Application : algorithme d’exponentiation rapide.
3. Congruences.
II. Outils et r´ esultats fondamentaux
1. P.G.C.D de deux entiers, not´e a∧b: d´efinition, premi`eres propri´et´es, algorithme d’Euclide, coefficients de Bezout.
2. P.P.C.M. de deux entiers, not´ea∨b: d´efinition, propri´et´es ´el´ementaires.
3. nombres premiers entre eux : d´efinition, th´eor`eme de Bezout, forme irr´eductible d’une fraction rationnelle, lemme de Gauss. Exemple d’´equation diophantienne li- n´eaire.
III. Nombres premiers
D´efinition, th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique (d´ecomposition en produit de nombres premiers), crible d’Eratosth`ene, l’ensemble des nombres premiers est infini. Petit th´eor`eme de Fermat.
Questions de cours
Pour les questions algorithmiques, les ´etudiants doivent savoir r´ediger un programme (en Maple) et expliquer l’algorithme.
Q1. Ecriture (´´ enonc´e et d´emonstration de l’existence et l’unicit´e) de la d´ecomposition en base 2 d’un entier naturel.
Q2. Algorithme de d´ecomposition d’un entier naturel en base 2.
Q3. Algorithme d’exponentiation rapide. Majoration du nombre d’op´erations effectu´ees.
[facultatif]En donner une version r´ecursive.
Q4. Algorithme d’Euclide de recherche du p.g.c.d. de deux entiers ainsi que des coeffi- cients de Bezout associ´es.
Q5. Sia, b, c∈Z, r´esolution de l’´equation (E) :ax+by=cd’inconnue (x, y)∈Z2. Q6. [facultatif]D´emonstration du th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique (d´ecom-
position en produit de nombres premiers).
Q7. D´emontrer que l’ensemblePdes nombres premiers est infini (th´eor`eme d’Euclide).
Q8. D´emonstration du petit th´eor`eme de Fermat : sipest premier, pour toutadansZ, ap≡a[[p]].
Q9. [facultatif]Th´eor`eme Chinois.
A venir : le corps` Rdes nombres r´eels, suites `a valeurs dansR.
