Un pont vers la recherche
Greg McShane
13 février 2011
Recherche en fractales
Adrien Douady
Adrien Douady, né le 25 septembre 1935 à La Tronche mort le 2 novembre 2006 près de Saint-Raphaël est un mathématicien français.
I Sa thèse, sous la direction de Henri Cartan porte sur une question de géométrie analytique complexe ouverte par Alexandre Grothendieck qu'il résout dénitivement dans un article de 1966.
I Ces travaux l'amènent à étudier la dynamique des polynômes complexes et à prolonger les ÷uvres de Pierre Fatou et Gaston Julia sur l'itération dans le domaine complexe.
Adrien Douady
Iteration
L'iteration est une méthode utilisée pour résoudre une equation. Il s'agit de
1. trouver une fonction F telle que la solution de notre problème soit une solution de
z∞=F(z∞) c'estàdire z est un point xe de F . 2. choisir un z0 en esperant que la suite zn+1=F(zn) converge vers ce point xe.
Les points z0 pour lesquels zn →z∞ forment le bassin d'attraction de la solution z∞.
Exemple
L'application F :z 7→ z2
R → R admet 3 points xes : soit 0,1,∞ 1. si |z0|<1,zn→0⇒bassin d'attraction de 0 = {|z0|<1} 2. si |z0|>1,zn→ ∞ ⇒ bassin d'attraction de∞ ={|z0|>1} Un ensemble X est invariant si F(X)⊂X .
1. Les bassins d'attraction sont invariants.
F(bassin d'attraction de 0)⊂bassin d'attraction de 0 2. Le cercle{|z0|=1}est invariant aussi. L'action de F est
chaotique pour presque tout z0
{Fn(z0),n ≥0}={|z0|=1}
Dessiner le bassin d'attraction...
de∞pour z 7→z2+c.
def julia(c):
MAX_R = 8.0 MAX_ITER = 40
colors = [ [] for i in range(MAX_ITER)]
for z0 in quadrillage(w = 0, epsilon = .005, M = 200, N = 400):
z = z0 # fixer c varier z for color in colors:
if abs(z) > MAX_R: break z = z * z + c
color.append(z0)
draw_col_obs(zip(colors,palette))
zc0.05
z 7→z2+0.10
z 7→z2+0.15
z 7→z2+0.20
z 7→z2+0.25
z 7→z2+0.30
z 7→z2+0.35
z 7→z2+0.40
z 7→z2+0.45
Un calcul
Fc(z) := z2+c =z ⇔z = 1±√ 1−4c
2 (1)
Fc0(w) = 2w (2)
c z Fc0(z) ¯z Fc0(¯z) 0.05 0.05 0.11 0.95 1.89 0.10 0.11 0.23 0.89 1.77 0.15 0.18 0.37 0.82 1.63 0.20 0.28 0.55 0.72 1.45 0.25 0.50 1.00 0.50 1.00
z 7→z2+0.25
z 7→z2+0.26
z 7→z2+0.27
Dessiner le Julia...
Ensemble de Julia := complementaire de bassin d'attraction de∞
Dessiner le Mandelbrot...
Dessiner le Mandelbrot...
complementaire de l'ensemble{c,Fcn(0)→ ∞,n→ ∞}.
Dessiner le bassin d'attraction...
def julia(c):
MAX_R = 8.0 MAX_ITER = 40
colors = [ [] for i in range(MAX_ITER)]
for z0 in quadrillage(w = 0, epsilon = .005, M = 200, N = 400):
z = z0 # fixer c varier z for color in colors:
if abs(z) > MAX_R: break z = z * z + c
color.append(z0) return colors
Dessiner le Mandelbrot...
def mandelbrot():
MAX_R = 2.0 MAX_ITER = 40
colors = [ [] for i in range(MAX_ITER)]
for c in quadrillage(0, .01,150,100):
z = 0 # fixer z_0 varier c for k in range(MAX_ITER):
if abs(z) > MAX_R: break z = z * z + c
colors[k].append(c) return colors
Dessiner le Brooks-Matelski...
Un peu de histoire
I 1918 Jula "study of iteration from a global point of view", did not produce any images of the Julia sets himself ; the rst such image appeared in a later paper by Cremer.
I 1975 Mandelbrot began using the term fractal, a contraction of fractional in reference to "fractional dimension".
I 1978, Brooks and Matelski, published the rst image of the Mandelbrot set's interior.
I 1979-80 mathematician Benoit Mandelbrot discovered the Mandelbrot set during his research of the Julia and Fatou sets.
His discovery was independent of the work by Brooks and Matelski.
I J. Hubbard and A. Douady proved that the Mandelbrot set is connected.
I 1991, M. Shishikura proved that the boundary of the
Mandelbrot set is a fractal with a Hausdor dimension of 2.0 .
Resources
I python,c++, maple,scilab, sage
I google
I wikipedia
