Un pont vers la recherche

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Texte intégral

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Un pont vers la recherche

Greg McShane

13 février 2011

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Recherche en fractales

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Adrien Douady

Adrien Douady, né le 25 septembre 1935 à La Tronche mort le 2 novembre 2006 près de Saint-Raphaël est un mathématicien français.

I Sa thèse, sous la direction de Henri Cartan porte sur une question de géométrie analytique complexe ouverte par Alexandre Grothendieck qu'il résout dénitivement dans un article de 1966.

I Ces travaux l'amènent à étudier la dynamique des polynômes complexes et à prolonger les ÷uvres de Pierre Fatou et Gaston Julia sur l'itération dans le domaine complexe.

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Adrien Douady

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Iteration

L'iteration est une méthode utilisée pour résoudre une equation. Il s'agit de

1. trouver une fonction F telle que la solution de notre problème soit une solution de

z=F(z) c'estàdire z est un point xe de F . 2. choisir un z0 en esperant que la suite zn+1=F(zn) converge vers ce point xe.

Les points z0 pour lesquels zn →z forment le bassin d'attraction de la solution z.

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Exemple

L'application F :z 7→ z2

R → R admet 3 points xes : soit 0,1,∞ 1. si |z0|<1,zn→0⇒bassin d'attraction de 0 = {|z0|<1} 2. si |z0|>1,zn→ ∞ ⇒ bassin d'attraction de∞ ={|z0|>1} Un ensemble X est invariant si F(X)⊂X .

1. Les bassins d'attraction sont invariants.

F(bassin d'attraction de 0)⊂bassin d'attraction de 0 2. Le cercle{|z0|=1}est invariant aussi. L'action de F est

chaotique pour presque tout z0

{Fn(z0),n ≥0}={|z0|=1}

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Dessiner le bassin d'attraction...

de∞pour z 7→z2+c.

def julia(c):

MAX_R = 8.0 MAX_ITER = 40

colors = [ [] for i in range(MAX_ITER)]

for z0 in quadrillage(w = 0, epsilon = .005, M = 200, N = 400):

z = z0 # fixer c varier z for color in colors:

if abs(z) > MAX_R: break z = z * z + c

color.append(z0)

draw_col_obs(zip(colors,palette))

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zc0.05

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z 7→z2+0.10

(10)

z 7→z2+0.15

(11)

z 7→z2+0.20

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z 7→z2+0.25

(13)

z 7→z2+0.30

(14)

z 7→z2+0.35

(15)

z 7→z2+0.40

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z 7→z2+0.45

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Un calcul

Fc(z) := z2+c =z ⇔z = 1±√ 1−4c

2 (1)

Fc0(w) = 2w (2)

c z Fc0(z) ¯z Fc0(¯z) 0.05 0.05 0.11 0.95 1.89 0.10 0.11 0.23 0.89 1.77 0.15 0.18 0.37 0.82 1.63 0.20 0.28 0.55 0.72 1.45 0.25 0.50 1.00 0.50 1.00

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z 7→z2+0.25

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z 7→z2+0.26

(20)

z 7→z2+0.27

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Dessiner le Julia...

Ensemble de Julia := complementaire de bassin d'attraction de∞

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Dessiner le Mandelbrot...

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Dessiner le Mandelbrot...

complementaire de l'ensemble{c,Fcn(0)→ ∞,n→ ∞}.

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Dessiner le bassin d'attraction...

def julia(c):

MAX_R = 8.0 MAX_ITER = 40

colors = [ [] for i in range(MAX_ITER)]

for z0 in quadrillage(w = 0, epsilon = .005, M = 200, N = 400):

z = z0 # fixer c varier z for color in colors:

if abs(z) > MAX_R: break z = z * z + c

color.append(z0) return colors

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Dessiner le Mandelbrot...

def mandelbrot():

MAX_R = 2.0 MAX_ITER = 40

colors = [ [] for i in range(MAX_ITER)]

for c in quadrillage(0, .01,150,100):

z = 0 # fixer z_0 varier c for k in range(MAX_ITER):

if abs(z) > MAX_R: break z = z * z + c

colors[k].append(c) return colors

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Dessiner le Brooks-Matelski...

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Un peu de histoire

I 1918 Jula "study of iteration from a global point of view", did not produce any images of the Julia sets himself ; the rst such image appeared in a later paper by Cremer.

I 1975 Mandelbrot began using the term fractal, a contraction of fractional in reference to "fractional dimension".

I 1978, Brooks and Matelski, published the rst image of the Mandelbrot set's interior.

I 1979-80 mathematician Benoit Mandelbrot discovered the Mandelbrot set during his research of the Julia and Fatou sets.

His discovery was independent of the work by Brooks and Matelski.

I J. Hubbard and A. Douady proved that the Mandelbrot set is connected.

I 1991, M. Shishikura proved that the boundary of the

Mandelbrot set is a fractal with a Hausdor dimension of 2.0 .

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Resources

I python,c++, maple,scilab, sage

I google

I wikipedia

Figure

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Références

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